丁有爽 肖 曦

(電力系統(tǒng)及大型發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國家重點(diǎn)實驗室(清華大學(xué)電機(jī)系) 北京 100084)

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基于負(fù)載位置反饋的永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載諧振抑制方法

丁有爽 肖 曦

(電力系統(tǒng)及大型發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國家重點(diǎn)實驗室(清華大學(xué)電機(jī)系) 北京 100084)

柔性負(fù)載廣泛存在于電氣傳動系統(tǒng)中。根據(jù)柔性的成因，伺服系統(tǒng)中柔性負(fù)載主要分為柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿兩類系統(tǒng)。針對這兩類典型的柔性負(fù)載系統(tǒng)，首先引用已有的研究成果對其建立了一致的動力學(xué)模型。然后將PI調(diào)節(jié)器應(yīng)用于系統(tǒng)控制中，由于自由度有限，諧振抑制效果并不理想。因而，控制系統(tǒng)中需要引入狀態(tài)反饋。針對諧振抑制的需要，通過增加一個額外的位置傳感器對末段位置進(jìn)行測量，然后將其反饋至控制系統(tǒng)中。針對負(fù)載位置反饋策略，分析了其系統(tǒng)性能與參數(shù)關(guān)系，并采用三種策略對其進(jìn)行了極點(diǎn)配置。仿真和實驗驗證了所提出的基于負(fù)載位置反饋及其參數(shù)整定方法的有效性。

永磁同步電機(jī) 柔性負(fù)載 負(fù)載位置反饋 極點(diǎn)配置

0 引言

在工業(yè)機(jī)器人、航天機(jī)構(gòu)驅(qū)動等運(yùn)動控制系統(tǒng)中，操作機(jī)構(gòu)尺寸越來越大，因此通常采用結(jié)構(gòu)輕、自重比高的結(jié)構(gòu)材料。這些機(jī)構(gòu)在運(yùn)動中會產(chǎn)生明顯的形變，并引起相應(yīng)的應(yīng)力，帶有典型的柔性負(fù)載特征，對于大尺寸工作部件，有時也稱為撓性負(fù)載特征。柔性負(fù)載特征對運(yùn)動控制特性影響很大，容易引起諧振、定位不準(zhǔn)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。在高性能運(yùn)動控制系統(tǒng)中，一般采用永磁交流伺服電機(jī)驅(qū)動工作機(jī)構(gòu)，常見的模式有：①伺服電機(jī)通過柔性傳動機(jī)構(gòu)拖動剛性工作部件；②伺服電機(jī)直接驅(qū)動柔性工作部件。為提升此類系統(tǒng)的控制性能，有必要對系統(tǒng)進(jìn)行更準(zhǔn)確的建模，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合伺服電機(jī)的控制方案綜合分析此類柔性負(fù)載引起的諧振等問題。

伺服系統(tǒng)中常見的柔性負(fù)載有傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的齒輪箱、減速器等柔性關(guān)節(jié)，也有尺寸較大的工作部件，如工業(yè)機(jī)器人的機(jī)械臂、自動化設(shè)備中的操作連桿等。柔性部件在伺服系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生一定程度的扭曲、彈性形變和剪切變形。針對柔性系統(tǒng)的建模及所引起的諧振等問題，許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。

就目前的研究狀況，交流伺服系統(tǒng)中柔性負(fù)載諧振抑制方法主要包括被動控制方法和主動控制方法兩類。被動控制方法主要包括頻率陷波器、低通濾波器、自適應(yīng)陷波器等。由負(fù)載柔性引起的系統(tǒng)諧振，其頻率和幅值常常并不固定，因而，很難使用固定的陷波器進(jìn)行補(bǔ)償。而低通濾波器雖然可以抑制一定頻率之上的系統(tǒng)諧振，但往往限制了系統(tǒng)帶寬并引入較大的相位滯后。文獻(xiàn)[1,2]針對柔性負(fù)載引起的諧振抑制提出了一種自適應(yīng)陷波濾波器，通過時時采集交流伺服電機(jī)中的轉(zhuǎn)矩電流，在線計算諧振頻率，并利用計算得到的諧振頻率設(shè)計陷波濾波器，但系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)相對于傳統(tǒng)控制策略受到較大抑制。被動控制方法雖然在有些情況下可以抑制系統(tǒng)諧振，但需要消耗大量能量，并且控制方法會大大降低系統(tǒng)動態(tài)性能。主動控制方法主要采用狀態(tài)反饋方法抑制系統(tǒng)諧振，主要包括基于狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置控制策略、基于狀態(tài)反饋的優(yōu)化控制策略、基于狀態(tài)反饋的魯棒控制策略等。針對柔性負(fù)載特征引起的諧振，主動控制方法謀求從源頭上對諧振進(jìn)行抑制，而不是在諧振產(chǎn)生后再進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[3-5]分別對采用電機(jī)加速度反饋、負(fù)載加速度反饋、扭矩反饋控制策略對諧振抑制進(jìn)行了研究，但主動控制方法往往需要增加額外的狀態(tài)反饋信息(如負(fù)載加速度、柔性關(guān)節(jié)扭矩等)，增加了系統(tǒng)成本與復(fù)雜性。

在目前的研究中，則往往將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等現(xiàn)代控制策略與狀態(tài)反饋相結(jié)合抑制系統(tǒng)諧振。首先通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計，然后將估計狀態(tài)替代測量結(jié)果反饋至控制系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[6-12]分別利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基于混合靈敏度的狀態(tài)估計策略以及基于滑模變結(jié)構(gòu)的狀態(tài)估計策略對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計，然后利用狀態(tài)反饋策略抑制系統(tǒng)諧振。上述控制方法雖然在一些應(yīng)用場合中可以取得良好的控制效果，但由于算法復(fù)雜、計算量大，在實際應(yīng)用中尚不普遍。

實際高性能伺服系統(tǒng)中，控制策略仍以PI調(diào)節(jié)器為主，因而研究如何通過在PI調(diào)節(jié)器基礎(chǔ)上引入適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋從而最大程度地抑制負(fù)載柔性引起的諧振具有重要意義。目前針對柔性負(fù)載伺服驅(qū)動系統(tǒng)中的諧振抑制方法，雖然許多文獻(xiàn)提出了一些針對特定系統(tǒng)的基于狀態(tài)反饋的控制策略，但尚沒有文獻(xiàn)針對伺服系統(tǒng)中的機(jī)械諧振狀態(tài)反饋策略進(jìn)行統(tǒng)一的分析和研究。并且已有研究中柔性負(fù)載一般僅局限于雙慣量系統(tǒng)這種最為簡單的柔性負(fù)載系統(tǒng)，對于另一種常見的柔性連桿負(fù)載系統(tǒng)則很少涉及。文獻(xiàn)[13-15]針對雙慣量系統(tǒng)中狀態(tài)反饋以及極點(diǎn)配置策略進(jìn)行了研究，但是所提出的狀態(tài)反饋策略僅適用于雙慣量系統(tǒng)，無法應(yīng)用于伺服電機(jī)驅(qū)動柔性連桿系統(tǒng)中。另外，文獻(xiàn)在對伺服電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載系統(tǒng)狀態(tài)反饋策略進(jìn)行分析時，往往僅通過仿真和實驗進(jìn)行說明，并沒有從理論上對其參數(shù)確定方法進(jìn)行分析，因而，分析結(jié)果在很多情況下并不能應(yīng)用于實際系統(tǒng)中。

本文建立了對柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿兩種典型形式柔性負(fù)載進(jìn)行描述的一致動力學(xué)模型，結(jié)合電機(jī)控制特性[16-18]，首先對采用PI調(diào)節(jié)器對系統(tǒng)進(jìn)行控制時的系統(tǒng)特性進(jìn)行了分析，然后將PI調(diào)節(jié)器應(yīng)用于系統(tǒng)控制中，由于自由度有限，諧振抑制效果并不理想。因而，控制系統(tǒng)中需要引入狀態(tài)反饋。針對諧振抑制的需要，通過增加一個額外的位置傳感器對末段位置進(jìn)行測量，然后將其反饋至控制系統(tǒng)中。針對負(fù)載位置反饋策略，分別分析了其應(yīng)用范圍、系統(tǒng)性能與參數(shù)關(guān)系、優(yōu)勢和劣勢，并對其進(jìn)行了極點(diǎn)配置。仿真和實驗驗證了本文所提出的基于負(fù)載位置狀態(tài)反饋及其參數(shù)整定方法的有效性。

1 模型建立

1.1 柔性關(guān)節(jié)伺服驅(qū)動系統(tǒng)

在電氣傳動領(lǐng)域中，廣泛應(yīng)用的由一個柔性聯(lián)軸器連接兩個慣量的系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 典型雙慣量系統(tǒng)模型Fig.1 Typical two mass system

圖1中，Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量，Tm為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，θm為電機(jī)機(jī)械角度，ωm為電機(jī)機(jī)械角速度，JL為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，θL為負(fù)載機(jī)械角度，ωL為負(fù)載機(jī)械角速度；Ks為柔性關(guān)節(jié)彈性系數(shù)；Ts為柔性關(guān)節(jié)扭矩。

對于雙慣量系統(tǒng)，由于只有彈性聯(lián)軸器一個彈性體，因而，其形變可以使用一階振動模態(tài)進(jìn)行描述。

定義

(1)

式中，Ia為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量；Fa為諧振模態(tài)耦合系數(shù)；Ω為諧振頻率。

整體系統(tǒng)的動能為

(2)

假設(shè)機(jī)械臂在水平面內(nèi)運(yùn)動，其勢能由彈性變形產(chǎn)生。彈性勢能為

(3)

將式(2)、式(3)代入拉格朗日方程(4)可以得到系統(tǒng)動力學(xué)方程(5)。

(4)

式中，qi(i=1,2)分別為電機(jī)機(jī)械角度θm和柔性連桿模態(tài)坐標(biāo)η。

(5)

電機(jī)轉(zhuǎn)速到電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)速到電磁轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)分別為

(6)

(7)

在上述系統(tǒng)模型中，可以通過參數(shù)Ω觀察每一階系統(tǒng)諧振頻率，通過Fa觀察每一階模態(tài)頻率的諧振程度。

1.2 柔性連桿伺服驅(qū)動系統(tǒng)

除1.1節(jié)中提到的柔性聯(lián)軸器外，伺服系統(tǒng)中還廣泛存在著另外一類柔性負(fù)載——柔性連桿，如工業(yè)機(jī)器人中的柔性機(jī)械臂等。柔性連桿伺服驅(qū)動系統(tǒng)如圖2所示。圖2中，u(x,t)為柔性連桿在x處的撓度，θm(t)為電機(jī)機(jī)械角度，Tm為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩。

圖2 柔性連桿伺服驅(qū)動系統(tǒng)Fig.2 System of flexible manipulator driven by servo motors

建模過程中，可將上述系統(tǒng)等效為中心剛體-懸臂梁系統(tǒng)。當(dāng)中心剛體-懸臂梁系統(tǒng)做大范圍運(yùn)動時，柔性梁的橫向彎曲振動比較明顯，縱向振動相對可以忽略不計，因此，一般不考慮縱向變形的影響。在建模過程中，將其等效為歐拉-伯努利梁，即做如下假設(shè)：

1)只考慮橫向振動，忽略軸向變形和剪切形變。

2)橫向振動為小變形。

3)懸臂梁的長度遠(yuǎn)大于其截面尺寸。

在柔性連桿和電機(jī)軸上分別建立坐標(biāo)系，一個動態(tài)坐標(biāo)系O1X1Y1和一個靜態(tài)坐標(biāo)系OX0Y0。對于柔性連桿上任意一點(diǎn)，當(dāng)柔性連桿發(fā)生彈性形變時，其在動態(tài)坐標(biāo)系O1X1Y1中的位置u(x,t)，即為懸臂梁在x處的撓度。

根據(jù)振動理論，撓度可以表示為

(8)

式中，φ(x)為模態(tài)函數(shù)；η為模態(tài)坐標(biāo)。

同時，根據(jù)振動理論，歐拉-伯努利梁的橫向振動方程可寫為

(9)

式中，EI為柔性連桿的抗彎剛度；ρ為柔性連桿線密度；p(x,t)為作用在柔性連桿上的分布力。

懸臂梁的邊界條件為

(10)

接下來，對振動模態(tài)φ(x)進(jìn)行求解，不考慮外界作用力p(x,t)，將式(9)整理為

(11)

利用分離變量法進(jìn)行求解，假設(shè)u(x,t)=φ(x)η(t)，將其代入式(9)可得

(12)

式(12)等號左邊與x無關(guān)，等號右邊與t無關(guān)，只可能等于常數(shù)，記作-ω2，得到

(13)

整理得到

(14)

根據(jù)式(14)即可以確定懸臂梁彎曲振動的模態(tài)函數(shù)和頻率,進(jìn)而可以得到本征方程如式(15)所示。

φ(x)=eλx

(15)

λ4-β4=0

(16)

根據(jù)式(15)、式(16)即可以確定系統(tǒng)的各階振動模態(tài)φi(x)。實際系統(tǒng)中，高階模態(tài)不易被激發(fā)，因而通常對模態(tài)進(jìn)行截斷，取前N階模態(tài)進(jìn)行研究，即

(17)

柔性連桿在水平面內(nèi)的運(yùn)動可以看作是大范圍剛體運(yùn)動和小范圍彈性變形運(yùn)動的疊加，因此其上任意一點(diǎn)在OX0Y0坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)(X,Y)可以表示為

(18)

柔性連桿的動能為

(19)

式中，ρ為柔性連桿線密度；A為柔性連桿橫截面積。

假設(shè)柔性連桿在水平面內(nèi)運(yùn)動，其勢能僅由彈性變形產(chǎn)生。彈性勢能為

(20)

將式(19)、式(20)代入拉格朗日方程(21)，可以得到系統(tǒng)動力學(xué)方程(22)。

(21)

式中，qi(i=1,2,…,N+1)為伺服電機(jī)機(jī)械角度θm和柔性連桿第i階模態(tài)坐標(biāo)ηi(i=1,2,…,N+1)。

(22)

進(jìn)一步的，假設(shè)柔性連桿轉(zhuǎn)動慣量和模態(tài)頻率分別為

(23)

(24)

各階振動模態(tài)與電機(jī)軸轉(zhuǎn)動之間的剛?cè)狁詈舷禂?shù)為

Fa=[Fa1,Fa2,…,Fan]′

(25)

其中

(26)

伺服電機(jī)驅(qū)動柔性連桿系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(27)

式中，ξ為各階振動模態(tài)阻尼系數(shù)矩陣。

柔性連桿末段位置為

(28)

如果僅考慮一階模態(tài)，那么模態(tài)耦合系數(shù)向量Fa和諧振頻率矩陣Ω將變?yōu)闃?biāo)量?？梢缘玫胶喕蟮娜嵝赃B桿驅(qū)動系統(tǒng)動力學(xué)方程為

(29)

柔性連桿末段位置為

θL(t)=θm(t)+Faη

(30)

該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(31)

從式(31)可以看出，在僅考慮一階模態(tài)時，伺服驅(qū)動柔性連桿負(fù)載系統(tǒng)與上述柔性關(guān)節(jié)伺服驅(qū)動系統(tǒng)具有一致的結(jié)構(gòu)，因而，可以利用動力學(xué)方程(27)統(tǒng)一描述伺服電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載系統(tǒng)。

在式(27)所描述的動力學(xué)方程中，Ω表示系統(tǒng)振動頻率，而Fa則可以表示每一階振動頻率的諧振程度，通過系統(tǒng)模型和參數(shù)可以很容易地觀察系統(tǒng)諧振狀況。另外，可以通過簡單地增加Ω和Fa的階次來描述含有更高階振動頻率的系統(tǒng)。

1.3 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)由于具有結(jié)構(gòu)簡單、損耗小、效率高、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于高性能交流伺服系統(tǒng)中。在功率不變原則下，永磁同步電機(jī)在dq坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為

(32)

電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

Tm=pn[ψriq+(Ld-Lq)idiq]

(33)式中，ud、uq分別為定子側(cè)的d、q軸電壓；id、iq分別為定子側(cè)的d、q軸電流；Rs為定子側(cè)電樞電阻；ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Ld、Lq分別為定子側(cè)的d、q軸電感；ψr為轉(zhuǎn)子永磁體在定子繞組中產(chǎn)生的磁鏈，即轉(zhuǎn)子永磁磁鏈；pn為轉(zhuǎn)子極對數(shù)；Tm為電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩。

這里以隱極式永磁同步電機(jī)為例，因而永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型和轉(zhuǎn)矩方程簡化為

(34)

Tm=pnψriq

(35)

1.4 永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載數(shù)學(xué)模型

在永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載系統(tǒng)中，永磁同步電機(jī)輸出電磁轉(zhuǎn)矩作為柔性負(fù)載的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩驅(qū)動柔性負(fù)載，柔性負(fù)載的位置角度反過來影響永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩環(huán)。因而，按照上述思路，將1.3節(jié)中永磁同步電機(jī)與1.2節(jié)中柔性負(fù)載的數(shù)學(xué)模型結(jié)合，可得到永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載的動力學(xué)方程。

但在永磁同步電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)中，由于柔性負(fù)載的諧振頻率與電流環(huán)帶寬差別較大，因而，柔性對于永磁同步電機(jī)電流環(huán)的影響較小?？梢哉J(rèn)為在速度外環(huán)進(jìn)行調(diào)節(jié)時，電流內(nèi)環(huán)已經(jīng)調(diào)節(jié)完成。

因而，可以得到簡化后永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載的動力學(xué)方程為

(36)

2 PI控制策略

不考慮電流內(nèi)環(huán)的影響，采用PI調(diào)節(jié)器時，速度外環(huán)如圖3所示。

圖3 傳統(tǒng)PI控制策略控制框圖Fig.3 Application of PI controller to the system of flexible manipulator driven by servo motors

如果不考慮阻尼系數(shù)的影響，上述系統(tǒng)傳遞函數(shù)與典型雙慣量系統(tǒng)傳遞函數(shù)類似。本文借鑒文獻(xiàn)[4]提出的雙慣量系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法對極點(diǎn)進(jìn)行配置。不考慮阻尼影響采用PI調(diào)節(jié)器時系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(37)

式中，kP、kI分別為PI調(diào)節(jié)器參數(shù)。

分母多項式可以整理為

式中，ω1、ω2為極點(diǎn)的自然頻率；ξ1、ξ2為極點(diǎn)的阻尼系數(shù)。

由

整理得到

(38)

此時控制系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)為

(39)

式(38)、式(39)建立了兩對極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)PI參數(shù)之間的關(guān)系。由于存在兩對極點(diǎn)，而只有kP、kI兩個可調(diào)參數(shù)，因而需要選定兩個限制條件才能確定零極點(diǎn)的位置，所以諧振抑制效果并不理想。為了更好地抑制諧振，需要引入額外的狀態(tài)反饋信息。

3 負(fù)載位置反饋策略

(40)

θL(t)=θm(t)+Faη

因而可以通過測量柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)負(fù)載位置或柔性連桿系統(tǒng)末段位置獲得柔性模態(tài)幅值η，進(jìn)一步通過微分獲得其導(dǎo)數(shù)信息。

這里通過引入末段位置反饋抑制系統(tǒng)諧振，并對其應(yīng)用范圍、系統(tǒng)性能與參數(shù)關(guān)系、優(yōu)勢和劣勢進(jìn)行分析，然后通過極點(diǎn)配置確定控制器參數(shù)。

結(jié)合圖3，此時系統(tǒng)控制框圖如圖4所示。

圖4 負(fù)載位置反饋控制策略控制框圖Fig.4 Control blocks of PI controller with load position feedback

結(jié)合式(36)，系統(tǒng)方程為

(41)

不考慮阻尼影響，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(42)

式中，kP、kI分別為PI調(diào)節(jié)器參數(shù)；k1為柔性模態(tài)幅值η反饋系數(shù)。

分母多項式可以整理為

式中，ω1、ω2為極點(diǎn)的自然頻率；ξ1、ξ2為極點(diǎn)的阻尼系數(shù)。

由

pnψrkPΩ2s+pnψrkIΩ2

(43)

此時控制系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)為

z2=jΩ,z3=-jΩ

(44)

這里，有kP、kI、k1三個參數(shù)可調(diào)，因而，零極點(diǎn)不能任意配置。根據(jù)式(43)，需要滿足的限制條件為

(45)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中的極點(diǎn)配置方法，分別選擇：

1)相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略。

考慮ξ1=ξ2=ξ，那么根據(jù)式(43)整理得到

Ω2=ω1ω2

假設(shè)

ω1<Ω,ω2>Ω

此時相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布如圖5 所示。

圖5 相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布Fig.5 Poles and zeros of the pole placement strategy with same friction

根據(jù)圖5可以看出，在相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略下，隨著阻尼系數(shù)增大，零點(diǎn)靠近虛軸，主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，動態(tài)響應(yīng)變快，諧振減弱；隨著ω1的增大，ω2的減小，零點(diǎn)靠近虛軸，極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，動態(tài)響應(yīng)變快，諧振減弱。

2)相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置策略。

考慮ξ1ω1=ξ2ω2=aΩ，根據(jù)式(43)整理得到

假設(shè)

此時相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布如圖6所示。

圖6 相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布Fig.6 Poles and zeros of the pole placement strategy with real part

根據(jù)圖6可以看出，在相同實部極點(diǎn)配置策略下，隨著極點(diǎn)實部的增大，參數(shù)選取范圍變小，極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，零點(diǎn)接近虛軸，動態(tài)響應(yīng)加快，諧振減弱；在極點(diǎn)實部確定的情況下，隨著ω1的增大，ω2的減小，零點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，諧振增強(qiáng)。

3)相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略。

考慮ω1=ω2，根據(jù)式(43)整理得到

ω1=ω2=Ω

此時相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布如圖7所示。

圖7 相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置零極點(diǎn)分布Fig. 7 Poles and zeros of the pole placement strategy with same amplitude

進(jìn)一步的，若其中一對極點(diǎn)阻尼系數(shù)為0，則

ξ1=0,ω1=ω2=Ω

此時閉環(huán)極點(diǎn)為

p3=jΩ,p4=-jΩ

零點(diǎn)為

可以看出，其中一對零極點(diǎn)相互抵消，柔性負(fù)載系統(tǒng)等效為剛性系統(tǒng)。

根據(jù)圖7可以看出，在相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略下，兩對極點(diǎn)相互獨(dú)立，隨著兩對極點(diǎn)阻尼系數(shù)的減小，零點(diǎn)接近虛軸，同時零極點(diǎn)距離縮短，此時諧振減弱；若其中一對極點(diǎn)阻尼系數(shù)為0，柔性負(fù)載系統(tǒng)等效為剛性系統(tǒng)，此時，可以按照剛性系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法確定控制系統(tǒng)參數(shù)。

4 仿真結(jié)果

仿真通過Simulink進(jìn)行，仿真所使用的模型為式(34) 永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載模型。系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 柔性負(fù)載模型參數(shù)

對電機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制，引入負(fù)載位置反饋，分別采用相同阻尼系數(shù)、相同實部、相同極點(diǎn)幅值三種極點(diǎn)配置策略確定PI參數(shù)，進(jìn)行仿真。然后與無負(fù)載位置反饋時PI調(diào)節(jié)器控制效果進(jìn)行對比。

4.1 相同阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置

分別選定阻尼系數(shù)，計算得到的PI參數(shù)和零極點(diǎn)分布見表2。仿真結(jié)果如圖8所示。其中圖8a、圖8b分別為采用表2中第1、2組控制系統(tǒng)參數(shù)的仿真結(jié)果；圖8c、圖8d分別為采用表2中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的仿真結(jié)果。

對圖8中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可以得到表3，其中tr為上升時間，σ%為超調(diào)量，ts(5%)為穩(wěn)定時間。

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，在相同阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略下，觀察表3可以看出，隨著阻尼系數(shù)增大，動態(tài)響應(yīng)變慢，諧振減弱；隨著ω1的增大，ω2的減小，動態(tài)響應(yīng)變快，諧振程度增強(qiáng)；相對于未引入負(fù)載位置反饋PI調(diào)節(jié)器，引入負(fù)載位置反饋能夠更好地抑制系統(tǒng)諧振。

表2 極點(diǎn)阻尼系數(shù)相等配置策略零極點(diǎn)位置以及控制系統(tǒng)參數(shù)

圖8 相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results with the pole placement strategy of same friction

表3 極點(diǎn)阻尼系數(shù)相等配置策略仿真結(jié)果

4.2 相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置策略

分別選定極點(diǎn)實部，計算得到的PI參數(shù)和零極點(diǎn)分布見表4。仿真結(jié)果如圖9所示，其中圖9a、圖9b分別為采用表4中第1、2組控制系統(tǒng)參數(shù)的仿真結(jié)果；圖9c、圖9d分別為采用表4中第1、2組控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的仿真結(jié)果。

對圖9中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可得到表5。根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，在相同實部極點(diǎn)配置策略下，由表5可以看出，隨著極點(diǎn)實部的增大，動態(tài)響應(yīng)變慢，諧振減弱；在極點(diǎn)配置過程中，參數(shù)選擇范圍較小，因而，諧振抑制效果與PI調(diào)節(jié)器相差不大。

表4 極點(diǎn)阻尼實部相等配置策略零極點(diǎn)位置以及控制系統(tǒng)參數(shù)

圖9 相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置策略仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results with the pole placement strategy of same real part

表5 極點(diǎn)阻尼系數(shù)相等配置策略仿真結(jié)果

4.3 極點(diǎn)幅值相等極點(diǎn)配置策略

分別選定阻尼系數(shù)，計算得到的PI參數(shù)和零極點(diǎn)分布見表6。仿真結(jié)果如圖10所示，其中圖10a、圖10b分別為采用表6中第1、2組控制系統(tǒng)參數(shù)的仿真結(jié)果；圖10c、圖10d分別為采用表6中第1、2組控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的仿真結(jié)果。

對圖10中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可得到表7。

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，在相同幅值配置策略下，由表7可以發(fā)現(xiàn)，兩對極點(diǎn)相互獨(dú)立，隨著極點(diǎn)阻尼系數(shù)的增大，諧振減弱；相對于未引入負(fù)載位置反饋PI調(diào)節(jié)器，引入負(fù)載位置反饋能更好地抑制系統(tǒng)諧振。

表6 極點(diǎn)幅值相等配置策略零極點(diǎn)位置以及控制系統(tǒng)參數(shù)

圖10 相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results with the pole placement strategy of same amplitude

表7 極點(diǎn)阻尼系數(shù)相等配置策略仿真結(jié)果

5 實驗結(jié)果

實驗在卡內(nèi)基梅隆大學(xué)蛇形機(jī)器人兩個模塊上進(jìn)行，兩個模塊之間由一彈性元件相連。系統(tǒng)參數(shù)見表8。

對系統(tǒng)進(jìn)行速度控制，引入負(fù)載位置反饋，分別采用提出的3種極點(diǎn)配置策略。根據(jù)式(1)中的定義可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)參數(shù)與表1中仿真所使用柔性負(fù)載模型參數(shù)一致，因而這里3種極點(diǎn)配置策略實驗參數(shù)分別與表2、表4、表6相同，實驗結(jié)果分別如圖11～圖13 所示。圖11為采用相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果，其中圖11a、圖11b分別為采用表2中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)的實驗結(jié)果；圖11c、圖11d 分別為采用表2中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的實驗結(jié)果。圖12為采用相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果，其中，圖12a、圖12b分別為采用表4中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)的實驗結(jié)果；圖12c、圖12d分別為采用表4中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的實驗結(jié)果。圖13為采用相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果，其中，圖13a、圖13b分別為采用表6中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)的實驗結(jié)果；圖12c、圖12d分別為采用表6中第1、2組的控制系統(tǒng)參數(shù)但未引入負(fù)載位置反饋的實驗結(jié)果。

對圖11中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可得到表9。

圖11 相同極點(diǎn)阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果Fig.11 Experimental results with the pole placement strategy of same friction

圖12 相同極點(diǎn)實部極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果Fig.12 Experimental results with the pole placement strategy of same real part

圖13 相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略實驗結(jié)果Fig.13 Experimental results with the pole placement strategy of same amplitude

表9 極點(diǎn)阻尼系數(shù)相等配置策略仿真結(jié)果

對圖12中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可得到表10。

表10 極點(diǎn)實部相等配置策略仿真結(jié)果

對圖13中系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行總結(jié)可得到表11。

表11 極點(diǎn)幅值相等配置策略仿真結(jié)果

由表9～表11可以發(fā)現(xiàn)，實驗中，由于摩擦和阻尼的影響，相對于仿真結(jié)果略有不同，但基本響應(yīng)與仿真結(jié)果一致，因而通過實驗可得到與仿真中一致的結(jié)論。

綜上所述，通過引入負(fù)載位置反饋，可以在傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抑制系統(tǒng)諧振；在對基于負(fù)載位置反饋的永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載進(jìn)行極點(diǎn)配置時，優(yōu)先考慮阻尼系數(shù)相等和極點(diǎn)幅值相等極點(diǎn)配置策略；在相同阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略中，為了抑制系統(tǒng)諧振，可以考慮盡可能增大阻尼系數(shù)并且使得兩對極點(diǎn)幅值相等；在相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略下，可以通過選擇參數(shù)使得一對極點(diǎn)與一對零點(diǎn)相互抵消，使系統(tǒng)等效為剛性系統(tǒng)，然后通過選擇另外一對極點(diǎn)阻尼系數(shù)進(jìn)行極點(diǎn)配置。

6 結(jié)論

針對永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載中的機(jī)械諧振，本文利用拉格朗日原理對伺服系統(tǒng)中的柔性關(guān)節(jié)和柔性連桿負(fù)載建立了一致的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，與永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型結(jié)合，得到了永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載數(shù)學(xué)模型。采用PI調(diào)節(jié)器對系統(tǒng)進(jìn)行控制，并對PI調(diào)節(jié)器參數(shù)與系統(tǒng)極點(diǎn)關(guān)系進(jìn)行了分析。分別引入3種不同類型的針對PI調(diào)節(jié)器的極點(diǎn)配置策略，通過仿真和實驗對PI調(diào)節(jié)器和3種狀態(tài)反饋策略進(jìn)行了評估。得到如下結(jié)論：

1)本文所提出的永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載建模方法，綜合考慮了永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型和柔性負(fù)載數(shù)學(xué)模型，同時柔性負(fù)載模型既可以表示柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)也可以表示柔性連桿系統(tǒng)，更具有一般性和代表性。

2)本文所提出的采用PI調(diào)節(jié)器對永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置的方法，能夠使得PI調(diào)節(jié)器參數(shù)與系統(tǒng)極點(diǎn)關(guān)系一目了然，對PI調(diào)節(jié)器參數(shù)整定具有重要意義。

3)通過引入負(fù)載位置反饋，可以在傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抑制系統(tǒng)諧振。

4)在對基于負(fù)載位置反饋的永磁同步電機(jī)驅(qū)動柔性負(fù)載系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)整定時，優(yōu)先考慮阻尼系數(shù)相等和極點(diǎn)幅值相等極點(diǎn)配置策略；在相同阻尼系數(shù)極點(diǎn)配置策略中，為了抑制系統(tǒng)諧振，可以考慮盡可能增大阻尼系數(shù)并且使得兩對極點(diǎn)幅值相等；在相同極點(diǎn)幅值極點(diǎn)配置策略下，可以通過選擇參數(shù)使得一對極點(diǎn)與一對零點(diǎn)相互抵消，然后通過選擇另外一對極點(diǎn)阻尼系數(shù)進(jìn)行極點(diǎn)配置。

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(編輯 于玲玲)

Resonance Suppression Method Based on Load Position Feedback for Flexible Load Driven by PMSM

DingYoushuangXiaoXi

(State Key Laboratory of Security Control and Simulation of Power Systems and Large Scale Generation Equipment Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China)

The flexible load is widely presents in the electrical drive system. According to the origin, the flexible load can be classified as the system of rigid load driven by a servo motor via a flexible coupling and flexible load driven directly by a servo motor. As for the typical system above, firstly they are modeled according to Lagrange Principle and an equivalent model is acquired. Then PI controller is used for the system control. Since there are only two degrees for PI controller, the performance is unsatisfactory. As a result, the state feedback has to be introduced. On this occasion, the load position is measured and feedback to the control system. Then the strategy is analyzed and the parameters are tuned with pole placement method. The simulation and experimental results verified the effectiveness of the load position feedback strategy and its′ parameter tuning method for the system of flexible load driven by PMSM.

Permanent magnet synchronous motor(PMSM), flexible load, load position feedback, pole placement

國家自然科學(xué)基金項目資助(51577095)。

2016-02-18 改稿日期2016-06-07

TM315

丁有爽 男，1991年生，博士研究生，研究方向為交流電機(jī)、工業(yè)機(jī)器人驅(qū)動控制。

E-mail: dingyoushuang@126.com(通信作者)

肖 曦 男，1973年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為交流電機(jī)控制、電力儲能、海浪發(fā)電等。

E-mail: xiao_xi@mail.tsinghua.edu.cn