張四保，鄧 勇(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，中國 喀什 844008)

幾類正整數(shù)是否為完全數(shù)問題

張四保，鄧 勇
(喀什大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，中國 喀什 844008)

本文研究形如5m+j與13m+j的正偶數(shù)是否是偶完全數(shù)的問題，以及形如5m-1的正奇數(shù)是否是奇完全數(shù)的問題，并給出相應的結(jié)論.

完全數(shù)；偶完全數(shù)；奇完全數(shù)

設(shè)σ(n)是正整數(shù)n的所有正因數(shù)(包括1和n)的和函數(shù). 若n滿足σ(n)=2n，則n被稱為完全數(shù). 根據(jù)Euclid定理[1]與Euler定理[2]可知，當2p-1為Mersenne素數(shù)時，2p-1(2p-1)是完全數(shù)，且是僅有的偶完全數(shù)[3]. 到目前為止，人們只發(fā)現(xiàn)了49個偶完全數(shù)，其中第49個偶完全數(shù)274 207 280(274 207 281-1)由美國中央密蘇里大學數(shù)學家柯蒂斯·庫珀領(lǐng)導的研究小組通過參加一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”(GIMPS)的國際項目于2016年1月7日發(fā)現(xiàn)[4]，而至今尚未發(fā)現(xiàn)奇完全數(shù)，是否存在奇完全數(shù)，這已成為數(shù)論中著名的問題之一[5].

1 主要結(jié)論及證明

定理1 形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1,2.

證 設(shè)n是5m+j型的正偶數(shù)，其中j=-1,2，即n≡-1,2(mod 5). 由Euler定理與Euclid定理可知，偶完全數(shù)n的形式必為2p-1(2p-1)，其中2p-1為Mersenne素數(shù). 當p=2時，n≡1(mod 5)；當p=3時，n≡3(mod 5)；當p≥5時，令p=4k+1，或p=4k+3.

當p=4k+1時，

n=2p-1(2p-1)=24k(24k+1-1)≡1(mod 5).

當p=4k+3時，

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3(mod 5).

而n≡-1,2(mod 5). 所以，形如5m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=-1,2. 證畢.

(1)當qi≡1(mod 5)或qi≡4(mod 5)或滿足qi≡1(mod 5)與qi≡4(mod 5)；

(2)當βi全為偶數(shù)；

(3)當βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡2(mod 5)，且qi的個數(shù)s為偶數(shù)；

(4)當βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡2(mod 5)，且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個；

(5)當βi全為奇數(shù)，qi都滿足qi≡3(mod 5)，且qi的個數(shù)s為偶數(shù)；

(6)當βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，qi都滿足qi≡3(mod 5)，且βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個；

(7)當βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2(mod 5)的qi為偶數(shù)個，滿足qi≡3(mod 5)的qi為偶數(shù)個；

(8)當βi全為奇數(shù)，且滿足qi≡2(mod 5)的qi為奇數(shù)個，滿足qi≡3(mod 5)的qi為奇數(shù)個；

(9)當βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2(mod 5)的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，滿足qi≡3(mod 5)的βi為奇數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個；

(10)當βi既有偶數(shù)又有奇數(shù)，滿足qi≡2(mod 5)的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個，滿足qi≡3(mod 5)的βi為奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個;

則n不是奇完全數(shù).

Case 5 結(jié)合以上Case 1至Case 4所討論的情況，即qi中都有滿足qi≡1(mod 5)，qi≡2(mod 5)，qi≡3(mod 5)，qi≡4(mod 5)的奇素數(shù).

定理3 形如13m+j的正偶數(shù)不是完全數(shù)，其中j=0,4,5,7,9,11,12.

證 設(shè)n是13m+j型的正偶數(shù)，其中j=0,4,5,7,9,11,12，即n≡0,4,5,7,9,11,12(mod 13).當p=2時，n≡6(mod 13)；當p=3時，n≡2(mod 13)；當p≥5時，令p=4k+1，或p=4k+3，這里k≥1為整數(shù).

當p=4k+1時，

n=2p-1(2p-1)=24k(24k+1-1)≡3k(3k·2-1)(mod 13).

下面對3k取模13的情況進行討論. 由于

當k=3k1時，有3k=33k1=27k1≡1(mod 13). 此時，n=2p-1(2p-1)≡3k(3k·2-1)≡1(mod 13)；

當k=3k1+1時，有3k=33k1+1=27k1·3≡3(mod 13). 此時，n=2p-1(2p-1)≡2(mod 13)；

當k=3k1+2時，有3k=33k1+2=27k1·9≡9(mod 13). 此時，n=2p-1(2p-1)≡10(mod 13).

當p=4k+3時，

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3k·22(3k·23-1)(mod 13).

結(jié)合上面對3k取模13情況的討論，有

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3k·22(3k·23-1)≡2,3,8(mod 13).

綜上所述，偶完全數(shù)n=2p-1(2p-1)取模13只滿足n=2p-1(2p-1)≡1,2,3,6,8,10(mod 13).所以，若正偶數(shù)n滿足n≡0,4,5,7,9,11,12(mod 13)，則n不是完全數(shù). 證畢.

[1] 徐品方. 魅力無窮的完全數(shù)[J]. 數(shù)學通報, 2000，65(10)：39-41.

[2] 吳振奎. 麥森素數(shù)與完全數(shù)[J]. 中等數(shù)學，1999，18(4)：19-20.

[3] 王紹恒，劉水強. 完全數(shù)與偽完全數(shù)[J]. 湖南師范大學自然科學學報，2000，23(2)：33-36.

[4] 田 媛.第49個超大梅森素數(shù)被發(fā)現(xiàn)超2200萬位[EB/OL].(2016-01-21)[2016-03-14].http://world.gmw.cn/2016-01/21/content_18593014.htm.

[5] Guy R K. 數(shù)論中未解決的問題[M].張明堯,譯. 北京：科學出版社，2003.

[6] DICKSON L E. History of theory of number[M]. Amsterdam: North-Holland Pub Co, 1919.

[7] MCDANIEL W L, HAGIS P. Some results concerning nonexistence of odd perfect numbers of the formpαm2β[J]. J Fibonnacci Quart, 1975,13(1):25-28.

[8] IANNUCCI D E, SORLI R M. On the total number of prime factors of an odd perfect number [J]. Math Comput, 2003,72(224):2077-2084.

[9] LUCA F. The anti-social Fermat number [J]. Am Math Monthly, 2000,107(2):171-173.

[10] 沈忠華. 關(guān)于親和數(shù)和完全數(shù)的一個注記[J]. 黑龍江大學自然科學學報，2006，23(2)：250-252.

[11] 楊仕椿. 形如n=πα32βQ2β的奇完全數(shù)[J].阿壩師范高等專科學校學報，2006，23(4)：120-122.

[12] SHEN Z H, YU X Y. A note on amicable number[J]. 數(shù)學雜志，2008，28(2)：141-144.

[13] STARNI P. On some properties of the Euler’s factor of certain odd perfect numbers[J]. J. Numb Theor, 2006,116(2):483-486.

[14] 朱玉揚. 奇完全數(shù)的幾個命題[J]. 數(shù)學進展，2011，40(5)：595-598.

(編輯 HWJ)

Problems of Whether or Not Several Kinds of Positive Numbers are Perfect Numbers

ZHANGSi-bao*,DENGYong
(School of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Kashgar 844008, China)

In this article, the problems whether or not the positive even numbers of the form 5m+jand 13m+jare perfect numbers were investigated. Also studied was the problem whether or not the positive odd numbers of the form 5m-1 are perfect numbers.

perfect number; even perfect number; odd perfect number

2016-03-15

新疆維吾爾自治區(qū)高?？蒲杏媱澲攸c資助項目(XJEDU2008I31)

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.03.014

O156

A

1000-2537(2017)03-0079-04

*通訊作者,E-mail：sibao98@sina.com