余小飛，李 平

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473000)

三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算方法及其運(yùn)用研究

余小飛，李 平

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473000)

三重積分的計(jì)算，應(yīng)考慮如何將其化為三次積分進(jìn)行，本文根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)，研究幾個(gè)三重積分的計(jì)算。

三重積分；直角坐標(biāo)；三次積分

0 引言

三重積分在空間物體的質(zhì)量、引力方面有非常廣泛的應(yīng)用，但三重積分的計(jì)算卻是非常復(fù)雜的，本文將利用直角坐標(biāo)系來(lái)研究三重積分的計(jì)算與運(yùn)用。

1 三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算方法

三重積分的計(jì)算是化成三次積分進(jìn)行的，其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分(一重積分)和一個(gè)二重積分，然后再將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。

Σ1:z=z1(x,y)，Σ2:z=z2(x,y)

其中z1(x,y)，z2(x,y)在Dxy上連續(xù)，且z1(x,y)≤z2(x,y)。在這種情況下，積分區(qū)域Ω可表示為

Ω={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈Dxy}

或者

同理，三重積分的計(jì)算也可以先對(duì)x求定積分，再對(duì)y，z求二重積分，有

或者先對(duì)y求定積分，再對(duì)x，z求二重積分，有

2 應(yīng)用例析

解將積分區(qū)域Ω投影到xOy面上，得投影區(qū)域

在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y)，過(guò)此點(diǎn)作平行于z軸的直線，該直線過(guò)平面z=0穿入Ω，過(guò)平面z=1-x-y穿出Ω，因此

解根據(jù)三重積分的性質(zhì)，可得

又由被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性，知

而

其中積分區(qū)域

(0≤z≤c)。

因此

x2+y2=z2，z=1

所界的區(qū)域。

解曲面在xOy平面上的射影D為圓盤x2+y2≤1，于是

3 結(jié)語(yǔ)

在利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分時(shí)，可化為三次積分來(lái)進(jìn)行，但積分次序的不同，計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜程度也不盡相同，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)，首先運(yùn)用積分的性質(zhì)，然后選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

[1]費(fèi)定輝，周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2008：368-369.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第三版下冊(cè).北京:高等教育出版社，2006：247-251.

(編輯 趙欣宇)

Research on the Calculation Method and Application of Rectangular Coordinates of Three Integral

YU Xiaofei, LI Ping

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

Calculation of the three integral, should consider how to convert it into the triple integral. In this paper, the calculation of several integrals of the three integral according to the characteristics of the integral region and the integrand.

three integral; rectangular coordinates; the triple integral

2017-03-14

余小飛(1986-)，理學(xué)碩士，講師。主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

G712

A

1672-0601(2017)05-0085-02