余慕春， 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 振動(dòng)工程研究所，南京 210016)

含三次非線性阻尼特性的分子彈簧隔振系統(tǒng)

余慕春， 陳 前

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 振動(dòng)工程研究所，南京 210016)

對(duì)含有三次非線性阻尼特性的分子彈簧隔振系統(tǒng)的隔振性能進(jìn)行了仿真研究和理論分析。分子彈簧隔振器是一種具有高靜低動(dòng)剛度特性的新型隔振器，將MR阻尼器和分子彈簧隔振器并聯(lián)，并對(duì)MR阻尼器實(shí)施PI反饋控制來模擬指定的三次非線性阻尼特性，得到兼具高靜低動(dòng)剛度特性和非線性阻尼特性的隔振系統(tǒng)。通過動(dòng)力學(xué)仿真和理論分析研究了三次非線性阻尼特性對(duì)分子彈簧隔振系統(tǒng)的隔振性能的影響，通過諧波平衡法深入分析三次阻尼特性的隔振機(jī)理。結(jié)果表明：三次非線性阻尼特性適用于隔力，可有效抑制共振峰值同時(shí)不改變隔振頻率區(qū)的隔振性能，而三次阻尼特性不適合于隔幅。

隔振；三次阻尼；分子彈簧隔振器；MR阻尼器

分子彈簧隔振器是本文作者發(fā)明的一類具有高靜低動(dòng)剛度特性的新型隔振器[1-2]，分子彈簧隔振器采用水和含納米級(jí)孔道的疏水沸石混合而成的分子彈簧功能材料作為工作介質(zhì)，利用水分子在高壓下進(jìn)出疏水納米微孔并儲(chǔ)存、釋放能量的原理實(shí)現(xiàn)隔振[3-4]。由于毛細(xì)管作用，水在常壓下無法進(jìn)入疏水微孔，此時(shí)分子彈簧隔振器具有極高靜剛度，直到壓強(qiáng)增加到某一臨界值時(shí)，水分子克服毛細(xì)管力大量進(jìn)入疏水微孔，分子彈簧隔振器剛度迅速降低，因此分子彈簧隔振器具有高靜低動(dòng)的分段非線性剛度特性[5-6],可克服線性隔振器高承載能力和低固有頻率無法兼顧的固有矛盾[7-8]。

阻尼器是隔振系統(tǒng)中的耗能元件，傳統(tǒng)線性阻尼增加可有效降低共振頻率區(qū)傳遞率幅值，然而阻尼增大會(huì)導(dǎo)致隔振頻率區(qū)的傳遞率增加，為解決這一問題，非線性阻尼特性受到了越來越多的關(guān)注。Lang等[9]發(fā)現(xiàn)三次非線性阻尼可有效改善共振頻率區(qū)力傳遞率，而對(duì)隔振頻率區(qū)力傳遞率不產(chǎn)生影響；Ho[10]發(fā)現(xiàn)通過對(duì)MR阻尼器實(shí)施PI反饋控制可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)非線性阻尼特性，并通過試驗(yàn)研究了反對(duì)稱1/2次阻尼對(duì)隔振的影響；彭志科等[11]證明了一類反對(duì)稱非線性阻尼特性對(duì)隔振均有改善作用。

余慕春等驗(yàn)證了具有高靜低動(dòng)剛度特性的分子彈簧隔振器具有優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)的隔振性能，因此，若能將非線性阻尼特性引入的分子彈簧隔振系統(tǒng)，將有望提供更優(yōu)的隔振性能。本文將MR阻尼器引入分子彈簧隔振系統(tǒng)，通過對(duì)MR阻尼器實(shí)施PI反饋控制來模擬指定的三次阻尼特性，實(shí)現(xiàn)了兼具高靜低動(dòng)剛度特性和非線性阻尼特性的隔振方案。目前三次阻尼特性對(duì)于力傳遞率的改善效果已被證實(shí)，然而三次阻尼對(duì)于基礎(chǔ)激勵(lì)下的位移傳遞率的影響、三次阻尼影響力傳遞率和位移傳遞率的作用機(jī)理等問題尚不清楚。本文首先研究了通過MR阻尼器實(shí)現(xiàn)三次阻尼特性的PI反饋控制方法；隨后通過Matlab/Simulink仿真研究了分子彈簧隔振系統(tǒng)中的三次阻尼特性對(duì)隔力和隔幅的影響；最后通過諧波平衡法深入研究了三次阻尼隔振機(jī)理，發(fā)現(xiàn)了三次阻尼特性對(duì)隔力和隔幅效果不同的原因。值得一提的是，由于MR阻尼器通過速度反饋模擬指定的阻尼特性，而不是像傳統(tǒng)半主動(dòng)控制系統(tǒng)提供作動(dòng)力以直接抑制振動(dòng)，因此該基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統(tǒng)本質(zhì)還是被動(dòng)隔振系統(tǒng)。

1 MR阻尼器反饋控制

本節(jié)通過對(duì)MR阻尼器實(shí)施PI控制模擬三次非線性阻尼特性，具體過程如圖1所示。將分子彈簧隔振器和MR阻尼器并聯(lián)形成隔振系統(tǒng)，實(shí)測MR阻尼器的阻尼力和負(fù)載速度響應(yīng)，通過計(jì)算目標(biāo)阻尼力和實(shí)測的MR阻尼力的偏差，對(duì)MR阻尼器實(shí)施反饋控制，從而模擬目標(biāo)阻尼特性。

圖1 含MR阻尼器的分子彈簧隔振系統(tǒng)

對(duì)MR阻尼器的研究常用模型有Bingham模型、Bouc-Wen模型、修正Dahl模型、Sigmoid模型等力學(xué)模型，本節(jié)采用文獻(xiàn)[12]中的MR阻尼器的Nonparametric模型進(jìn)行仿真研究，該Nonparametric模型由多項(xiàng)式方程、構(gòu)型方程、延遲方程和補(bǔ)償方程等四個(gè)方程組成，其中多項(xiàng)式方程將MR阻尼器的最大阻尼力表述為輸入電流的函數(shù)，構(gòu)型方程構(gòu)建阻尼力和速度的波形關(guān)系，延遲方程構(gòu)建遲滯環(huán)，補(bǔ)償方程修正阻尼力偏差，該模型具有易于仿真和方便實(shí)施控制的特點(diǎn)，在MR阻尼器的控制研究中有廣泛應(yīng)用。

MR阻尼器的反饋控制方法如圖2所示，仿真模型的輸入信號(hào)為速度信號(hào)；方框A為目標(biāo)三次阻尼特性參數(shù)，方框B為PI控制器。方框C為MR阻尼器子系統(tǒng)，該MR阻尼器子系統(tǒng)中采用了上述Nonparametric模型，該模型利用輸入的速度信號(hào)和來自PI控制器的電流信號(hào)計(jì)算阻尼力并輸出。通過Matlab/Simulink對(duì)MR阻尼器的PI控制進(jìn)行仿真結(jié)果如圖3所示，圖3分別對(duì)比了在不同類型輸入信號(hào)下MR阻尼器輸出力和目標(biāo)三次阻尼特性的阻尼力，可見通過PI控制，在各種信號(hào)下MR阻尼器均可以較好的模擬三次非線性阻尼特性。

圖2 MR阻尼器PI控制Simulink仿真

(a) 正弦信號(hào)

(b) 方波信號(hào)

(c) 三角波信號(hào)

(d) 隨機(jī)信號(hào)

2 含三次阻尼分子彈簧隔振器隔振性能

2.1 力傳遞率

分子彈簧隔振器是具有“高-低-高”分段非線性剛度和等效線性阻尼的新型隔振器(圖4)，加載負(fù)載后形成分子彈簧隔振系統(tǒng)，合適的負(fù)載將使系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)處于分子彈簧隔振器的低剛度段，因此分子彈簧表現(xiàn)出高靜低動(dòng)的剛度特性，即同時(shí)具有高承載能力和低固有頻率。

圖4 分子彈簧隔振器剛度曲線

在工程實(shí)際中，分子彈簧隔振器工作段范圍足夠大，可保證振幅可始終保持在低剛度段內(nèi)。分子彈簧隔振器的低剛度段具有非線性剛度，且分子彈簧隔振器本身具有弱線性阻尼特性，通過MR阻尼器引入三次非線性阻尼特性后(見圖1)，在外力激勵(lì)下分子彈簧隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:M是負(fù)載質(zhì)量;c01是一次阻尼系數(shù);c03是三次阻尼系數(shù);k1、k2、k3是剛度系數(shù);F是激勵(lì)力幅值;ω是激勵(lì)角頻率;φ是未知相位;化簡式(1)后得

(2)

采用圖2所示控制方法對(duì)MR阻尼器實(shí)施反饋控制并模擬式(2)中的三次阻尼特性，建立基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統(tǒng)的Matlab/Simulink動(dòng)力學(xué)仿真模型。圖5對(duì)比基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統(tǒng)的仿真模型的位移時(shí)域響應(yīng)和對(duì)式(2)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的位移時(shí)域響應(yīng)，得到完全吻合的結(jié)果，證明通過PI反饋控制，MR阻尼器可在隔振系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)三次阻尼特性。

圖5 位移時(shí)域響應(yīng)

改變Matlab/Simulink動(dòng)力學(xué)仿真模型中的三次阻尼系數(shù)，可以得到系統(tǒng)隔振性能隨三次阻尼特性的變化關(guān)系,如圖6所示。共振頻率區(qū)力傳遞率幅值隨著三次非線性阻尼系數(shù)的增大而降低，然而隔振頻率區(qū)力傳遞率不受三次阻尼系數(shù)的影響；而在力傳遞率峰值相同的情況下，含三次非線性阻尼的分子彈簧隔振系統(tǒng)隔振性能明顯優(yōu)于只含有線性阻尼的分子彈簧隔振系統(tǒng)。

圖6 不同阻尼系數(shù)下分子彈簧隔振系統(tǒng)力傳遞率

Fig.6 Force transmissibility of molecular spring isolation system with different damping coefficient

為研究三次阻尼特性的隔振機(jī)理，對(duì)式(2)運(yùn)用諧波平衡法[13-15]?？紤]到激勵(lì)力已包含未知相位，可假設(shè)響應(yīng)形式為x=acos(t)，代入式(8)并忽略直流項(xiàng)和含cos(2ωt)、cos(3ωt)的項(xiàng)得

(3)

式中,λ=ω/ω0。

力傳遞率可表示為

(4)

即

(5)

力傳遞率對(duì)三次阻尼系數(shù)求導(dǎo)可得

(6)

由式(3)可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)幅值a的表達(dá)式，把a(bǔ)的表達(dá)式代入式(6)，分別在共振頻率區(qū)和隔振頻率區(qū)分析dTf/dc3，結(jié)果如圖7所示。在共振頻率區(qū)(λ=1)時(shí)dTf/dc3值為負(fù)，因此力傳遞率Tf隨著三次阻尼系數(shù)c3的增加而降低；而在隔振頻率區(qū)(λ=4和λ=100)時(shí)dTf/dc3值為0，因此力傳遞率Tf不隨著三次阻尼系數(shù)c3的改變而改變。

圖7 不同激勵(lì)頻率下dTf/dc3

2.2 位移傳遞率

基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的含三次阻尼特性的分子彈簧隔振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

式中:z是基礎(chǔ)與被保護(hù)設(shè)備之間的相對(duì)位移;xb是基礎(chǔ)位移激勵(lì)幅值?；喓蟮?/p>

(8)

采用MR阻尼器模擬式(8)中的三次阻尼特性并通過Matlab/Simulink對(duì)該基于MR阻尼器的分子彈簧隔振系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，得到不同阻尼特性下系統(tǒng)的位移傳遞率,如圖8所示。由圖8可見三次非線性阻尼可以抑制共振頻率區(qū)傳遞率幅值，而同時(shí)三次阻尼增加了隔振頻率區(qū)傳遞率；對(duì)比具有相同共振峰的三次阻尼分子彈簧隔振系統(tǒng)和線性阻尼分子彈簧隔振系統(tǒng)的位移傳遞率，發(fā)現(xiàn)三次阻尼對(duì)高頻區(qū)隔幅有不利影響，而且這一不利影響隨著激勵(lì)頻率增加而加劇。因此，三次阻尼特性不適合隔幅。

圖8 不同阻尼系數(shù)下分子彈簧隔振系統(tǒng)位移傳遞率

Fig.8 Displacement transmissibility of molecular spring isolation system with different damping coefficient

為研究三次阻尼特性對(duì)位移傳遞率產(chǎn)生不利影響的機(jī)理，假設(shè)解位移激勵(lì)下解的形式為z=acos(ωt)，對(duì)式(8)運(yùn)用諧波平衡法可得幅頻關(guān)系為

(9)

激勵(lì)力相頻關(guān)系為

(10)

位移傳遞率可表示為

(11)

由式(9)可求出響應(yīng)幅值a的表達(dá)式，并將其和式(10)代入式(11)，得到Td表達(dá)式，隨后對(duì)三次阻尼系數(shù)求導(dǎo)得dTd/dc3。分別在共振頻率區(qū)和隔振頻率區(qū)分析dTd/dc3,如圖9所示，在共振頻率區(qū)(λ=1)時(shí)dTd/dc3值為負(fù)，因此傳遞率Td隨著三次阻尼系數(shù)的增加而降低，而在隔振頻率區(qū)(λ=4和λ=100)時(shí)dTd/dc3值為大于0，因此傳遞率Td隨著三次阻尼系數(shù)的增大而增加。與隔力不同，三次阻尼特性對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)下隔幅有不利影響。

圖9 不同激勵(lì)頻率下dTd/dc3

3 結(jié) 論

本文對(duì)三次非線性阻尼特性的實(shí)現(xiàn)及其對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，基于PI控制的MR阻尼器可以較好的模擬三次阻尼特性，而三次非線性阻尼特性比傳統(tǒng)線性阻尼更適合于隔力，三次阻尼可在共振頻率區(qū)可有效降低力傳遞率的幅值，同時(shí)不影響隔振頻率區(qū)力傳遞率的幅值，這一特性將提高系統(tǒng)隔振性能，拓寬隔振頻帶，抑制非線性系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象。然而三次阻尼特性并不適合于基礎(chǔ)激勵(lì)情況下的隔幅。

將分子彈簧隔振系統(tǒng)與MR隔振器配合使用，實(shí)現(xiàn)含三次非線性阻尼特性的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)，該系統(tǒng)將在重載低頻隔振領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。本文研究可為工程人員進(jìn)行隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

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Molecular spring isolation system with cubic nonlinear damping

YU Muchun, CHEN Qian

(State Key Lab of Mechanics & Control of Mechanical Structures, Institute of Vibration Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016, China)

Here, theoretical analysis and simulation for vibration isolation performances of molecular spring isolation systems with cubic nonlinear viscous damping were conducted. Molecular spring isolator is a novel vibration isolator with high-static-low-dynamic stiffness property. To build a vibration isolation system with both high-static-low-dynamic stiffness property and a nonlinear damping one, a MR damper and a molecular spring isolator were connected in parallel, the MR damper implemented the PI feed-back control method to simulate the desired cubic nonlinear damping property. The effects of cubic nonlinear damping on vibration isolation performances of the system were studied using dynamic simulation and theoretical analysis. The vibration isolation mechanism of the cubic nonlinear damping was analyzed with the harmonic balance method. The results showed that the cubic nonlinear damping property can isolate the transmission of forces, effectively reduce resonant force peaks and not change the vibration isolation performances of vibration isolation frequency areas, but it can’t isolate the transmission of vibration displacement amplitudes.

vibration isolation; cubic damping; molecular spring isolator; MR damper

國家自然科學(xué)基金(11272145；11472127)

2015-11-06 修改稿收到日期：2016-04-05

余慕春 男，博士，1989年生

陳前 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.027