趙寰宇， 嚴珠妹， 蓋曉玲， 劉兵飛

(1. 北京交通大學 工程力學研究所， 北京 100044； 2. 北京市勞動保護科學研究所 環(huán)境噪聲與振動北京市重點實驗室， 北京 100054； 3. 中國民航大學 機場學院， 天津 300300)

復(fù)式晶格聲子晶體的多帶隙實驗研究

趙寰宇1， 嚴珠妹1， 蓋曉玲2， 劉兵飛3

(1. 北京交通大學 工程力學研究所， 北京 100044； 2. 北京市勞動保護科學研究所 環(huán)境噪聲與振動北京市重點實驗室， 北京 100054； 3. 中國民航大學 機場學院， 天津 300300)

由于人工聲子晶體具有天然材料所不具備的異常物理性質(zhì)，它能夠調(diào)控彈性波或聲波的傳輸?？紤]復(fù)式晶格可以降低晶體結(jié)構(gòu)的對稱性，容易打開完全帶隙，進而抑制波的傳播。設(shè)計了單胞含6個“原子”的(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體，結(jié)合超聲浸水透射技術(shù)，測試了第一布里淵區(qū)Γ-K和Γ-M方向帶隙性質(zhì)。結(jié)果表明：實驗得到的寬頻段8個完全帶隙頻率范圍和有限元法計算值可以很好地吻合。還詳細分析了完全帶隙邊界頻率點本征模態(tài)和聲波局域效應(yīng)，這對于設(shè)計多帶隙隔聲材料具有重要參考意義。

聲子晶體； 復(fù)式晶格； 多帶隙； 實驗研究

聲子晶體是由人工特殊設(shè)計的結(jié)構(gòu)單元周期排列組成復(fù)合材料，它的概念是1993年類比光子晶體提出來的，近年來已成為物理學、聲學和力學等學科交叉領(lǐng)域非常關(guān)注的基礎(chǔ)科學問題之一[1]。聲子晶體能夠調(diào)控經(jīng)典波(彈性波、聲波和表面波等)和熱流傳播，展現(xiàn)了從宏觀尺度到納米尺度的許多奇妙物理現(xiàn)象和效應(yīng)，如聲波的低頻帶隙、負折射、聲波(熱流)隱身效應(yīng)、聲(熱)二極管，聲光耦合效應(yīng)、熱流和高頻超聲傳輸效應(yīng)等[2-4]。聲子晶體的物理性質(zhì)主要由結(jié)構(gòu)單元特性(如形狀因子、手性、共振)和結(jié)構(gòu)單元空間分布(如間距、對稱性、點陣形式)組成[5]。帶隙是聲子晶體重要物理性質(zhì)之一，結(jié)構(gòu)單元點陣形式是影響帶隙的一個關(guān)鍵要素。1995年，Martínez-Sala等對正方晶格鋼/空氣體系聲子晶體進行聲學特性測試，第一次從實驗的角度證實了聲波帶隙存在。隨后，關(guān)于聲子晶體研究引起廣大學者極大關(guān)注，為了降低正方晶格和三角晶格鋼/空氣體系聲子晶體的結(jié)構(gòu)對稱性，Caballero等[6]分別在上述聲子晶體相對應(yīng)正方形單胞中增加一個直徑很小鋼柱，并在正六邊形單胞中減少中心鋼柱直徑，理論計算和實驗測試表明：這兩種聲子晶體能夠打開更寬的完全帶隙。 Hsiao等[7]也從實驗和理論研究了三角晶格、蜂窩晶格鋼/水體系聲子晶體的完全帶隙和“盲”帶(deaf bands)性質(zhì)，由于蜂窩晶格比三角晶格對稱性低，導致了它產(chǎn)生低頻帶隙。

趙浩江等[8]利用平面波展開法計算了復(fù)雜復(fù)式正方晶格聲子晶體板的能帶結(jié)構(gòu)，通過改變基元內(nèi)不同位置處散射體的半徑比及填充率，可得到較寬的帶隙，很好地抑制彈性波的傳播。

與簡單晶格相比[9-10]，復(fù)式晶格單胞含兩個或者兩個以上原子，能夠降低晶體結(jié)構(gòu)對稱性，打開能帶結(jié)構(gòu)簡并態(tài)，產(chǎn)生更多完全帶隙[11]。趙芳等[12]利用平面波展開法研究了二維復(fù)式晶格鋁/空氣體系聲子晶體帶隙性質(zhì)，分析發(fā)現(xiàn)單胞含2個、3個“原子”的蜂窩晶格和Kagome晶格可以產(chǎn)生低頻帶隙，但未進行實驗驗證。趙寰宇等[13]針對單胞含4個“原子”的(32.4.3.4)晶格鋼/水聲子晶體帶隙性質(zhì)進行實驗和理論研究，發(fā)現(xiàn)該復(fù)式晶格聲子晶體能夠打開高頻段的兩個完全帶隙。

由上述文獻可知，單胞含多個“原子”復(fù)式晶格聲子晶體的物理性質(zhì)很少進行研究。因此，本文基于超聲浸水透射技術(shù)[14]，實驗測了單胞含6個“原子”(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的ΓK和ΓM 方向帶隙頻率范圍，發(fā)現(xiàn)該晶體從低頻到高頻均存在完全帶隙，實驗測得帶隙頻率范圍與有限元法理論計算和數(shù)值仿真結(jié)果很好的吻合。另外，還進一步分析了帶隙邊界本征模態(tài)及聲波局域特征。

1 模型建立與實驗測試

上述三種晶格類型鋼/水聲子晶體的組分材料參數(shù)為：鋼的密度、彈性模量和泊松比分別為ρsteel=7.85×103kg/m3、E=2×1011Pa和σ=0.33；水的密度、縱波波速分別為ρwater=1.0×103kg/m3和cl=1 480 m/s?；贑OMSOL Multiphysics 軟件，利用有限元法計算了(44)晶格、(4.82)晶格和(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)，如圖2所示。圖2(a)表明單胞含1個“原子”的正方晶格產(chǎn)生一個完全帶隙；圖2(b)顯示單胞含4個“原子”的(4.82)晶格存在兩個低頻完全帶隙；而單胞含6個“原子”的(3.4.6.4)晶格從低頻到高頻打開8個完全帶隙，如圖2(c)所示。因此，在相同歸一化半徑r/a=0.4條件下，隨著單胞含“原子”數(shù)量增加，能夠降低晶格的對稱性，使復(fù)式晶格聲子晶體可以產(chǎn)生較多的完全帶隙。

(a)(44)晶格(b)(4．82)晶格

(c) (3.4.6.4)晶格鋼/水

圖1 (44)晶格、(4.82)晶格和(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的截面示意圖和它們的第一布里淵區(qū)

Fig.1 Sketch of cross section for steel-water phononic crystal with (44), (4.82), (3.4.6.4) lattices and its first Brillouin zones

圖2 鋼/水聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

針對(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的完全帶隙特征，從實驗角度驗證帶隙的存在是非常必要地。因此，我們將190 mm長的鋼柱按(3.4.6.4)晶格點陣分布嵌入激光加工的亞克力板(Acrylic Plate) 孔中，制備聲子晶體樣品，如圖3所示。把該樣品浸入水中組成鋼/水體系聲子晶體。

圖3 (3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的樣品照片

在圖1(c)中左邊部分為(3.4.6.4)晶格聲子晶體第一布里淵區(qū)的兩個高對稱Γ-K和Γ-M方向，其夾角為30°；但實驗測試沿Γ-K和Γ-M方向的夾角為90°，對應(yīng)圖3中藍色箭頭，也是測試帶隙加載信號位置。

基于超聲浸水透射技術(shù)，實驗分別沿著圖3藍色箭頭所指(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的第一布里淵區(qū)的兩個對稱Γ-K方向15層厚(約相當8個晶格常數(shù))和Γ-M方向10層厚(約相當10個晶格常數(shù))方向測試帶隙。 實驗測試系統(tǒng)主要由一對中心頻率為1 MHz液浸式直探頭(SIUI 1Z20SJ)、脈沖發(fā)生/接收儀(Panametrics model 5800)、數(shù)字示波器(Tektronix TDS 3032B)和水箱等組成。 脈沖發(fā)生/接收儀產(chǎn)生約0.4 μs帶寬窄脈沖信號，通過激勵探頭產(chǎn)生近似平面波信號，如圖4(a)；接收探頭可以采集Γ-K和Γ-M方的響應(yīng)信號，如圖4(b)和(c)；數(shù)字示波器的采樣率為100 M次/秒，以此來顯示激勵和響應(yīng)信號；然后對響應(yīng)信號進行快速傅里葉變換(FFT)，可得到帶隙的透射譜。

(a) 激勵信號

(b) Γ-K方向響應(yīng)信號

(c) Γ-M方向響應(yīng)信號

圖5給出了(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)與沿Γ-K、Γ-M方向數(shù)值仿真和實驗測試透射譜對比圖。在圖5(b)能帶結(jié)構(gòu)圖中陰影區(qū)域表示從低頻到高頻分布，第1至第8完全帶隙分別為0.099～0.114 MHz、0.189～0.244 MHz、0.340～0.376 MHz、0.435～0.473 MHz、0.521～0.527 MHz、0.681～0.699 MHz、0.752～0.760 MHz和0.866～0.886 MHz。 另外，使用有限元軟件沿Γ-K和Γ-M方向進行聲子晶體的頻率響應(yīng)計算，進一步得到這兩個方向的透射譜，如圖5(a)和(c)中短線。由于能帶結(jié)構(gòu)圖顯示帶隙能夠很好抑制聲波的傳播，導致了相對應(yīng)頻率范圍的數(shù)值仿真透射譜幅出現(xiàn)了明顯衰減，如圖5所示。分析上述計算結(jié)果表明：數(shù)值仿真Γ-K和Γ-M方向透射譜決定完全帶隙頻率范圍與有限元法計算能帶結(jié)構(gòu)帶隙帶寬很好的吻合。

對圖4(b)和(c)中Γ-K和Γ-M方向的響應(yīng)信號進行FFT變換，可以得到它們的透射譜，如圖5(a)和(c)中實線；通過分析這兩個方向透射譜實驗數(shù)據(jù)，測得完全帶隙頻率范圍分別為0.085～0.140 MHz、0.195～0.270 MHz、0.340～0.385 MHz、0.425～0.480 MHz、0.515～0.530 MHz、0.675～0.705 MHz、0.750～0.765 MHz和0.860～0.890 MHz。

圖5 Γ-K方向透射譜, (3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和Γ-M方向透射譜

Fig.5 Transmission spectra in the Γ-K direction, band structure of steel-water phononic crystal with (3.4.6.4) lattice and transmission spectra in the Γ-M direction

從以上完全帶隙實驗測試數(shù)據(jù)和有限元理論計算結(jié)果分析可知：實驗結(jié)果理論計算值很好的一致。 因此，單胞含6個“原子”復(fù)式晶格聲子晶體能夠打開較寬頻率段的多個完全帶隙。

2 完全帶隙邊界本征模態(tài)分析

為了較好理解完全帶隙邊界點的本征模態(tài)性質(zhì)，其邊界點群速度為零，表明聲波不能夠在該點頻率傳播，圖6給出了第1至第8完全帶隙上、下邊界點的單胞本征模態(tài)。依據(jù)圖5(b)能帶結(jié)構(gòu)中完全帶隙分別特點，觀察圖6(a)和(g)發(fā)現(xiàn)：第1和第7完全帶隙邊界是由Γ-K和Γ-M方向限制，本征頻率0.099 MHz和0.760 MHz的K點、0.144 MHz和0.752 MHz的M點均關(guān)于對稱面(虛線位置)為對稱模態(tài)，它們和聲子晶體的壓力場有相同的相位，其中虛線位置為限制完全帶隙邊界Γ-K或Γ-M方向，從圖中也可以看出聲波主要局域相鄰鋼柱之間。同理，Γ-K方向限制第2完全帶隙邊界，本征頻率0.189 MHz的K點、0.244 MHz的Γ點關(guān)于對稱面分別為對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)，其相對應(yīng)模態(tài)和聲子晶體壓力場有相同與相反的相位，聲波的能量明顯集中相鄰散射體之間，如圖6(b)所示。從能帶結(jié)構(gòu)圖5(b)可以看出，Γ-M方向限制第3、第4、第5和第8完全帶隙邊界；圖6(c)、(d)、(e)和(g)顯示第4和第5完全帶隙的上邊界點0.473 MHz、0.527 MHz關(guān)于對稱面都為對稱模態(tài)，下邊界點0.435 MHz、0.521 MHz關(guān)于對稱面都為反對稱模態(tài)；但是第3和第8完全帶隙上、下邊界頻率點本征模態(tài)與相應(yīng)第4和第5完全帶隙正好相反，它們和聲子晶體的壓力場有0°對稱相位或180°反對稱相位；聲波能量大部分在相鄰散射體中間。此外，Γ-K或Γ-M方向限制第6完全帶隙，其邊界頻率點0.681 MHz、0.699 MHz的本征模態(tài)分別關(guān)于對稱面為對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)，它們也與聲子晶體的壓力場存在不同的相位，聲波的能量主要位于頻率0.699 MHz相鄰散射體之間，如圖6(f)所示。

通過上述完全帶隙本征模態(tài)分析表明：單胞含6個“原子”(3.4.6.4)晶格聲子晶體的多個完全帶隙帶寬主要由Γ-M方向決定，其帶隙性質(zhì)類似單胞含4個“原子”聲子晶體[13]，但是簡單正方晶格聲子晶體沒有這種性質(zhì)[9]。由于增加單胞“原子”數(shù)量，使晶體結(jié)構(gòu)對稱性不斷降低，能夠打開能帶結(jié)構(gòu)中更多簡并態(tài)，產(chǎn)生大量完全帶隙。另外，對于完全帶隙邊界頻率點本征模態(tài)分析說明，聲波能量以不同形式主要局域相鄰散射體之間，這為設(shè)計各種類型聲波能量集中器提供理論支持。

(b) 2nd帶隙

(c) 3rd帶隙

(d) 4th帶隙

(e) 5th帶隙

(f) 6th帶隙

(g) 7th帶隙

(h) 8th帶隙

3 結(jié) 論

本文實驗和理論研究了復(fù)式晶格聲子晶體完全帶隙性質(zhì)，主要結(jié)論如下：

(1) 實驗測試(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體的8個完全帶隙的實驗結(jié)果和有限元法理論計算值很好地一致，這證實該復(fù)式晶格從低頻到高頻均存在完全帶隙。

(2) 在相同歸一化半徑r/a情況下，通過增加單胞內(nèi)“原子”數(shù)量，降低晶體結(jié)構(gòu)對稱性，能夠打開較多完全帶隙。

(3) 討論完全帶隙邊界頻率點本征模態(tài)特征，并給出了多種聲波能量局域形式，有利于設(shè)計新型聲波能量集中器。

(4) 實驗和理論研究證明：第一布里淵區(qū)Γ-M方向主要決定復(fù)式晶格完全帶隙頻率范圍。

總的來說，針對單胞含6個“原子”的(3.4.6.4)晶格鋼/水聲子晶體完全帶隙開展了實驗和理論研究；結(jié)果表明：該復(fù)式晶格聲子晶體可以產(chǎn)生寬頻多個完全帶隙，還能較好局域聲波特性，這為設(shè)計新型隔聲材料具有重要參考意義。

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Experimental study on multi-complete bandgaps of a complex lattice phononic crystal

ZHAO Huanyu1, YAN Zhumei1, GAI Xiaoling2, LIU Bingfei3

(1. Institute of Engineering Mechanics, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China；2. Beijing Key Laboratory of Environment Noise and Vibration, Beijing Municipal Institute of Labor Protection, Beijing 100054, China; 3. Airport College, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China)

Phononic crystals are man-made materials possessing unusual physical properties to regulate propagation of elastic waves or acoustic ones. Complex Bravais lattices may reduce lattice structures’ symmetry to open easily their complete bandgaps and suppress transmission of waves. Here, a photonic crystal with 6-atom unit cells composed of (3.4.6.4) steel/water lattice arrays was designed. Based on the ultrasonic immersion transmission technique, the experimental transmission spectra of bandgaps were measured when acoustic waves propagated through the phononic crystal in Γ-K and Γ-M directions. The measured results showed that frequency ranges of eight complete bandgaps are well consistent with the computation ones using the finite element method; furthermore, eigen-modes of complete bandgaps’ boundary frequency points and localized effects of acoustic waves are analyzed in detail. The experimental results provided a reference for designing sound isolation materials of multi-complete bandgaps.

photonic crystal; complex lattice; muilti-complete bandgaps; experimental study

國家自然科學基金(11302021); 北京交通大學人才基金(2014RC001)；天津市自然科學基金(15JCQNJC42600)

2015-12-14 修改稿收到日期：2016-04-06

趙寰宇 男，博士，碩士生導師,1978年6月生

O347； TB533

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.020