孟 豪， 韓志軍， 路國運

(1.太原理工大學 力學學院，太原 030024；2. 太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原 030024)

復合材料圓柱殼非軸對稱動力屈曲

孟 豪1， 韓志軍1， 路國運2

(1.太原理工大學 力學學院，太原 030024；2. 太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原 030024)

考慮應力波效應，通過Hamilton原理得到軸向階躍荷載下復合材料圓柱殼非軸對稱動力屈曲控制方程。根據(jù)圓柱殼周向連續(xù)性設出徑向位移的周向函數(shù)形式，使用分離變量法得到應力波反射前復合材料圓柱殼動力屈曲臨界荷載解析解及屈曲模態(tài)，將該結果與里茲法所得結果進行了對比，結果表明兩種方法所得臨界荷載差值等于轉(zhuǎn)動慣性的影響項。用MATLAB軟件編程分析了徑厚比、鋪層角度等因素對臨界荷載的影響。結果表明轉(zhuǎn)動慣性對圓柱殼動力屈曲臨界荷載的影響可以忽略，環(huán)向模態(tài)數(shù)越大，臨界荷載越大且對應的屈曲模態(tài)圖越復雜。

復合材料；應力波；動力屈曲；非軸對稱；解析解

復合材料圓柱殼因其優(yōu)良的性能被廣泛應用于軍事以及航空航天等領域。在這些領域中，結構經(jīng)常會受到爆炸或高速沖擊等極端作用而屈曲，因此對復合材料圓柱殼的動力屈曲問題的研究已成為近年來的研究熱點。Shaw等[1]用差分法研究了復合材料圓柱殼動力屈曲問題。唐文勇等[2]用有限差分法求解了復合材料圓柱殼非對稱沖擊動力屈曲控制方程，并用B-R準則判斷屈曲是否發(fā)生。于學會[3]考慮應力波效應，用分離變量法得到復合材料圓柱殼動力屈曲解析解,但僅限于軸對稱動力屈曲。徐新生等[4-5]用辛解析算法將屈曲問題引入到哈密頓體系，將高階微分方程降階為哈密頓正則方程進行求解。王加群[6]采用Rayleigh-Ritz法求解了復合材料圓柱殼動力屈曲控制方程，討論了鋪層角度、模態(tài)數(shù)、徑厚比及邊界條件對動力屈曲臨界荷載的影響。Rahman等[7]使用攝動法對初缺陷敏感的復合材料圓柱殼進行了分析。Bisagni[8-9]使用有限元軟件模擬了復合材料圓柱殼動力屈曲問題并與實驗進行了對比。Patel等[10]使用ABAQUS軟件模擬了復合材料層合加筋圓柱殼動力屈曲，發(fā)現(xiàn)屈曲荷載與加載時間有很大關系。Tafreshi[11]使用ABAQUS軟件模擬了開孔復合材料圓柱殼在內(nèi)壓與軸壓作用下的屈曲與后屈曲行為。

本文考慮應力波效應，由圓柱殼的周向連續(xù)性設出徑向位移在θ方向的函數(shù)形式，利用分離變量法得到復合材料圓柱殼動力屈曲解析解，并用MATLAB軟件編程計算了鋪層角度，徑厚比等因素對臨界荷載的影響。

1 復合材料圓柱殼的控制方程

如圖1所示，復合材料圓柱殼長度為L，半徑為R，總厚度為h，鋪層數(shù)為Nk，選取柱坐標系(x,θ,z)，其相應的位移為(u,v,w)。圓柱殼左端受到階躍荷載N(t)作用，圓柱殼中產(chǎn)生沿x方向傳播的應力波，不考慮應力波反射，圓柱殼中各段內(nèi)力，如圖2所示。

圖1 階躍荷載作用下的復合材料圓柱殼

圖2 應力波的傳播

圓柱殼中各段軸力為

(1)

假設圓柱殼內(nèi)力沿環(huán)向均勻分布且忽略中面位移，由Hamilton原理得到復合材料圓柱殼動力屈曲控制方程

(2)

式中：Aij、Bij和Dij(i,j=1,2,6)分別為復合材料圓柱殼的拉伸剛度、耦合剛度和彎曲剛度。對于特殊正交各向異性對稱層合殼和正規(guī)對稱正交鋪設層合殼，有A16=A26=D16=D26=Bij=0[12]?？刂品匠炭梢曰啚?/p>

(3)

2 控制方程的求解

根據(jù)XU等結論，可設徑向位移為以下形式：

(4)

將式(4)代入控制方程式(3)，分離變量，可得：

(5)

其中：

(6)

由文獻[13-14]可知，當α4>4β2>0且λ>0時，圓柱殼屈曲，其動力屈曲解為

Y(x)=C1sin(k1x)+C2cos(k1x)+

C3sin(k2x)+C4cos(k2x)

(7)

對于一端夾支、一端固支圓柱殼，邊界條件及波陣面連續(xù)條件為

(8)

對于一端簡支、一端固支圓柱殼，邊界條件及波陣面連續(xù)條件為

(9)

將式(7)代入沖擊端為夾支時圓柱殼邊界條件式(8)，由其系數(shù)行列式為0得：

2k1k2-2k1k2cos(k1lcr)cos(k2lcr)-

(10)

由三角函數(shù)周期性得:

(11)

由式(11)推出沖擊端為固支時復合材料圓柱殼非軸對稱動力屈曲臨界荷載：

(12)

式中：n1=n=1,2,3,…，m=1,2,3,…，n2=n+2。同理可以求得沖擊端為簡支時圓柱殼非軸對稱動力屈曲臨界荷載，該荷載亦符合式(12)，此時(n2=n+1)。文中下同，不再贅述。

式(12)中第三項為轉(zhuǎn)動慣性相關項，忽略轉(zhuǎn)動慣性時臨界荷載只有前兩項。對于各向同性對稱層合殼以及反對稱正交鋪設層合殼式(12)同樣滿足。對于正規(guī)對稱角鋪設層合殼A16,A26,D16,D26相對較小，計算時可以省略，式(12)近似滿足。當m=0時，表示圓柱殼發(fā)生軸對稱屈曲，此時忽略轉(zhuǎn)動慣性后的臨界荷載值與于文會的結論相同。

將復合材料退化成金屬材料，得到金屬圓柱殼動力屈曲臨界荷載

(13)

應用里茲法與棣莫弗公式結合計算沖擊端夾支圓柱殼動力屈曲時，依據(jù)邊界條件可設

(14)

將式(14)代入式(3)經(jīng)化簡運算，得到臨界荷載為

(15)

該結果與不考慮轉(zhuǎn)動慣性時用分離變量法得到的結果相同。同理，當沖擊端簡支時可以得到相同臨界荷載形式，此時n1=n,n2=n+1，n=1,2,3，…。

3 算例分析

算例中取IM7/8552材料，其基本屬性由文獻[6]給出。徑厚比k=R/h，R=1 m，軸向模態(tài)數(shù)為n，環(huán)向模態(tài)數(shù)為m。以沖擊端固支圓柱殼為例。

圖3表示轉(zhuǎn)動慣性對臨界荷載的影響。取鋪層角度為90/0/90/0/90/0/90，m=3，n=2，k=20為例，該圖說明考慮復合材料圓柱殼在軸向階躍荷載作用下動力屈曲時，轉(zhuǎn)動慣性的影響很小，可以忽略不計。同時也說明使用里茲法求解圓柱殼動力屈曲有很高的精度。

圖3 轉(zhuǎn)動慣性對臨界荷載的影響

圖4表示不同徑厚比下臨界荷載與臨界長度關系曲線。取鋪層角度為90/0/90/0/90/0/90，m=2，n=3為例，該圖表明在軸向模態(tài)數(shù)和環(huán)向模態(tài)數(shù)一定時，圓柱殼屈曲荷載隨著徑厚比的增加而減小。

圖4 徑厚比對臨界荷載的影響

圖5表示不同軸向模態(tài)數(shù)下臨界荷載與臨界長度的關系。取鋪層角度為90/0/90/0/90/0/90，m=3，k=20為例，該圖表明環(huán)向模態(tài)數(shù)與徑厚比一定時，軸向模態(tài)數(shù)越大其對應的臨界荷載越大。當臨界長度達到某值時，如本圖臨界長度約為5 m時，不同軸向模態(tài)數(shù)對應的臨界荷載基本接近。

圖5 軸向模態(tài)數(shù)對臨界荷載的影響

圖6 環(huán)向模態(tài)數(shù)對臨界荷載的影響

圖6表示不同環(huán)向模態(tài)數(shù)下臨界荷載與臨界長度的關系。取鋪層角度為90/0/90/0/90/0/90，n=3，k=50為例，該圖表明軸向模態(tài)數(shù)與徑厚比一定時，環(huán)向模態(tài)數(shù)越大，其對應的臨界荷載越大且相鄰兩階環(huán)向模態(tài)對應的臨界荷載差值越大。

圖7為應力波傳播至殼體中段即lcr=L/2時，圖6所對應的不同環(huán)向模態(tài)圖。由圖可知隨著m的增加，圓柱殼由軸對稱屈曲轉(zhuǎn)化為非軸對稱屈曲且屈曲模態(tài)變得越復雜。

m=0m=1m=2m=3m=4m=5

圖7 不同環(huán)向屈曲模態(tài)圖(n=3,m=0,1,2,3,4,5)

Fig.7 Different circumferential buckling modes (n=3,m=0,1,2,3,4,5)

圖8 鋪層角度對臨界荷載的影響

圖8為正規(guī)對稱角鋪設層合殼在不同鋪層角度下的臨界荷載與臨界長度的關系圖。取n=1，m=0，k=20為例。該圖表明對正規(guī)對稱角鋪設層合殼，鋪層角度越大，圓柱殼越容易屈曲。

4 結 論

由理論分析和數(shù)值計算，可以得到以下結論：

(1) 考慮應力波效應，由Hamilton原理導出了復合材料圓柱殼非軸對稱動力屈曲控制方程。

(2) 由圓柱殼周向連續(xù)性設出徑向位移的周向形式，并用分離變量法得到復合材料圓柱殼非軸對稱動力屈曲解析解以及圓柱殼動力屈曲模態(tài)圖。

(3) 用MATLAB軟件編程計算了鋪層角度、徑厚比、模態(tài)數(shù)等因素對臨界荷載的影響。結果表明：復合材料圓柱殼動力屈曲臨界荷載隨著臨界長度和徑厚比的增大而減小；臨界荷載隨著模態(tài)數(shù)的增大而增大，軸向模態(tài)數(shù)一定時，環(huán)向模態(tài)數(shù)越大，相鄰兩階臨界荷載相差越大。環(huán)向模態(tài)數(shù)一定時，不同軸向模態(tài)數(shù)對應的臨界荷載趨于同一固定值；環(huán)向模態(tài)數(shù)m越大，圓柱殼屈曲模態(tài)圖越復雜；運用分離變量法與里茲法均可解決復合材料圓柱殼的動力屈曲問題，兩者差值等于轉(zhuǎn)動慣性對屈曲荷載的影響，該值相對臨界荷載是小量，故在考慮圓柱殼動力屈曲時可以忽略轉(zhuǎn)動慣性的影響。

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Non-axisymmetric dynamic buckling of composite cylindrical shells

MENG Hao1, HAN Zhijun1, LU Guoyun2

(1.College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China；2. College of Architecture and Civil Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Considering effects of stress wave, the governing equation for non-axisymmetric dynamic buckling of composite cylindrical shells under an axial step load was derived using Hamilton principle. The expression of radial displacement function along the circumferential direction was assumed according to its continuity along the circumferential direction. The analytical solution to the critical load of the dynamic buckling of a composite cylindrical shell and its buckling modes were derived with the variable separation method before the reflection of stress wave. Comparing the critical load with that gained with Ritz method, it was shown that the difference between the two critical loads is equal to the influence term due to rotary inertia. The influences of diameter-thickness ratio, and ply orientation, etc. on the critical load were analyzed with a self-compiled MATLAB-based code. The results showed that the effect of rotary inertia on the critical load can be neglected; the higher the circumferential mode order, the larger the critical load and the more complex the corresponding buckling mode shape.

composite; stress wave; dynamic buckling; non-axisymmetric; analytical solution

國家自然科學基金(11372209)

2016-01-05 修改稿收到日期：2016-04-04

孟 豪 男，碩士生，1989年10月生

韓志軍 男，博士，教授，1964年10月生

O343；TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.005