浙江省余姚市職業(yè)技術(shù)學(xué)校(315400) 何國堅(jiān)

不等式中的“恒成立”和“存在性”問題及其解題策略

浙江省余姚市職業(yè)技術(shù)學(xué)校(315400) 何國堅(jiān)

含參數(shù)不等式恒成立問題和存在性問題是近幾年高考的一個(gè)熱門題型,而且?？汲Ｐ?此類問題因其較強(qiáng)的邏輯性和靈活性,成為學(xué)生學(xué)習(xí)上的又一難點(diǎn)．筆者利用數(shù)形結(jié)合思想,就此類問題作一分類解析,希望能拋磚引玉,對(duì)大家有所幫助．

1 單變量型不等式問題

結(jié)論1設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間[a,b]上有意義,則對(duì)于?x∈[a,b],不等式f(x)＞g(x)恒成立的等價(jià)條件是[f(x)?g(x)]min＞0．

圖1

證明如圖1所示,對(duì)于?x∈[a,b],f(x)＞g(x)恒成立,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖像恒在函數(shù)y=g(x)的圖像上方,即對(duì)于?x∈[a,b],f(x)?g(x)＞0恒成立,所以只須[f(x)?g(x)]min＞0．

例1 設(shè)f(x)=ex,g(x)=lnx+m,對(duì)于?x∈[1,2],求不等式f(x)＞g(x)恒成立的的取值范圍?

解F(x)=f(x)?g(x)=ex?(lnx+m),F′(x)=當(dāng)x∈[1,2]時(shí),F′(x)＞0,故F(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),要使f(x)＞g(x)恒成立,只須F(x)min=F(1)=e?(ln1+m)＞0,所以m＜e．

圖2

結(jié)論2設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間 [a,b]上有意義,?x∈[a,b],使不等式f(x)＞g(x)成立的等價(jià)條件是[f(x)?g(x)]max＞0．

證明如圖2所示,?x∈[a,b],使不等式f(x)＞g(x)成立,只須?x∈[a,b],f(x)?g(x)＞0成立,所以只要[f(x)?g(x)]max＞0．

例2設(shè)f(x)=ex,g(x)=lnx+m,?x∈[1,2],不等式f(x)＞g(x)成立,求m的取值范圍?

解F(x)=f(x)?g(x)=ex?(lnx+m),F′(x)=當(dāng)x∈[1,2]時(shí),F′(x)＞0,故F(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),要使f(x)＞g(x)成立,只須F(x)max=F(2)=e2?(ln2+m)＞0,所以m＜e2?ln2．

2 雙變量型不等式問題

結(jié)論3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有意義,函數(shù)g(x)在區(qū)間[c,d]上有意義,對(duì)于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)恒成立的等價(jià)條件是f(x)min＞g(x)max．

圖3

證明如圖3所示,對(duì)于?x1[a,b],?x2∈[c,d],要使不等式f(x1)＞g(x2)恒成立,只須函數(shù)y=f(x)圖像的最低點(diǎn)在函數(shù)y=g(x)圖像最高點(diǎn)上方,所以只須f(x)min＞g(x)max．

①當(dāng)0＜a＜1時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在[1,e]單調(diào)遞增,因此f(x)min=f(1)=a2+1,令a2+1≥e+1,得這與0＜a＜1矛盾．

結(jié)論4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有意義,函數(shù)g(x)在區(qū)間[c,d]上有意義,對(duì)于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價(jià)條件是f(x)min＞g(x)min．

圖4

證明如圖4所示,對(duì)于?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立,只須函數(shù)圖像最低點(diǎn)在函數(shù)的圖像最低點(diǎn)的上方,所以只須f(x)min＞g(x)min．

例4 設(shè)若對(duì)?x1∈[0,1],?x2∈[1,2],使f(x1)＞g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解f(x)min=f(0)=?1,當(dāng)a≥2時(shí),g(x)在[1,2]上的最小值為g(2)=8?4a,所以只要g(2)=8?4a≤?1,即當(dāng)a≤1時(shí),g(x)在[1,2]上的最小值為g(1)=5?2a,只要g(1)=5?2a≤?1,所以不存在這樣的實(shí)數(shù)a;當(dāng)1＜a＜2時(shí),g(x)在[1,2]上的最小值為g(a)=4?a2,只要4?a2≤?1,所以不存在這樣的實(shí)數(shù)a;綜上知實(shí)數(shù)a的取值范圍是

結(jié)論5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有意義,函數(shù)g(x)在區(qū)間[c,d]上有意義,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價(jià)條件是f(x)max＞g(x)max．

圖5

證明如圖 5所示,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],要使f(x1)＞g(x2)成立,只要函數(shù)圖像的最高點(diǎn)在函數(shù)的圖像最高點(diǎn)上方,即f(x)max＞g(x)max．

例5已知函數(shù)f(x)=x2?4x+2,g(x)=lnx+ax,若?x1∈[0,1],?x2∈(0,+∞),使得f(x1)＞g(x2),求實(shí)數(shù)的取值范圍?

結(jié)論6設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有意義,函數(shù)g(x)在區(qū)間[c,d]上有意義,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],使不等式f(x1)＞g(x2)成立的等價(jià)條件是f(x)max＞g(x)min．

圖6

證明如圖 6所示,?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],要使f(x1)＞g(x2)成立,只須函數(shù)y=f(x)圖像的最高點(diǎn)在函數(shù)y=g(x)圖像的最低點(diǎn)上方,則一定能找到x1,x2,使得f(x1)＞g(x2),所以只須f(x)max＞g(x)min．

例6 設(shè)f(x)=lnx+ax,g(x)=x2?4x+2,若?x1∈(0,+∞),?x2∈[0,1],不等式f(x1)＞g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

總之,無論是單變量型不等式中的恒成立問題和存在性問題,還是雙變量型不等式中的恒成立問題和存在性問題,其主要的解題策略都是利用轉(zhuǎn)化思想,把恒成立問題和存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,根據(jù)相應(yīng)最值的不等關(guān)系加以解決.

[1]邵春霞.從一道高考題談含參不等式的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué), 2012(4),92-93.

[2]高雄康.任意性和存在性問題的破解途徑[J].數(shù)理化解題研究, 2011,1.