惠州市第三中學(516001) 楊凱怡

淺析解答選擇題中導數(shù)的幾種應用技巧

惠州市第三中學(516001) 楊凱怡

導數(shù)是高中數(shù)學中一個“包容性”極強的工具,結(jié)合函數(shù)的其他知識點,可以解決不等式、參數(shù)范圍等問題.本文旨在探討壓軸選擇題中導數(shù)應用的四種技巧.

一、利用原函數(shù)與導函數(shù)的關系構造新函數(shù)的技巧

對于求解各類不等式(如抽象不等式、超越不等式),需要構造對應的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和極值,求得解集.由于無法作出對應的函數(shù)圖像,則需要借助導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值.

例1. (安徽合肥2016高三2調(diào))定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),若對任意實數(shù)x,都有2f(x)+xf′(x)＜2恒成立,則使x2f(x)?f(1)＜x2?1成立的實數(shù)x的取值范圍為( )

A.{x|x≠±1}B. (?∞,?1)∪(1,+∞)

C. (?1,1) D. (?1,0)∪(0,1)

思路分析根據(jù)求導法則,構造出導函數(shù)g′(x)= 2xf(x)+x2f′(x)?2x,從而得到g(x)=x2f(x)?x2.而要求解的不等式可化為x2f(x)?x2＜f(1)?1,因此可以通過對函數(shù)g(x)=x2f(x)?x2求導,判斷函數(shù)單調(diào)性和極值來求解不等式.

解令g(x)=x2f(x)?x2,則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)?2x=x[2f(x)+xf′(x)?2].當x＞0時,g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.又因為f(x)是偶函數(shù),所以g(x)也是偶函數(shù).不等式x2f(x)?f(1)＜x2?1可變形為x2f(x)?x2＜f(1)?1,即g(x)＜g(1).因此g(|x|)＜g(1),結(jié)合偶函數(shù)的單調(diào)性可得|x|＞1,解得x＜?1或x＞1.選B.

技巧點撥此類題中的難點之一是構造新函數(shù).條件中給出原函數(shù)和導函數(shù)的不等關系,須利用其結(jié)構特點來構造函數(shù).例1是根據(jù)(uv)′=u′v+uv′,將已知條件轉(zhuǎn)化為新函數(shù)g(x)=x2f(x)?x2的導數(shù)問題.例2是根據(jù)將已知條件轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的導數(shù)問題.

二、求解含參不等式中的參數(shù)分離技巧

這類題型是根據(jù)不等式成立的條件,求不等式中參數(shù)的取值范圍.這需要綜合利用導數(shù)求單調(diào)性和最值、解不等式以及各類函數(shù)知識.還需要學生有豐富的解題經(jīng)驗和技巧.在這里筆者淺析解此類題目一般方法和常用的技巧.

例3(2016開封市高三第一次模擬考試)設函數(shù)f(x)=ex(x3?3x+3)?aex?x(x≥?2),若不等式f(x)≤0有解,則實數(shù)a的最小值是( ).

思路分析常用的方法是分離參數(shù),然后構造新函數(shù).利用導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性,再利用單調(diào)性判斷函數(shù)最值,從而確定參數(shù)的范圍.

例4(天星教育2016屆高三畢業(yè)生第二次大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(e2x+1+1)(ax+3a?1),若存在x∈(0,+∞),使得f(x)?1＜0成立,則實數(shù)a的取值范圍是( ).

思路分析同樣考慮分離參數(shù),然后構造新函數(shù),利用導數(shù)求函數(shù)最值,確定參數(shù)的范圍.

例5設函數(shù)f(x)=ax3?3x+1,若對任意的x∈[?1,1],總有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值是( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立;

技巧點撥解決不等式中參數(shù)范圍的問題,一般的思路是先分離參數(shù),然后構造新函數(shù),利用導數(shù)判斷單調(diào)性和最值,得到參數(shù)的取值范圍.

不等式成立的問題,主要有兩個類型:

(1)(恒成立型).若對任意x,有a≥h(x)恒成立,則a≥h(x)max.若對任意x,有a≤h(x)恒成立,則a≤h(x)min.

(2)(存在型).若存在x,使得a≥h(x)成立,則a≥h(x)min若存在x,使得a≤h(x)成立,則a≤h(x)max.

三、利用導數(shù)的幾何意義求解含參不等式的技巧

當題中給出了有關函數(shù)的切點、切線、距離等明顯的幾何條件時,在數(shù)形結(jié)合的思想下,可以考慮利用導數(shù)的幾何意義來解決參數(shù)范圍的問題.

例6(2016沈陽高三教學質(zhì)量監(jiān)測 1)已知函數(shù)y=x2的圖像在點處的切線l,若l也與函數(shù)y=lnx,x∈(0,1)的圖像相切,則x0必滿足( ).

例7(2015大連高三雙基測試卷)已知函數(shù)f(x)=x+xlnx,若k∈Z且k(x?2)＜f(x)對任意x＞2恒成立,則k的最大值為( )

A.3 B.4 C.5 D.6

解考慮直線y=k(x?2)與曲線y=f(x)相切時的情形. 設切點為 (m,f(m)),此時即化簡得:設g(m)=m?4?2lnm,由于g(e2)=e2?4?2lne2＜0,g(e3)=e3?4?2lne3＞0.故e2＜m＜e3,所以切線斜率k=f′(m)=2+lnm的取值范圍是(4,5),選B.

圖1

例8(2015南昌市高三第一次模擬測試卷)已知函數(shù)f(x)=(x?a)2+(lnx2?2a)2,其中x＞0,a∈R,存在x0使得成立,則實數(shù)a的值為( )

思路分析若通過對二次超越函數(shù)f(x)求導,判斷函數(shù)單調(diào)性和極值,再利用不等式求參數(shù)的值,會有很多難點.注意到f(x)是以平方和的形式出現(xiàn)的,聯(lián)想到距離公式,f(x)是兩個點的距離的平方,可嘗試通過幾何意義求參數(shù)的值.

解(x?a)2+(lnx2?2a)2表示點P(x,lnx2)與點Q(a,2a)的距離的平方.而點P在曲線g(x)=2lnx上,點Q(a,2a)在直線y=2x上.因為且y=2x表示斜率為2的直線,所以由解得x=1.從而求得曲線g(x)在x=1處的切線方程是y=2(x?1).那么兩直線間的距離是當P為(1,0)時,PQ的距離最小,所以解得選 A.

圖2

技巧點撥以上三道例題問題的呈現(xiàn)方式不同,但均可利用導數(shù)的幾何意義進行求解參數(shù)的取值范圍.

例6是兩個函數(shù)圖像的公切線,求切點橫坐標x0的取值范圍,需要找到與x0相關的方程或者不等式.本題便可利用公切線斜率相等,切點在曲線上以及切點在直線上,得到關于x0的方程1+lnx0=x20,x0∈(1,+∞),從而構造函數(shù)g(x)=x2?ln2x?1.對新函數(shù)求導判斷單調(diào)性,求得零點x0的取值范圍.

例7將求恒成立的不等式中的參數(shù)問題,轉(zhuǎn)化為直線y=k(x?2)和曲線y=x+xlnx相切的問題,從而判斷切點的橫坐標m的取值范圍,從而確定k的取值.

例8轉(zhuǎn)化為直線的動點和函數(shù)曲線上的動點的距離問題,可用與已知直線平行的切線來求解.

例7和例8的共同之處是利用切點的值(范圍),來建立關于斜率的方程(不等式),從而求出參數(shù)的值(范圍).

四、借助導數(shù)解決不等式問題的分類討論技巧

在選擇題中考察導數(shù)的應用,常常也需要運用分類討論的思想,但一般難度不會太大.掌握一定的分類技巧能提高做題的速度和準確程度.

例9(2016唐山市高三第一學期期末考試)已知函數(shù)f(x)=(a?2)x+ax3,在區(qū)間[?1,1]的最大值為2,則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[2,10] B.[?1,8] C.[?2,2] D.[0,9]

思路分析本題主要考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.可以先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值,然后利用最值得到關于a的不等式,求得a的取值范圍.

解求導得:f′(x)=3ax2+a?2,當a=0時,f′(x)=?2＜0,f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減,故f(x)max=f(?1)=2,符合題意.

當0＜a≤2時,f′(x)≤0恒成立,f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減,故f(x)max=f(?1)=2,符合題意.

技巧點撥解答本題涉及導數(shù)和分類思想的應用,分類容易出現(xiàn)錯誤.分類的討論關鍵在于分界點:

(1)對導函數(shù)首項系數(shù)a的討論,找準分界點a=0;

(2)導函數(shù)f′(x)有無零點的討論,找準分界點a=2;

(3)方程f′(x)=0的根的分布的討論,找準分界點a=?1.

以上是筆者粗淺的見解和經(jīng)驗,旨在幫助學生歸納解題技巧,希望對他們的學習有一定的幫助.

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[3]安世凡.利用導數(shù)解題[J].直通高考.2014,1.

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[5]嚴循躍.函數(shù)與導數(shù)交匯題型探究[J].高考指導.2014.