安徽省太和縣太和中學(xué)(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中學(xué)(236500) 崔 瑋

一道摸考選擇壓軸題的分析與探究*

安徽省太和縣太和中學(xué)(236600) 岳 峻

安徽省界首市第一中學(xué)(236500) 崔 瑋

一道呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔、極富韻味的好題,凝聚了命題者的智慧,往往讓我們愛(ài)不釋手、流連忘返,其較強(qiáng)的啟發(fā)性、代表性、拓展性給人啟迪．合肥市2016年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(理)的選擇題的壓軸題就是一道獨(dú)具匠心、意境幽深的好題,值得我們細(xì)細(xì)品味．

1.試題再現(xiàn)

定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x)＞1且f(x)+f′(x)＞1,f(0)=5,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集為( )

A.(0,+∞) B.(?∞,0)∪(3,+∞)

C.(?∞,0)∪(0,+∞) D.(?∞,0)

2.試題的條件和待求分析

先分析題目的條件和待求．題設(shè)有三個(gè)條件:①f(x)＞1;②f(x)+f′(x)＞1;③f(0)=5．待求是:不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集．

條件①顯然是待求不等式有意義的保證,條件②f(x)+f′(x)＞1是求解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的依托,必然是解題的關(guān)鍵信息;條件③想必與不等解集的端點(diǎn)值有一定的關(guān)系．

欲探求不等式的解集勢(shì)必要研究函數(shù)的單調(diào)性,而結(jié)合題設(shè)可知,判斷函數(shù)的單調(diào)性須借助于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,本題的難點(diǎn)自然是如何根據(jù)條件②靈活地探求不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性．

你見(jiàn)過(guò)類(lèi)似f(x)+f′(x)的結(jié)構(gòu)嗎?注意到(ex)′=ex, (e2x)′=2e2x,你有什么想法呢?[exf(x)]′=?

本題最終是求解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x,注意到左端含有“l(fā)n”,運(yùn)用逆向分析,亦即求解它等價(jià)于f(x)?1＞即exf(x)?ex＞4．

好!自然將待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x與題設(shè)條件中f(x)+f′(x)建立起了聯(lián)系．

3.試題的解析

待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x等價(jià)于ln[f(x)?1]＞即exf(x)?ex＞4,

令h(x)=exf(x)?ex?4,則

h′(x)=exf(x)+exf′(x)?ex=[f(x)+f′(x)?1]ex.因?yàn)閒(x)+f′(x)＞1,所以

所以h(x)=exf(x)?ex?4單調(diào)遞增,又f(0)=5,所以h(0)=e0f(0)?e0?4=0,故h(x)=exf(x)?ex?4＞0=h(0)的解集為(0,+∞)．故答案為A．

評(píng)注題設(shè)條件中的f(x)＞1是為了保證待解不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x有意義,f(x)+f′(x)＞1是為了說(shuō)明所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,f(0)=5是借助于所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性探求不等式ln[f(x)?1]＞ln4?x的解集特定的數(shù)據(jù),題設(shè)中的條件不多不少,給的恰到好處．

4.試題的變式與反思

我們洞察了本題的因果關(guān)系,可否對(duì)其進(jìn)行改造、得到系列的變式呢?進(jìn)而探究提煉出此類(lèi)問(wèn)題的一般性的規(guī)律呢?

4.1 變式1 定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(x)＞?1且2f(x)+f′(x)+2＞0,f(0)=e?1,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)+1]＞1?2x的解集為( )

A.(0,+∞) B.(?∞,0)∪(3,+∞)

C.(?∞,0)∪(0,+∞) D.(?∞,0)

所以h(x)=e2xf(x)+e2x?e單調(diào)遞增,又f(0)=e?1,所以h(0)=e0f(0)+e0?e=0,故h(x)=e2xf(x)+e2x?e＞0的解集為(0,+∞)．故答案為A．

因?yàn)?f(x)+f′(x)＜12,所以

4.4 反思如果待解不等式為ln[f(x)?3]＞?3+5x,那么題設(shè)條件應(yīng)該是什么呢?

首先,要想使不等式有意義,勢(shì)必滿(mǎn)足條件①f(x)＞3;其次,逆向分析待解不等式ln[f(x)?3]＞?3+5x,則它等

因此題設(shè)中應(yīng)有條件②?5f(x)+f′(x)+15＞0或?5f(x)+f′(x)+15＜0;

再者,應(yīng)用函數(shù)u(x)=e?5x+3f(x)?3e?5x+3?1的單調(diào)性須滿(mǎn)足u(x0)=e?5x0+3f(x0)?3e?5x0+3?1=0,只需賦予某個(gè)x0的值即可,一般的,x0的賦值是運(yùn)用e0給出．

5.試題的解題規(guī)律

解析待解不等式ln[f(x)+a]＞bx+c等價(jià)于ln[f(x)+a]＞lnebx+c,則e?bx?cf(x)+ae?bx?c＞1,令

則

6.啟示

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化,這種變化給許多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來(lái)畏懼感,使得他們面對(duì)數(shù)學(xué)的“新”顯得“出招無(wú)力”．這種現(xiàn)象的根源在于他們只會(huì)孤立地去應(yīng)用某個(gè)知識(shí)點(diǎn)“套”數(shù)學(xué)問(wèn)題,而不會(huì)審題,不會(huì)分析,不能將題設(shè)條件與待解決問(wèn)題架起一座通暢的橋梁[1]．

“數(shù)學(xué)是思維的體操．”這就要求我們少一份機(jī)械的“套用”,多一分思考,學(xué)會(huì)審題,善于分析,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的滲透,從而能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行“模式識(shí)別”,加強(qiáng)知識(shí)的梳理與應(yīng)用,提高知識(shí)的運(yùn)用效率,提高學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)的成效[2]．

[1]岳峻.以數(shù)學(xué)審題探核心素養(yǎng)如何落地[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(11): 44-48.

[2]岳峻.提升數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上旬), 2015(12):96-98.

*本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐途徑與策略的研究》的階段成果;安徽省阜陽(yáng)市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于微課的翻轉(zhuǎn)課堂的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究》(編號(hào)FJK16054)的階段成果;岳峻名師工作室的初步研究成果.