安徽省池州一中(247000) 吳成強(qiáng)

發(fā)掘?qū)ΨQ關(guān)系,把握求解策略

安徽省池州一中(247000) 吳成強(qiáng)

解題是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的思維活動(dòng),提高解題能力是廣大中學(xué)生不斷追求的目標(biāo).一道較難的題,如果能夠順利求解,無(wú)疑是一件很有成就感的事,而如果方法巧妙、新穎,則更給人帶來(lái)一種美的享受,對(duì)思維有很大的啟迪作用,特別是能激發(fā)學(xué)生對(duì)創(chuàng)新思維的渴望和追求.解題的方法很重要,所謂方法不對(duì)“累死?！?數(shù)學(xué)中的解題方法很多,需要我們?cè)诮忸}中不斷發(fā)掘,不斷總結(jié),不斷比較,去劣取優(yōu).好的方法能迅速幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的突破口,即形成好的解題思路,但這恰是不少學(xué)生的困惑所在.針對(duì)不同的問(wèn)題,需要選擇不同的方法,這就要求學(xué)生的數(shù)學(xué)功底很扎實(shí).

“對(duì)稱美”廣泛存在于數(shù)學(xué)之中,數(shù)學(xué)中有許多問(wèn)題都具有對(duì)稱的規(guī)律,有些是顯性的,有些是隱性的,在解決這類問(wèn)題中,我們要有一雙“慧眼”,善于發(fā)掘這種對(duì)稱規(guī)律,并能巧用對(duì)稱規(guī)律,使我們?cè)诮忸}中形成頓悟,產(chǎn)生靈感,找準(zhǔn)突破口,并能曲徑通幽,層層深入,巧妙求解.本文主要探究如何利用“對(duì)稱美”探尋解題思路,起一個(gè)拋磚引玉的作用.

一、善于發(fā)掘?qū)ΨQ規(guī)律,把握式子變形方向

有些式子的結(jié)構(gòu)隱含著某種對(duì)稱性,在式子的變形過(guò)程中,我們就是要善于發(fā)現(xiàn)和抓住這種對(duì)稱的規(guī)律,始終把握平衡與和諧,使式子的變形向著目標(biāo)逐步靠近,從而使問(wèn)題得以順利求解.

思路分析本題看似比較復(fù)雜,難以找到問(wèn)題解決的突破口,但我們?nèi)羰冀K以對(duì)稱與和諧作為式子變形的方向,問(wèn)題就會(huì)柳暗花明,豁然開(kāi)朗.

證明

(式子有點(diǎn)對(duì)稱,但還不完全對(duì)稱,還需要朝著對(duì)稱的目標(biāo)繼續(xù)努力.)

(式子向著對(duì)稱的方向邁進(jìn)了一步,但還不完全對(duì)稱.)

(式子變形到此,應(yīng)該具有很強(qiáng)的對(duì)稱性,有一種平衡與和諧的感覺(jué))

(這個(gè)式子符合裂項(xiàng)相消法的要求.)

所以

命題得證.

評(píng)注本題可以說(shuō)是根據(jù)對(duì)稱性探索解題思路和對(duì)式子變形的很好的范例.

例2已知f(x)=x2+2(a?2)x?4alnx,若對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞)且x1＜x2都有求a的范圍.

思路分析通過(guò)變形,將式子變成左右對(duì)稱的結(jié)構(gòu),便于構(gòu)造新的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題.

解因?yàn)閤1,x2∈(0,+∞),且x1＜x2,所以原不等式等價(jià)于f(x2)?f(x1)＞2a(x2?x1),即f(x2)?2ax2＞f(x1)?2ax1,(這個(gè)式子有一種對(duì)稱與平衡的感覺(jué).)

評(píng)注本題在式子的變形中考慮到能夠變成結(jié)構(gòu)對(duì)稱的式子,從而把相同變量移到式子的一邊,得出f(x2)?2ax2＞f(x1)?2ax1這種兩邊同結(jié)構(gòu)的式子,從而易于構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù).這種處理問(wèn)題的辦法也是比較常見(jiàn)的,在高考中也有多次考查.

例3已知x,y,z＞0,且

求證:以x,y,z為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成三角形.

思路分析許多學(xué)生拿到這個(gè)題目都感到無(wú)從下手,被這個(gè)比較復(fù)雜的分式“嚇著了”.他們嘗試著通分,但都因式子過(guò)于復(fù)雜而變形不下去,還有的想到利用余弦定理,但這顯然不行,因?yàn)橛嘞叶ɡ碓谌切沃胁拍苓\(yùn)用,而本題要證的就是能夠構(gòu)成三角形.我們要變形的目標(biāo)是:x+y?z＞0,y+z?x＞0,z+x?y＞0,這就要一種直覺(jué),要靈機(jī)一動(dòng),要善于分析捕捉式子的結(jié)構(gòu)特征,要對(duì)添“0”法技巧的運(yùn)用非常熟練.其實(shí),這個(gè)式子具有輪換對(duì)稱技巧,把右邊的“1”移到左邊,右邊變?yōu)?,這種變形符合要證的目標(biāo),應(yīng)該說(shuō)比較合理,比較自然.因?yàn)樽筮呌腥齻€(gè)分式,只有一個(gè)“1”,如果增加兩個(gè)“1”就對(duì)稱和諧了,這時(shí)用添“0”法(0=1?1)就可輕松破解.

證明由已知可得:

即(x+y?z)(y+z?x)(z+x?y)＞0,易得x+y?z＞0,y+z?x＞0,z+x?y＞0,所以,以x,y,z為三邊可構(gòu)成三角形.

評(píng)注這個(gè)證明太巧妙了,把看似非常復(fù)雜毫無(wú)頭緒的問(wèn)題,通過(guò)添“0”法這么一個(gè)小小的變形就輕而易舉的解決了,真的是很美、很妙!數(shù)學(xué)中非常講究式子的變形,往往一個(gè)小小的變形,會(huì)給人帶來(lái)意想不到的效果!

二、觀察對(duì)稱結(jié)構(gòu)特征,選擇合理化歸途徑

有些式子從形式上看就具有某種對(duì)稱特征,解決這類問(wèn)題就是要以對(duì)稱性為考慮問(wèn)題的線索,處處考慮對(duì)稱、平衡,選擇合理的化歸途徑,把不同的量化歸到某一個(gè)或某幾個(gè)固定的量上來(lái),使問(wèn)題求解變得目標(biāo)明確,式子變形或化簡(jiǎn)變得簡(jiǎn)單.

例4已知O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn),求證:

思路分析不少學(xué)生拿到這個(gè)題目后感到無(wú)從下手,特別是式子中將三角形面積與向量綜合到一起,學(xué)生更是有一種“恐懼感”.其實(shí),這個(gè)題目從結(jié)構(gòu)形式上看具有很好的對(duì)稱性,所以我們應(yīng)該從對(duì)稱的角度來(lái)分析,在式子的變形過(guò)程中考慮對(duì)稱性,變形的最終結(jié)果也將具有對(duì)稱性.作出圖形(如圖1).

圖1

同理可得:

證法二考慮到平面向量的基本定理,平面上任一向量都可以用兩個(gè)基向量作為基底唯一表示,這樣,就可將其它向量統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為用這一組基底向量表示,從而減少向量的種類,便于消元.

圖2

評(píng)注(1)本題中的兩種證法都是建立在基本功比較扎實(shí),有一定的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的.解題要善于抓住對(duì)稱性這一特征,找到解決問(wèn)題的正確思路,從而使問(wèn)題順利求解.

(2)證法一是構(gòu)造了一個(gè)新的三角形,并且得到了一個(gè)很好的結(jié)論:S△OA′C′=S△OB′C′=S△OA′B′=S△OAB·S△OAC·S△OBC,這個(gè)結(jié)論具有統(tǒng)一性.證法二則是將所有向量統(tǒng)一到兩個(gè)基向量上來(lái),減少變量,便于化簡(jiǎn),思路簡(jiǎn)樸,讓人感到情真意切,樸素大方.

(3)根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,可作如下的類比推理:若為三棱錐內(nèi)任一點(diǎn),則

此題的證明可以完全類比上述的證明.

三、抓住圖形的對(duì)稱性,問(wèn)題求解直觀又簡(jiǎn)單

數(shù)學(xué)中有許多函數(shù)的圖像或方程表示的曲線都具有對(duì)稱性,如正態(tài)分布密度曲線就是軸對(duì)稱圖形,解析幾何中的橢圓是中心對(duì)稱圖形.我們要善于利用這些圖形的對(duì)稱性,挖掘其中的隱含條件,巧妙地解決問(wèn)題.

例5正方體ABCD?A1B1C1D1的各頂點(diǎn)及各棱中點(diǎn)共20個(gè)點(diǎn)中,任取兩點(diǎn)連成直線,則這些直線中與平面A1BC1平行的直線有( )

A. 9條 B. 18條 C. 21條 D. 24條

圖3

思路分析如圖3,與平面A1BC1平行的直線應(yīng)該與平面A1BC1內(nèi)的某一條直線平行.自然先找與邊BA1平行的直線,易找出與邊BA1平行的直線有6條,根據(jù)對(duì)稱性,同理可得與邊BC1平行的直線有6條,與邊A1C1平行的直線有6條,此時(shí)與邊平行的直線共有18條.于是不少學(xué)生可能選擇B答案.我們還應(yīng)該作更深一點(diǎn)思考,除了上述18條直線外,還有沒(méi)有其他直線呢?如果有,它究竟應(yīng)該和平面A1BC1中哪條直線平行呢?根據(jù)圖形的對(duì)稱性,容易分析如果有,肯定與△A1BC1的中線平行.如圖3,與中線BO平行的直線有EE1、FF1,同理與另外兩條中線平行的直線也各有2條.故與中線平行的直線共有3×2=6條.因此共有18+6=24條,故選D.

評(píng)注立體幾何有許多圖形具有對(duì)稱性,我們?nèi)裟茏プ?duì)稱性,往往能很快找到正確的解題方向.

例6已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A(4,?1),其內(nèi)角B、C的平分線方程分別為y=x?1和x=1,求邊BC所在直線方程.

思路分析本題應(yīng)考慮角平分線的對(duì)稱性質(zhì).A點(diǎn)關(guān)于∠B平分線的對(duì)稱點(diǎn)A1在邊BC上,A點(diǎn)關(guān)于∠C平分線的對(duì)稱點(diǎn)A2也在邊BC上,這樣直線BC的方程就是直線A1A2的方程.

解易得A(4,?1)關(guān)于∠B的平分線y=x?1的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(0,3),A(4,?1)關(guān)于∠C的平分線x=1的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為A2(?2,?1),A1A2的方程為2x?y+3=0,所以BC邊所在直線方程為2x?y+3=0.

評(píng)注本題就是利用對(duì)稱性,使問(wèn)題解決變得較為簡(jiǎn)單,給人以美的享受和思維的啟迪.但不少學(xué)生對(duì)角平分線隱含的對(duì)稱的性質(zhì)不太熟悉,自然就想不到利用對(duì)稱性來(lái)求解,從而使問(wèn)題求解變得非常麻煩.本題再一次展示了“對(duì)稱美”在解題中的指引燈塔的作用.

四、利用對(duì)稱性,對(duì)結(jié)論進(jìn)行合理而大膽的預(yù)測(cè)

有些問(wèn)題如果盲目求解,可能使式子的變形或運(yùn)算變得相當(dāng)復(fù)雜,甚至于得不到結(jié)果.所以遇到這類問(wèn)題往往要先根據(jù)條件作出合理判斷,再來(lái)對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,可大大減少運(yùn)算量.根據(jù)對(duì)稱性作出預(yù)判,在解析幾何中最為常見(jiàn),應(yīng)該成為解題的一條重要經(jīng)驗(yàn)和法寶.

例7已知橢圓=1的上頂點(diǎn)A(0,2),下頂點(diǎn)B(0,?2),直線y=kx+4與橢圓交于M,N兩點(diǎn),直線AM與BN相交于Q點(diǎn),求證:Q點(diǎn)在一條定直線上.

思路分析因?yàn)橹本€y=kx+4恒過(guò)定點(diǎn)(0,4),且直線可在y軸的兩側(cè)運(yùn)動(dòng),如果Q點(diǎn)在一條定直線上,根據(jù)對(duì)稱性易知,此定直線應(yīng)該為平行于x軸的直線.

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有

聯(lián)立①②消去x得

所以3y?6=?y?2,y=1,即Q點(diǎn)在定直線y=1上.

評(píng)注本題就是根據(jù)對(duì)稱性判斷Q點(diǎn)在平行于x軸直線上,根據(jù)這一預(yù)判,想到Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)是一定值,而橫坐標(biāo)任意,從而由①,②兩式消除x保留y,這一變形實(shí)在是太妙了!這就是合理猜想的結(jié)果,它明確了式子變形的方向,避免了運(yùn)算的盲目性,大大減少計(jì)算量,確實(shí)令人鼓舞,拍手稱好!本題如果沒(méi)有根據(jù)這種“對(duì)稱美”進(jìn)行合理猜想,而是盲目運(yùn)算,很難想象能算出正確結(jié)果.事實(shí)上,很多學(xué)生做這道題時(shí)有畏懼心理,他們不知道如何變形,再加上字母運(yùn)算的復(fù)雜性,導(dǎo)致他們沒(méi)有信心往下算,當(dāng)然這道題也就不得求解了.圓錐曲線中的很多問(wèn)題都有一定的內(nèi)在規(guī)律,在解決問(wèn)題時(shí),要善于分析其內(nèi)在規(guī)律,并進(jìn)行合理猜想(如本題就是根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行合理猜想),使計(jì)算有一個(gè)正確的目標(biāo),更加趨向合理和簡(jiǎn)便.

五、利用對(duì)稱性,對(duì)結(jié)論的正確性進(jìn)行直覺(jué)判斷

在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),由于我們只考慮部分條件,而忽視隱含在問(wèn)題中的另一部分條件,思維不夠深刻,導(dǎo)致所得結(jié)論不全面、不嚴(yán)謹(jǐn)、不合理.如果我們對(duì)“對(duì)稱美”的應(yīng)用有一定的經(jīng)驗(yàn)積累,并且有很強(qiáng)的思想意識(shí),那么我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候就會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用對(duì)稱美來(lái)判斷和檢驗(yàn)所得結(jié)論的合理性,做出正確的判斷和修正.

評(píng)注不少同學(xué)往往只得出①、②兩式中的某一個(gè)式子,從而得出的范圍是題中給出的式子具有某種對(duì)稱關(guān)系,因而得出的范圍也應(yīng)該具有對(duì)稱關(guān)系,不對(duì)稱答案肯定有問(wèn)題.再者,因?yàn)?1≤cosα≤1,?1≤sinβ≤1所以cosα·sinβ的范圍應(yīng)該是[?1,1]的子集,而明顯不符,所以我們?cè)诮忸}中要具備起碼的直覺(jué)思維.

狄拉克說(shuō):“我們應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)美作為我們的指引燈塔,去建立有意義的理論—首先它們得具備數(shù)學(xué)美.”本文主要探究了“對(duì)稱美”在解題中的引路作用.其實(shí),“對(duì)稱美”在概念、定理、公式、法則等多方面都有廣泛的應(yīng)用.可以說(shuō),“對(duì)稱美”是我們解決數(shù)學(xué)中有關(guān)問(wèn)題的指引“燈塔”,我們?cè)趩?wèn)題解決中要善于挖掘數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱美”,欣賞數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱美”,應(yīng)用數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱美”,使之成為我們解決問(wèn)題的利器和法寶.

[1]楊列敏,劉國(guó)良.三角形五心向量形式的探究教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上),2016(7):44-45