安徽省蕪湖市繁昌縣第一中學(xué)(241200) 鮑健

一類高考試題的轉(zhuǎn)化和拓展

安徽省蕪湖市繁昌縣第一中學(xué)(241200) 鮑健

在高中數(shù)學(xué)中,錯(cuò)位相減法是用來推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法,是數(shù)列求和的重要方法之一,也是高考考查的重點(diǎn)方法.

1 提出問題,引發(fā)思考

筆者研究近幾年各省市的高考數(shù)列解答題發(fā)現(xiàn),用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問題出現(xiàn)頻率非常高.從下面所列舉的部分高考試題,我們發(fā)現(xiàn)這些高考數(shù)列解答題第一問都是考查等差、等比這兩種特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式,第二問都是考查由等差等比對應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)造新數(shù)列的前項(xiàng)和.

例題1(2016年山東省高考理科數(shù)學(xué)第18題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.

(I)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

解析(I)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+8n,所

例題4(2015年山東省高考理科數(shù)學(xué)第18題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2Sn=3n+3.

(I)求{an}的通項(xiàng)公式;

(II)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.以a1=11,當(dāng)n≥2時(shí),

所以Tn=?12+3·22(1?2n)+(3n+3)·2n+2=3n·2n+2.

例題2(2015年天津市高考理科數(shù)學(xué)第18題)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q≠1),n∈N?,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列.

(I)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式;

例題3(2015年湖北省高考理科數(shù)學(xué)第18題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(I)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(II)當(dāng)d＞1時(shí),記求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

2 探究問題,提煉結(jié)論

筆者認(rèn)為,總結(jié)高中階段利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題的特點(diǎn),我們不難推出如下結(jié)論:若數(shù)列{an},{bn}分別是公差為d的等差數(shù)列和首項(xiàng)b1公比q(b≠0,q≠0)的等比數(shù)列,則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn可以用錯(cuò)位相減法.

3 轉(zhuǎn)化問題,殊途同歸

筆者在研究過程中發(fā)現(xiàn),我們可借助于函數(shù)求導(dǎo),可將上述結(jié)論中求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和問題轉(zhuǎn)化為特定等比數(shù)列求和后關(guān)于公比q的導(dǎo)數(shù)問題,下面以證明上述結(jié)論為例來說明.對于①式我們有:

4 拓展問題,發(fā)現(xiàn)新知

筆者進(jìn)一步思考:等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=dn+a0(n∈N?)是關(guān)于n的一次多項(xiàng)式(其中d是公差),若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的最高次為m次的多項(xiàng)式,是否有類似的結(jié)論呢?