付永清 張憲民

1.華南理工大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院，廣州，5106402.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州，510640

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多層漸進(jìn)黑白拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法

付永清1張憲民2

1.華南理工大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院，廣州，5106402.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州，510640

提出一種多層漸進(jìn)黑白(0-1)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用SIMP方法松弛設(shè)計(jì)變量，利用靈敏度過(guò)濾消除棋盤格。將拓?fù)鋱D中無(wú)效的中間單元看成多余材料，在此基礎(chǔ)上，采用體積比多層延拓方案，逐步逼近優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)體積比，同時(shí)，利用基于相對(duì)密度的單元漸進(jìn)篩選方法，分層地去除設(shè)計(jì)域中的無(wú)效材料，保留其中的最有效材料，并逐層縮小拓?fù)鋬?yōu)化模型的可利用材料域。通過(guò)這種方式，使0-1拓?fù)湓O(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為具有連續(xù)設(shè)計(jì)變量的多層漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程，從而最終得到滿足目標(biāo)體積比的黑白拓?fù)?。最后，以柔性最小化及柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)問(wèn)題為例，進(jìn)行了算法驗(yàn)證，結(jié)果表明該算法能夠?qū)崿F(xiàn)較好的0-1收斂效果。

黑白拓?fù)?；?yōu)化設(shè)計(jì)；SIMP；多層；漸進(jìn)

0 引言

目前，拓?fù)鋬?yōu)化方法已經(jīng)成為尋求經(jīng)濟(jì)又適用的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式的一種有效又實(shí)用的方法[1-2]。這種方法通常以有限元分析為基礎(chǔ)，在拓?fù)鋬?yōu)化的初始階段，首先將設(shè)計(jì)域離散成一定數(shù)量的有限元網(wǎng)格，再利用優(yōu)化算法確定單元材料的保留與刪除，以滿足預(yù)定的目標(biāo)和約束條件。由于生產(chǎn)制造的原因，通常希望所得到的拓?fù)浣Y(jié)果具有清晰勻質(zhì)的黑白(0-1)設(shè)計(jì)模式。因而需要利用能夠處理大量離散變量的整數(shù)規(guī)劃方法，如遺傳算法[3]，模擬退火算法[4]，漸進(jìn)算法[5]等，尋找優(yōu)化問(wèn)題的可行解。但是，這類方法的不足之處在于計(jì)算量太大，并可能導(dǎo)致棋盤格或微穿孔現(xiàn)象出現(xiàn)。因此，為了減小求解過(guò)程中的困難，又發(fā)展了松弛法，如均勻化方法[6]和SIMP方法[7]，以便可以采用基于連續(xù)變量的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。其中，均勻化方法設(shè)計(jì)變量繁多，同時(shí)也可能產(chǎn)生棋盤格或微穿孔問(wèn)題。而SIMP方法具有概念簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的特點(diǎn)，是目前拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的一種松弛方法[2]。不過(guò)，由于它的優(yōu)化結(jié)果中容易出現(xiàn)灰色的中間單元(雖然通過(guò)增大該方法中懲罰因子的取值可以促使中間密度值趨近0和1，但較大的參數(shù)值同樣將引起棋盤格的出現(xiàn))，因此在優(yōu)化過(guò)程中還必須同時(shí)采用一些約束方法[2]，以確保拓?fù)鋱D中材料分布的連續(xù)性。然而由于這些約束方法又將導(dǎo)致拓?fù)鋱D中容易出現(xiàn)灰色邊界[2,8]，因此，為了能夠得到所期望的0-1拓?fù)?，研究人員在松弛設(shè)計(jì)變量的基礎(chǔ)上，又相繼提出了一些解決中間單元問(wèn)題的方法。如閾值法[9]，在優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)[10]或約束條件[11]中追加顯式懲罰函數(shù)方法，混合的SINH方法[12]，修改最佳準(zhǔn)則表達(dá)形式的啟發(fā)式算法[13]，二階段方法[14]，基于圖像過(guò)濾技術(shù)的方法[15-16]，單元連結(jié)參數(shù)化方法[17]和基于標(biāo)準(zhǔn)化元素的方法[18]等。從它們的優(yōu)化結(jié)果來(lái)看，這些方法依然不能獲得滿意的0-1拓?fù)鋱D。另外，還有基于曲線的方法，其中以水平集方法為代表[19]，但這種方法也具有初始敏感性，不能生成新孔，以及難以收斂到不光滑的角點(diǎn)等缺陷。除了上述方法之外，還有模擬退火和SIMP相結(jié)合的方法[20]，利用序列整數(shù)規(guī)劃進(jìn)行后處理的方法[21]，以及基于復(fù)雜形狀梁?jiǎn)卧皥D形理論的方法[22]等，這幾種方法的共同之處是將松弛法和整數(shù)規(guī)劃法相結(jié)合，因此也無(wú)法避免拓?fù)鋱D中出現(xiàn)棋盤格或微穿孔現(xiàn)象，并且計(jì)算量較大。綜上可知，解決中間單元問(wèn)題的最佳方法仍有待研究。

因此，本文提出一種多層漸進(jìn)黑白(0-1)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法采用SIMP方法松弛設(shè)計(jì)變量，利用靈敏度過(guò)濾消除棋盤格。算例驗(yàn)證結(jié)果表明，本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)較好的0-1收斂效果。

1 多層漸進(jìn)黑白拓?fù)鋬?yōu)化方法

多層漸進(jìn)方法的基本思想是，在將無(wú)效的中間單元看成多余材料的基礎(chǔ)上，采用體積比多層延拓方案[23]，逐步逼近優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)體積比，同時(shí)，利用基于相對(duì)密度的單元漸進(jìn)篩選方法[23]，分層地去除設(shè)計(jì)域中的無(wú)效材料，保留其中的最有效材料，并逐層縮小拓?fù)鋬?yōu)化模型的可利用材料域，直至得到滿足目標(biāo)體積比的0-1拓?fù)洹?/p>

1.1 體積比多層延拓方案

假定目標(biāo)體積比為θ，初始階段的拓?fù)鋬?yōu)化層數(shù)為j=1，體積比為θ1，且θ1略大于θ，則體積比多層延拓方案可表示為

θj+1=max(αθj,θ)j≥1

(1)

其中，θj為第j層的體積比,α為體積比多層延拓因子，0 <α< 1，并且，在多層漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，α隨層數(shù)j變化如下：

α=min(α0+(j-1)Δα,αu)

(2)

其中，αu為α的上限，以確保θJ-1及θJ(J為拓?fù)鋬?yōu)化的總層數(shù))精確取值為θ，α0為體積比延拓因子初值，且0<α0<1，Δα為體積約束延拓因子增量，且0<Δα<1。在實(shí)際應(yīng)用中，為了確定α0和Δα的取值，需要首先給定總層數(shù)J的取值，另一方面，為了實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的0-1收斂，第J層所需刪除的單元數(shù)應(yīng)為零，且第J-1層擬刪除的單元數(shù)應(yīng)盡可能地少。本研究中，選擇第J-1層擬刪除的單元數(shù)為1～5。

1.2 基于相對(duì)密度的單元漸進(jìn)篩選方法

假定將設(shè)計(jì)域離散成N1個(gè)有限單元，{ρi}(i=1,2,…,N1)為第j層拓?fù)鋬?yōu)化模型的最佳解，其中ρi為單元i的相對(duì)密度，且遵循SIMP松弛方法，因此任一ρi值滿足：

0<ρmin≤ρi≤ρmax=1

(3)

式中，ρmin為單元密度下限，其作用是防止剛度矩陣奇異；ρmax為單元密度上限。

根據(jù)SIMP方法，ρi對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的貢獻(xiàn)可通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃嘖i進(jìn)行衡量[7]，即

(4)

P∈Z,P>1,i=1,2,…,N1

式中，Ve為實(shí)心單元的材料體積；D為彈性矩陣；B為實(shí)心單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變矩陣；P為懲罰因子。

式(4)表明，和低密度單元相比，高密度單元對(duì)優(yōu)化問(wèn)題有更大的貢獻(xiàn)，因而單元相對(duì)密度取值大小可作為單元漸進(jìn)篩選依據(jù)，以刪除設(shè)計(jì)域中的無(wú)效材料，保留其中的最有效材料。按從小到大的順序?qū)ρi}進(jìn)行重新排序，可得

(5)

i′=1,2,…,N1

然后從密度最小的單元開始，刪除一定數(shù)量的低密度單元，直至設(shè)計(jì)域中所保留的單元數(shù)Nj+1等于第j層拓?fù)鋬?yōu)化所期望的實(shí)心單元數(shù)，即有

(6)

式中，V0為設(shè)計(jì)域的總體積。

考慮到Nj+1為正整數(shù)，并且所刪除的單元應(yīng)為中間單元，將式(6)改寫為[23]

(7)

其中，符號(hào)[·]表示取整運(yùn)算。所有Nj+1個(gè)保留單元的集合構(gòu)成第j+1層拓?fù)鋬?yōu)化模型的可利用材料域Ωj+1，Ns是第j層優(yōu)化解中密度為ρmax的單元數(shù)。由于第j+1層拓?fù)鋬?yōu)化是在第j層拓?fù)鋬?yōu)化最佳解的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，由Ns個(gè)密度為ρmax的單元構(gòu)成的集合Ωj+1,2在下一層優(yōu)化中恒定不變。

1.3 多層漸進(jìn)黑白拓?fù)鋬?yōu)化模型

綜合多層漸進(jìn)方法，可得優(yōu)化問(wèn)題第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(8)

式中，K為整體剛度矩陣，且K=∑Ki；ρ為由ρi構(gòu)成的列向量；f(ρ)為目標(biāo)函數(shù)；F為僅在載荷輸入點(diǎn)有非零元素Fin的力向量；U為Fin作用下的節(jié)點(diǎn)位移矢量；Fd為僅在位移輸出點(diǎn)有非零單位虛擬載荷Fout的力向量；Ud為Fd作用下的節(jié)點(diǎn)位移矢量。

對(duì)于柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，為使其既有足夠大的剛度又有足夠大的柔性，可將f(ρ)表示為[14,24]

(9)

Es(ρ)=UTKU

(10)

(11)

式中，Es為系統(tǒng)的應(yīng)變能[2]；Ems為系統(tǒng)的互應(yīng)變能。

當(dāng)j≥2時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題第j層拓?fù)鋬?yōu)化模型為

(12)

式中，Ωj(j≥2)為優(yōu)化模型的可利用材料域;Ωj,2為可利用材料域中密度為ρmax且恒定不變的單元集合;ΩjΩj,2為第j層優(yōu)化模型可利用材料域中密度可變的單元集合；Ω1Ωj為第j層優(yōu)化模型中所有已刪除的單元集合。

2 多層漸進(jìn)黑白拓?fù)鋬?yōu)化最佳準(zhǔn)則

結(jié)合傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化最佳準(zhǔn)則[2]和多層漸進(jìn)方法，可以得到第j+1層優(yōu)化迭代中的密度更新準(zhǔn)則為

(13)

(14)

(15)

其中，?f/?ρi為目標(biāo)函數(shù)的靈敏度，根據(jù)式(9)和式(10)可得[2,14,23-24]

(16)

(17)

此外，K(0)為實(shí)心單元的剛度，udi為單元i的虛擬位移，γ是拉格朗日乘子，可利用雙截面算法調(diào)節(jié)，以使ρt+1滿足體積約束，即[2,23,25]

(18)

3 靈敏度過(guò)濾

為了消除拓?fù)鋱D中的棋盤格現(xiàn)象及確保拓?fù)鋬?yōu)化解的存在性，采用靈敏度過(guò)濾算法對(duì)各單元靈敏度進(jìn)行修正，即[2]

(19)

i=1,2,…,N1

其中，Ne為單元i的鄰域, 該鄰域內(nèi)的各單元中心到單元i的中心的距離小于或等于過(guò)濾半徑R，Hj是卷積因子，有[2]

Hj=R-‖xj-xi‖

(20)

式中，xi為單元i的中心坐標(biāo)。

4 優(yōu)化過(guò)程

多層漸近0-1拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程如下：①建立第一層拓?fù)鋬?yōu)化模型； ②對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行有限元分析，并得出體積約束和優(yōu)化目標(biāo)的靈敏度；③對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的靈敏度進(jìn)行過(guò)濾，以消除拓?fù)鋱D中的棋盤格；④基于最佳準(zhǔn)則更新設(shè)計(jì)變量；⑤重復(fù)步驟②～步驟④，直到優(yōu)化迭代收斂；⑥判斷拓?fù)鋬?yōu)化最大迭代數(shù)或前后兩次迭代的單元密度變化最大值小于一個(gè)閾值,或當(dāng)前層刪除單元數(shù)為零的條件是否滿足，若滿足則終止循環(huán)并輸出結(jié)果，否則繼續(xù)執(zhí)行以下步驟；⑦建立下一層拓?fù)鋬?yōu)化模型； ⑧重復(fù)步驟②～步驟⑦，如此不斷縮小拓?fù)鋬?yōu)化模型的可利用材料域，直至得到滿足目標(biāo)體積比的理想的柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D。

圖1 多層漸進(jìn)0-1拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.1 Flowchart of multi-level evolutionary approach for the 0-1 topology optimization design

圖1為多層漸進(jìn)0-1拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程流程圖。數(shù)值經(jīng)驗(yàn)表明，設(shè)計(jì)問(wèn)題的拓?fù)錁?gòu)成主要由第一層優(yōu)化確定，因此，相較于后續(xù)各層來(lái)說(shuō)，第一層優(yōu)化迭代次數(shù)應(yīng)選取更大的值。而且，在多層漸進(jìn)方法中，多余的材料體積由待刪除的中間單元構(gòu)成，因此第一層拓?fù)鋬?yōu)化的體積比只需取為稍大于目標(biāo)體積比即可。另一方面，為了測(cè)量本文算法的0-1收斂效果，采用優(yōu)化結(jié)果中的中間單元數(shù)N和非空單元的密度平均值ρa(bǔ)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。其中，ρa(bǔ)定義為[16]

(21)

式中，Nn為優(yōu)化結(jié)果中的非空單元數(shù)。

5 算例

5.1 MBB梁

圖2所示為MBB梁設(shè)計(jì)域，大小為600 mm×100 mm，材料的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，載荷Fin為10 N，目標(biāo)體積比θ為0.5，過(guò)濾半徑為0.15[16]。第一層的迭代次數(shù)取為100，后續(xù)各層的迭代次數(shù)取為20。拓?fù)鋬?yōu)化方法采用相對(duì)密度法，懲罰因子設(shè)為3，優(yōu)化目標(biāo)是得到具有最小柔性的MBB梁的0-1最佳拓?fù)鋱D。

圖2 MBB梁設(shè)計(jì)域Fig.2 Design of MBB

優(yōu)化問(wèn)題采用四節(jié)點(diǎn)正方形單元進(jìn)行求解，網(wǎng)格離散為180×30、240×40、300×50和360×60四種方式。首先采用傳統(tǒng)最佳準(zhǔn)則法求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，拓?fù)浣Y(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出，優(yōu)化結(jié)果中有明顯的灰度區(qū)域，說(shuō)明存在較多的中間單元。為此采用本文算法，在每一種離散方式中，對(duì)參數(shù)θ1、J、α0和Δα選取兩組數(shù)值，如表1所示。其中，α0和Δα由θ1、J以及第J和第J-1層擬刪除的單元數(shù)確定；選取α的上限值αu為0.998。最佳拓?fù)浣Y(jié)果及數(shù)值解分別如圖

(a)180×30網(wǎng)格 (b) 240×40網(wǎng)格

(c)300×50網(wǎng)格 (d) 360×60網(wǎng)格圖3 基于傳統(tǒng)最佳準(zhǔn)則法的MBB梁最佳拓?fù)浣Y(jié)果Fig.3 Optimal topology of MBB based ontriditional optimum criterion

表1 多層漸進(jìn)方法參數(shù)設(shè)置及數(shù)值解

4及表1所示。同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)和體積約束收斂過(guò)程分別如圖5和圖6所示。從圖4可以看出，優(yōu)化結(jié)果中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的與中間密度值相關(guān)聯(lián)的灰色區(qū)域，所有的拓?fù)鋱D均具有清晰的黑白(0-1)設(shè)計(jì)模式。這是因?yàn)槎鄬訚u進(jìn)方法將無(wú)效的中間單元看成多余材料，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合體積比多層延拓和基于相對(duì)密度的單元漸進(jìn)篩選方法，分層地去除設(shè)計(jì)域中的無(wú)效材料，并保留其中的最有效材料，同時(shí)不斷縮小拓?fù)鋬?yōu)化模型的可利用材料域，因而隨著優(yōu)化層次的更新，拓?fù)鋱D中的中間單元數(shù)不斷減少，而實(shí)心單元數(shù)則不斷增加，最終得到較滿意的黑白拓?fù)?。從圖4還可看出，當(dāng)參數(shù)θ1、J、α0和Δα變化時(shí)，無(wú)論網(wǎng)格密度是否變化，拓?fù)浣Y(jié)果圖均非常相似。這是由于在多層漸進(jìn)方法中，MBB梁的拓?fù)錁?gòu)成主要由第一層優(yōu)化確定，因而易于保證拓?fù)浣Y(jié)果的恒定性。另外，從表1可見(jiàn)，所有的拓?fù)鋱D均滿足體積約束，且目標(biāo)函數(shù)值相對(duì)恒定，雖然仍有少數(shù)中間單元存在，但其非空單元的密度平均值均以較高精度趨近于1，因而0-1收斂效果較好。再結(jié)合圖5和圖6可知，優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和體積約束均能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的收斂。綜上可見(jiàn)，本文算法對(duì)于柔性最小化問(wèn)題的0-1拓?fù)湓O(shè)計(jì)是可行的。

(a)180×30，θ1=0. 505，J=6,α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)180×30，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(c)240×40，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(d)240×40，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(e)300×50，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(f)300×50，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(g)360×60，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(h)360×60，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖4 MBB梁最佳拓?fù)浣Y(jié)果Fig.4 Optimal topology of MBB

(a)θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖5 MBB梁目標(biāo)函數(shù)收斂過(guò)程Fig.5 Converge process of objective of MBB

(a)θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖6 MBB梁體積約束收斂過(guò)程 Fig.6 Converge process of volume of MBB

5.2 柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)

圖7所示為柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域，大小為120 mm×120 mm，材料的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，輸入載荷Fin為10 N，目標(biāo)體積約束比θ為0.25，過(guò)濾半徑為2.5[15]，輸入輸出彈簧剛度分別為1和0.001。此外，第一層的迭代次數(shù)取為300，后續(xù)各層的迭代次數(shù)取為20。由于對(duì)稱性，僅對(duì)下半個(gè)設(shè)計(jì)域進(jìn)行拓?fù)湓O(shè)計(jì)，拓?fù)鋬?yōu)化方法仍采用相對(duì)密度法，懲罰因子設(shè)為3，優(yōu)化目標(biāo)是得到既有足夠大剛度又有足夠大柔性的柔順機(jī)構(gòu)0-1最佳拓?fù)鋱D。

圖7 柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域Fig.7 Design of compliant force inverter

仍采用四節(jié)點(diǎn)正方形單元對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，網(wǎng)格離散為120×60和180×90兩種方式。首先采用傳統(tǒng)最佳準(zhǔn)則法求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，拓?fù)浣Y(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出，優(yōu)化結(jié)果中有明顯的灰度區(qū)域，說(shuō)明存在較多的中間單元。為此采用本文算法，在每一種離散方式中，分別對(duì)參數(shù)θ1、J、α0和Δα選取四組數(shù)值，如表2所示。其中，α0和Δα由θ1、J以及第J和第J-1層擬刪除的單元數(shù)確定。并且，α的上限值αu仍取為0.998。最佳拓?fù)浣Y(jié)果如圖9和圖10所示，相應(yīng)的數(shù)值解如表2所示。另外，目標(biāo)函數(shù)和體積約束收斂過(guò)程分別如圖11和圖12所示。由圖9和圖10可見(jiàn)，優(yōu)化結(jié)果均為所期望的黑白(0-1)設(shè)計(jì)模式。無(wú)疑，這也是由于在多層漸進(jìn)方法中，通過(guò)體積比多層延拓和單元漸進(jìn)篩選相結(jié)合的方式，使拓?fù)鋱D中的中間單元逐漸趨近0或1，從而得到較理想的黑白拓?fù)洹Ｍ瑫r(shí)，從這兩個(gè)圖還可看出，當(dāng)參數(shù)θ1、J、α0和Δα變化時(shí)，拓?fù)浣Y(jié)果圖也都有較好的相似性。顯然，這也是由于柔順機(jī)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)成主要取決于第一層優(yōu)化的原因。另外，由表2可見(jiàn)，所有的拓?fù)鋱D也都滿足體積約束，且目標(biāo)函數(shù)值也恒定，盡管仍存在少數(shù)中間單元，但其非空單元的密度平均值均以較高精度趨近或約等于1，因此同樣具有較好的0-1收斂效果。結(jié)合圖11和圖12進(jìn)一步可知，目標(biāo)函數(shù)和體積約束都能穩(wěn)定收斂。由上可知，本文算法對(duì)于柔順機(jī)構(gòu)問(wèn)題的0-1拓?fù)湓O(shè)計(jì)是可行的。

(a)120×60 (b)180×90圖8 基于傳統(tǒng)最佳準(zhǔn)則法的柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)梁最佳拓?fù)浣Y(jié)果Fig.8 Optimal topology of compliant force inverter based ontriditional optimum criterion

表2 多層漸進(jìn)方法參數(shù)設(shè)置及數(shù)值解

(a)θ1=0.260，J=6，α0=0.9816，Δα=0.0058

(b)θ1=0.260，J=7，α0=0.9854，Δα=0.0034

(c)θ1=0.265，J=6，α0=0.9722，Δα=0.0089

(d)θ1=0.265，J=7，α0=0.9779，Δα=0.0053圖9 120×60網(wǎng)格柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)最佳拓?fù)浣Y(jié)果Fig.9 Optimal topology of compliant force inverter with 120×60 mesh

(a)θ1=0.260，J=6，α0=0.9816，Δα=0.0058

(c)θ1=0.265，J=6，α0=0.9722，Δα=0.0089

(d)θ1=0.265，J=7，α0=0.9779，Δα=0.0053圖10 180×90網(wǎng)格柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)最佳拓?fù)浣Y(jié)果Fig. 10 Optimal topology of compliant force inverter with 180×90 mesh

(a)J=6

(b)J=7圖11 柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)收斂過(guò)程Fig.11 Converge process of objective of compliant force inverter

(a)J=6，120×60，180×90

(b)J=7，120×60，180×90圖12 柔順力轉(zhuǎn)換機(jī)構(gòu)體積約束收斂過(guò)程Fig.12 Converge process of volume of compliant force inverter

[1] SIGMUND O, On the Design of Compliant Mechanisms Using Topology Optimization[J]. Mechanics of Structures and Machines,1997,25(4):493-524.

[2] BENDS?E M P, SIGMUND O. Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2003.

[3] ANAGNOSTOU G, RHNQUIST E M, PATERA A T. A Computational Procedure for Part Design[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1992,97:33-48.

[4] BUREERAT S, LIMTRAGOOL J. Performance Enhancement of Evolutionary Search for Structural Topology Optimisation[J]. Finite Elements in Analysis and Design,2006,42:547-66.

[5] HUANG X, XIE Y M. Convergent and Mesh-independent Solutions for the Bi-directional Evolutionary Structural Optimization Method[J]. Finite Elements in Analysis and Design,2007,43:1039-1049.

[6] NISHIWAKI S, FRECKER M I, MIN S, et al. Topology Optimization of Compliant Mechanisms Using the Homogenization Method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,1998,42:539-559.

[7] BENDS?E M P. Optimal Shape Design as a Material Distribution Problem[J]. Structural Optimization,1989,1:193-202.

[8] 付永清，張憲民. 結(jié)構(gòu)及柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的拓?fù)鋱D提取[J]. 力學(xué)進(jìn)展,2006，36(1):75-84. FU Yongqing，ZHANG Xianmin. Topology Extraction Process in the Topology Optimization Design for Structures and Compliant Mechanisms [J]. Advances in Mechanics，2006，36(1)：75-84.

[9] KIKUCHI N, NISHIWAKI S, FONSECA J S O, et al. Design Optimization Method for Compliant Mechanisms and Material Microstructure[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1998,151:401-417.

[10] LIN C Y, SHEU F M. Adaptive Volume Constraint Algorithm for Stress Limit-based Topology Optimization[J]. Computer-Aided Design,2009,41:685-694.

[11] BORRVALL T, PERTERSSON J. Topology Optimization Using Regularized Intermediate Density Control[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2001,190:4911-4928.

[12] BRUNS T E. A Reevaluation of the SIMP Method with Filtering and an Alternative Formulation for Solid-void Topology Optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization,2005,30:428-436.

[13] GROENWOLD A A, ETMAN L F P. A Simple Heuristic for Gray-scale Suppression in Optimality Criterion-based Topology Optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009,DOI 10.1007/s00158-008-0337-1.

[14] FU Y，ZHANG X. An Optimization Approach for Black-and-white and Hinge-removal Topology Designs[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, Accepted with revision.

[15] SIGMUND O. Morphology-based Black and White Filters for Topology Optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization,2007,33:401-424.

[16] WANG M Y, WANG S. Bilateral Filtering for Structural Topology Optimization[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2005,63:1911-1938.

[17] YOON G H, KIM Y Y. Element Connectivity Parameterization for Topology Optimization of Geometrically Nonlinear Structures[J]. International Journal of Solids and Structures,2005,42:1983-2009.

[18] JANG G W, KIM M J, KIM Y Y. Design Optimization of Compliant Mechanisms Consisting of Standardized Elements[J]. ASME Journal of Mechanical Design,2009,131,121006-1-121006-8.

[19] LUO Z, TONG L Y, WANG M Y, et al. Shape and Topology Optimization of Compliant Mechanisms Using a Parameterization Level Set Method[J]. Journal of Computational Physics,2007,227:680-705.

[20] GARCIA-LOPEZ N P, SANCHEZ-SILVA M, MEDAGLIA A L, et al. A Hybrid Topology Optimization Methodology Combining Simulated Annealing and SIMP[J]. Computers & Structures,2011,89:1512-1522.

[21] WERME M. Using the Sequential Linear Integer Programming Method as a Post-processor for Stress-constrained Topology Optimization Problems[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2008,76:1544-1567.

[22] SAUTER M, KRESS G, GIGER M, et al. Complex-shaped Beam Element and Graph-based Optimization of Compliant Mechanisms[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization,2008,36:429-442.

[23] 付永清，張憲民. 一種柔順機(jī)構(gòu)0-1拓?fù)鋱D提取方法:ZL201210547407.7[P].2015-10-28. FU Yongqing，ZHANG Xianmin. A 0-1 Topology Extraction Approach for Compliant Mechanisms:ZL201210547407.7[P].2015-10-28.

[24] SAXENA A, ANANTHASURESH G K. An Optimality Criteria Approach for the Topology Synthesis of Compliant mechanisms[C]// Proceedings of DETC'98 1998 ASME Design Engineering Technical Conferences. Atlanta, Georgia,USA,1998:1-14.

[25] 左孔天．連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論與應(yīng)用研究[D]．武漢：華中科技大學(xué)，2004. ZUO Kongtian. Research of Theory and Application about Topology Optimization of Continuum Structure[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology,2004.

(編輯 王艷麗)

Multi-level Evolutionary approach for the Black-and-white Topology Optimization Design

FU Yongqing1ZHANG Xianmin2

1.School of Design，South China University of Technology, Guangzhou, 510640 2.School of Mechanical and Automotive Engineering,South China University of Technology, Guangzhou, 510640

A multi-level evolutionary method for the 0-1 topology optimization design was proposed. The binary constraints on design variables were relaxed based on the scheme of SIMP. And the checkerboards were filtered and removed by sensitivity. The ineffective intermediate elements were considered as redundant materials. Then, a multi-level continuation scheme on the volume ratio was used to approach the objective volume ratio of the optimization problem gradually. Meanwhile, based on relative densities an evolutionary screening strategy for elements was applied to remove ineffective materials in the design stratified, to remain the most effective materials, and to diminish the available material domains of topology optimization models with the changing layers. By this way, the 0-1 topology design was transformed into a multi-level evolutionary procedure of the topology optimization. Consequently, a preferable black-and-white topology satisfying the objective volume ratio could be obtained as expected. Finally, numerical examples of the topology design including compliance minimization and compliant mechanism problems were employed to verify the feasibility of the proposed method. The results demonstrate that the present method may achieve a relatively good 0-1 convergent effect.

black-and-white topology; optimization design; solid isotropic material with penalization; multi-level; evolutionary

2016-07-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (51275174)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.11.007

付永清，女，1968年生。華南理工大學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)槿犴槞C(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化及拓?fù)鋱D提取。張憲民,男，1964年生。華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。