筅江蘇省宜興市第一中學楊麗嫻

高中數(shù)學不等式解題技巧思考

筅江蘇省宜興市第一中學楊麗嫻

高中數(shù)學的學習對我們的邏輯思維能力有著較高的要求，而其中不等式部分的知識更是考試中的重點及難點內(nèi)容.因此，在高中數(shù)學學習的過程中，如若沒有對不等式的相關知識掌握清楚、準確，則將會在考試中喪失分數(shù).所以，高中生熟練掌握不等式的解題技巧，對提高數(shù)學能力有著積極的作用.

一、線性不等式的解題技巧

在考試的過程中，關于線性不等式的考查題型相對較多，難度相對較小.但需要注意的是，線性不等式的題目當中所涵蓋的知識點數(shù)量多，其中包括定義域、值域、圖形之間形成的面積變化規(guī)律等.雖然其難度不大，然而其出錯的概率卻較大.對于線性不等式的實際運用，其主要解決的問題包括兩種情況：其一，在給定條件的情況下，運用線性不等式的知識獲取最大值；其二，在給定任務的情況下，求其他條件的最小值.

例如，如果kx2+2kx-（k+2）<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）.

A.-1≤k≤0B.-1≤k<0

C.-1

在解題的過程中，如果沒有對題目的要求及線性不等式中涵蓋的知識點進行深入理解，則將會得到-1

該類題型的解題技巧主要包括以下幾點：其一，對于給定條件中圖形邊界不包含其中時，應注意將其邊界用虛線標注；其二，對于線性題目當中的二元一次不等式的解題當中，為了確定其具體的面積范圍，可在直線之外任意選擇一個點，將其代入到原不等式當中.當其坐標滿足不等式時，則證明該點位于相關區(qū)域當中；而當該點的坐標不符合原不等式時，則證明直線的另一側(cè)為所求區(qū)域；其三，在對直線進行平移的過程中，應要求直線經(jīng)過所求區(qū)域；其四，當不等式題目與實際問題相聯(lián)系時，應根據(jù)題目的要求對區(qū)域經(jīng)過的象限進行選擇；其五，簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.

二、高次不等式的解題技巧

在對高次不等式進行解題的過程中，應切忌在做題時忽略特殊位置的點或者區(qū)域，從而造成答案范圍縮小，對函數(shù)的圖像變化做出錯誤的判斷.

例如，解不等式（x+4）·（x-3）·（x-7）≤0.

在解答的過程中，應首先在數(shù)軸當中，將x=-4、x=3、x=7三個點進行標注.在此之后對數(shù)軸進行觀察可發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸將會被三個點分成四個區(qū)域，將數(shù)軸之上的區(qū)域以正號標注、數(shù)軸之下的區(qū)域以負號標注，題目的要求為對小于等于0的答案，因此只需將數(shù)軸之下的重合區(qū)域進行寫出即為正確答案.

再如，若a>0，b>0，且函數(shù)f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（）.

A.2B.3C.6D.9

在對該題進行解答的過程中，首先對原式進行求導，其結(jié)果應為f′（x）=12x2-2ax-2b.因為f（x）在x=1處有極值，所以f′（1）=12-2a-2b=0，即a+b=6.又a＞0，b＞0，所以≤6.所以ab≤9，當且僅當a=b=3時，等號成立，所以ab的最大值為9.故正確答案為D.

三、絕對值不等式的解題技巧

絕對值不等式是常見的一類不等式，也是不等式中難度較大的題型.在對其進行解答的過程中，應首先對不等式中的式子，利用同解的原理將其轉(zhuǎn)化為不等式組.一般而言，不等式組通常由一次或者二次不等式組成.而對于兩個以上的絕對值組成的不等式而言，可先令各個絕對值內(nèi)的式子為零，求出x的值，之后將各個不等式內(nèi)為零條件下的x值標注到數(shù)軸之上，向數(shù)軸上零的位置畫線，最終將共同的區(qū)域?qū)懗?，進而得到正確的答案.

例如，A：|x-1|＜3，B：（x+2）（x+a）＜0，若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是＿＿＿＿＿.

在解題的過程中，部分高中學生的錯誤解答如下：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要條件，則A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x| -2＜x＜-a｝，-a≥4，故a≤-4.該題解答錯誤的原因，主要是高中學生審題時忽略了a＝-4的情況，此時｛x|-2＜x＜4｝＝｛x|-2＜x＜-a｝，A是B的充要條件，不是充分不必要條件.因此，其正確的解答方法應為：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要條件，A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x|-2＜x＜-a｝，所以-a≥4，即a≤-4.

四、含有變量的不等式的解題技巧

在部分高中不等式中，常常在自變量中設置因變量，即參數(shù).在實際解題的過程中，應根據(jù)題目中條件的設定，對參數(shù)的取值進行分類，根據(jù)不同的分類條件，對不等式進行變形.需要注意的是，在解題中不能忽略參數(shù)為零的情況.

例如，設x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，則的最大值為（）.

由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3.所以=log3ab≤.因此，其正確答案為C.

再如，若點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，則的最小值為_______.

其解題過程應為：點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，又mn>0，所以n2=4m2時取等號，故的最小值為8.

五、最值不等式的解題技巧

最值是不等式求解中出現(xiàn)幾率相對較高的一類問題，也是考試中必考內(nèi)容之一.在實際解題的過程中，該類題型的解題技巧通常包括以下幾種：其一，拆項，即在解題的過程中，在等值的前提下，可以對題目中給出的已知項進行拆分，進而能夠?qū)⒉痖_的項變成一個確定的值，無論是乘法還是加法，例如，將2a2拆分成4a×；其二，湊項，在解題的過程中，應根據(jù)給定的條件，將題目中的式子進行拼湊，使其在加法或乘法的作用下，能夠保持一個定值；其三，變項，即根據(jù)解題的需要，在不改變式子的值的情況下，將其以其他形式進行表達.

例如，已知A點坐標為（4，1），B點坐標為（-1，-6），C點坐標為（-3，2），點（x，y）在△ABC邊上及其內(nèi)部，求x2+ y2的最值.

一般情況下，其錯誤的解法為：令z=x2+y2，由A點坐標（4，1），得z＝x2+y2＝16+1＝17，由B點坐標（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由C點坐標（-3，2），得z＝x2+y2＝（-3）2+22＝13.所以當x=-1，y=-6時，x2+y2取得最大值37，當x=-3，y=2時，x2+y2取得最小值13.導致該類題目出現(xiàn)錯誤的原因主要包括誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.由此可知，該類題目的正確解答方法為：令z=x2+y2，則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.由A點坐標（4，1），得z＝x2+y2＝42+12＝17，由B點坐標（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由得C點坐標（-3，2），此時z＝x2+ y2＝（-3）2+22＝13，而在原點處，此時z＝x2+y2＝0，所以，當x=-1，y=-6時，x2+y2取得最大值37，當x=0，y=0時，x2+y2取得最小值0.

六、換元法解不等式的技巧

所謂的換元法，其實質(zhì)是在對高中不等式進行解答的過程中，對較為復雜或者出現(xiàn)頻率較高的式子，運用一個數(shù)學符號或者變量的形式對其進行替換，將其代入到原式之后，能夠?qū)⒃酱蠓喕峁┮欢ǖ慕忸}便利.換元法主要有兩種換元形式.（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都用同一個參數(shù)表示.此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題；（2）增量換元法：在對稱式（任意交換兩個字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式中，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果.這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用.

七、反證法解不等式的技巧

所謂的反證法，其實質(zhì)是有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.反證法證明不等式時，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導出矛盾.該類證明方法在對幾何問題以及不等式問題進行解答的過程中，其使用頻率較高.

例如，已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd.

其證明方法如下：因為a，b，c，d，x，y都是正數(shù)，所以要證xy≥ac+bd，只需證（xy）2≥（ac+bd）2，即（a2+b2）（c2+ d2）≥a2c2+b2d2+2abcd，展開得a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+ b2d2+2abcd，即a2d2+b2c2≥2abcd.由基本不等式，顯然成立.所以xy≥ac+bd.該類題目在解答的過程中，從正面對其實施證明難度相對較大.因此，運用反證法從反面對其進行解答，能夠有效地提高解題的速度，保證正確率.

八、不等式性質(zhì)解不等式的技巧

在高中不等式的解題過程中，部分題目往往需要運用不等式的性質(zhì)進行解答.高中不等式的性質(zhì)主要包括以下幾點：其一，不等式的傳遞性，即如果a>b，b>c，那么a>c；其二，不等式的可加性，即如果a>b，那么a+c>b+c；其三，如果a>b，c>0，那么ac>bc；其四，如果a>b>0，c>d> 0，那么ac>bd.

例如，有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f（n）＝n2-n+2個部分.

該題的證明可以用數(shù)學歸納法①當n＝1時，一個圓把平面分成兩個部分，即f（1）=2，又n＝1時，n2-n+2＝2，故命題成立.②假設n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f（k）＝k2-k+2個部分，那么設第k+1個圓為⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是與其他k個圓相交于2k個點.把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f（k+1）＝k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2，即n＝k+1時命題成立.由①②可知，對任何n∈N*命題均成立.

總而言之，高中數(shù)學當中不等式的知識是其中的重點內(nèi)容之一，也是常常導致高中學生失分的內(nèi)容.因此，高中學生應首先從思想上認識到不等式內(nèi)容的重要性，認真總結(jié)以往不等式解題中出現(xiàn)問題的原因，熟練掌握不等式的解題技巧，提高高中數(shù)學不等式內(nèi)容的掌握程度，提升做題的速度，最終實現(xiàn)提高高中數(shù)學成績的目的.