筅浙江省余姚中學顧丹杰

空間幾何體體積的求解策略

筅浙江省余姚中學顧丹杰

空間幾何體體積的計算是常見的題型，常見的求解策略有：直接法、等體積法、分割法、補形（體）法等，下面舉例說明.

一、直接法

例1如圖1所示，在多面體P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD= 8，AB=2DC=4.求四棱錐P-ABCD的體積.

圖1

分析：因為平面PAD⊥平面ABCD，所以考慮在平面PAD內(nèi)作四棱錐的高，然后再計算底面積，這兩個元素確定了，求體積也就順理成章了.

解：過P作PO⊥AD于O，因為平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高.

在底面四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，

所以四邊形ABCD為梯形.在△ABD中，AD=4，BD= 8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2，故AD⊥BD.

評注：求一些規(guī)則幾何體的體積時，可以根據(jù)幾何體的特點，利用線面垂直、面面垂直等條件，確定幾何體的高，解決本題的關鍵是確定四棱錐P-ABCD的高.

二、等體積法

例2如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E、 F分別為線段AA1、B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為_______.

分析：若直接求三棱錐D1-EDF的體積，則需要求出△DEF的面積和該三棱錐的高，兩者都不易求出，所以求三棱錐D1-EDF的體積，可以轉(zhuǎn)化為求F-DD1E的體積.

解：因為正方體的棱長為1，而且E、F分別是線段AA1、B1C上的點，所以點F到平面DD1E的距離即為正方體的棱長1，

圖2

評注：當所給幾何體的體積不能直接利用公式求解，利用不同的底面積和高來求體積，所得的體積相等，這就是等體積法.等體積法求三棱錐體積的基本思路是：首先判斷三棱錐的形狀及其結(jié)構特征，然后變換三棱錐的底面同時也變換高，再利用三棱錐的體積公式V=sh求解.

三、分割法

例3如圖3所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，求該多面體的體積.

分析：本題所給的多面體無法直接求出體積，可以考慮將其分割為幾個規(guī)則的錐體或柱體進行計算體積.

解法1：如圖4所示，分別過A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG，CH，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.

圖3

圖4

圖5

解法2：如圖5所示，取EF的中點P，則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個四棱錐，易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是棱長為1的正四面體，四棱錐P-ABCD為棱長為1的正四棱錐.

評注：分割法是求一些不規(guī)則多面體的常用方法.在具體解題時，要考慮到分割后的椎體或柱體的底面積或高的求解，盡量簡化底面積和高的運算.

圖6

四、補形（體）法

例4（1）已知某幾何體的三視圖如圖6所示，則該幾何體的體積為________.

分析：（1）可利用對稱關系，將該幾何體補為圓柱，再求體積；（2）若按常規(guī)解題思路是求底面積和高，底面積易求，但高不易求.由已知條件中的三組對棱分別相等，可聯(lián)想到長方體對面不平行的對角線也具有這種性質(zhì).從而將此三棱錐補成一個長方體，從而可快捷解決問題.

解：（1）由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的，根據(jù)對稱性，可補全此圓柱如圖7，故體積V=×π× 12×4=3π.

圖7

（2）可將如圖8所示的三棱錐補成圖9所示的長方體，設AD=a，DB=b，DC=c，故a2+ b2=52，b2+c2=41，a2+c2=34.解得a=3，b=4，c=5.

圖8

圖9

故VP-ABC=VAFPG-DBEC-4VA-BCD=

評注：補形法常見的有兩種情況：（1）對稱補形求體積：某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進行補形，把它們放入一個規(guī)則幾何體中加以解決.（2）聯(lián)系補形：某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解.三條側(cè)棱兩兩互相垂直，或一側(cè)棱垂直于底面，底面為正方形或長方形，則此幾何體補形為正方體或長方體，使所解決的問題更直觀易求.

圖10

五、函數(shù)法

例5如圖10，在平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.記CD=x，V（x）表示四棱錐F-ABCD的體積，求V（x）的最大值.

分析：解答本題的關鍵是求出V（x）的表達式，然后再根據(jù)表達式的特點選擇方法求最值.

解：因為平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD且FA⊥AD，

所以FA⊥平面ABCD.

又BD⊥CD，BC=2，CD=x，

所以當x2=2時，即x=時，V（x）取得最大值，且

又0

評注：對于截面周長、面積、體積等的最值問題，常?？梢酝ㄟ^構造目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，同時注意實際問題中的自變量的取值范圍.