·江蘇省無錫市王華民名師工作室·

一堂常態(tài)課教學(xué)的“忠”與“創(chuàng)”
——以必修4“二倍角三角函數(shù)（2）”為例

筅江蘇省太湖高級中學(xué)俞培慶

筅江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心王華民

筅江蘇省太湖高級中學(xué)王國星

【問題提出】

近年來，我們聽了很多課，感覺到在“用教材教”方面有下列傾向：一是過于依賴教材，表現(xiàn)在上課的內(nèi)容，包括例題、練習(xí)均按教材的順序呈現(xiàn)，幾乎沒有什么改變；二是甩開教材，另行一套.當(dāng)然，大部分教師是介于兩者之間，對教材有一點(diǎn)改動.不少教師有一些困惑：改什么？如何改？這是本文要研究的重要內(nèi)容.

數(shù)學(xué)教材是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)專家不斷打磨而成的書籍，是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的依據(jù)，因此教學(xué)需要忠于教材、尊重教材.但數(shù)學(xué)教學(xué)若只是照本宣科，那么，一方面無法體現(xiàn)教師的教學(xué)個(gè)性與創(chuàng)造性，另一方面，學(xué)生覺得只需要看書即可.久而久之，對一批優(yōu)秀生缺乏吸引力，也難以體現(xiàn)教師的指導(dǎo)作用.因此，我們提出“既要忠于教材，又要對教材有所創(chuàng)造”的原則（以下簡稱“忠”與“創(chuàng)”）.這里的“忠”是指遵循教材的編寫意圖、思想精髓、精神實(shí)質(zhì)、整體結(jié)構(gòu)和基本素材；這里的“創(chuàng)”是指不能照搬，要有所創(chuàng)造，能順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，呈現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，注入教師的個(gè)性元素，重視和充分發(fā)揮教師的教學(xué)個(gè)性與創(chuàng)造.

【教材呈現(xiàn)】

蘇教版必修4課題“二倍角三角函數(shù)（2）”的內(nèi)容呈現(xiàn)如下：

首先教材106頁提出一道思考題：在一個(gè)圓的所有矩形中，怎樣的矩形面積最大？（見圖1）

圖1

（然后是如下的三道例題，解答從略）：

圖2

例3在半圓弧型鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取能使這個(gè)矩形的面積最大？（見圖2）

【教學(xué)簡案】

在王華民名師工作室的一

次研究課上，按照進(jìn)度，執(zhí)教的課題為“二倍角的三角函數(shù)（2）”.工作室兩位青年教師自行備課，進(jìn)行同課異構(gòu).

方案一

（一）問題情境

考考你：在半徑為R的圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取使得矩形面積最大？

溫習(xí)公式：sin2α=__________；cos2α=_________= ________=__________；tan2α=__________.

降冪公式：cos2α=__________；sin2α=__________.

（二）深化理解

例4化簡或求值.

解題收獲：

例5求函數(shù)y=sin2x+sinxcosx-1的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.

（三）拓展探究

如圖3，扇形AOB的半徑為1，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形內(nèi)接矩形，問：P在怎樣的位置時(shí)，矩形PQRS的面積最大？并求這個(gè)最大值.

（四）課堂小結(jié)

方案二

（一）基礎(chǔ)回顧

求值：（1）sin15°sin75°=________；

圖3

（二）典例分析

按教材中的例1，例2，例3.其中，例1前補(bǔ)充教材中的思考題.

（三）練習(xí)（同方案一的拓展探究）

（四）課后小結(jié)

【反饋、感悟】

透過這堂課，結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐，談一些對“用教材教”的認(rèn)識，以下側(cè)重于新授課教學(xué)，談如何找準(zhǔn)“忠”與“創(chuàng)”的平衡點(diǎn).

1.整體框架設(shè)計(jì)——找準(zhǔn)“忠”與“創(chuàng)”平衡點(diǎn)

從整體架構(gòu)上看，方案一對教材有所改編，從思考題入手，把思考題作為第一道問題解決（應(yīng)用題），再進(jìn)行變式，即教材的例3；例4的兩小題涵蓋了教材的例1、例2，改例2的證明為求值，又增加了一道例5，這道題與近年各地的高考題類似，通過降冪公式求函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.可見，方案一對教材有所創(chuàng)造，它增加了課堂的知識容量和思維容量，對學(xué)生思維訓(xùn)練有利.課堂反饋如下：第一道思考題，學(xué)生不會解答，費(fèi)時(shí)較多，例5剛結(jié)束下課鈴就響了，然后匆匆小結(jié)，拓展探究只能留課后.教學(xué)設(shè)計(jì)如何改進(jìn)？因時(shí)間超出了，只能做“減法”.其一，減少例5，雖然例5是運(yùn)用降冪公式，連接高考，比較重要，但考慮時(shí)間因素，放在單元復(fù)習(xí)課比較合適.其二，費(fèi)時(shí)多主要表現(xiàn)：（1）例1用展開和降次兩種方法求解，適度的一題多解，是培養(yǎng)發(fā)散思維的需要，不能減少；（2）對思考題的處理用時(shí)過多，需要作調(diào)整.可見，對教材的再創(chuàng)造有一定的風(fēng)險(xiǎn).

方案二尊重教材，忠于教材，大部分保留教材內(nèi)容，只有在開始增加了逆向思考的練習(xí)，把思考題放在例3前，增加了一道探究練習(xí).課堂反饋如下：課堂推進(jìn)比較順利，但教師的個(gè)性和創(chuàng)造性沒能體現(xiàn)，對學(xué)生的思維訓(xùn)練略顯不足.

教材的編寫方式通常是直接給予式，“冰冷知識”的直接呈現(xiàn)，隱去了知識形成的艱辛和知識發(fā)展的“火熱思考”，課程改革倡導(dǎo)探究式學(xué)習(xí)，因此我們進(jìn)行整體設(shè)計(jì)時(shí)，要提供素材讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程，用“火熱的思考”積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是一個(gè)學(xué)生主動“攫取”的過程，也就是“教人以漁”.這樣，教師創(chuàng)造性地將教材改編為學(xué)生追求、探索、發(fā)現(xiàn)、爭鳴、建構(gòu)、總結(jié)、應(yīng)用的科學(xué)有序的完善程序，做到變教材的“授”為學(xué)生的“取”，［1］重構(gòu)框架，整合出彩.

2.創(chuàng)設(shè)問題情境——找準(zhǔn)“忠”與“創(chuàng)”平衡點(diǎn)

方案一的課堂反饋：教師問了第一個(gè)學(xué)生，回答：連接AC，BD，在說幾個(gè)角之間的關(guān)系.教師覺得方向不明，提示學(xué)生學(xué)以致用，可以設(shè)一個(gè)角來解決，然后問了第二個(gè)學(xué)生，回答“不會”.第三個(gè)同學(xué)站起來說，連接AC，過點(diǎn)O，教師追問其理由，學(xué)生回答：圓周角所對的弦是直徑.可以設(shè)∠BCA=α，則BA=2Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面積S=BA·BC=4R2sinαcosα=2R2sin2α，最大值為2R2.當(dāng)且僅當(dāng)sinα=cosα，α=45°，此時(shí)截取的矩形為正方形，面積取得最大值.

變式反饋：不少學(xué)生能想到，連接OB，設(shè)∠BOA=α，則BA=Rsinα，BC=2Rcosα，矩形ABCD的面積S=R2sin2α.情境及變式大約11分鐘.

“考考你”的情境，是課本上的一道思考題，學(xué)生是四星級重點(diǎn)高中的一個(gè)層次較高的班級，為何還出現(xiàn)這般冷場？利用三角工具解決一些實(shí)際問題，既是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力的訓(xùn)練素材，更是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡男枰?但是通過設(shè)角建模，高一學(xué)生還是初次接觸，許多同學(xué)想不到是很正常的，不足為奇.而經(jīng)過教師富有耐心地循循善誘，才化解此冷場局面.后來的變式，學(xué)生已經(jīng)有剛才的“設(shè)角”經(jīng)驗(yàn)，能順利解決.

其實(shí)，本課設(shè)置這個(gè)問題情境，其必要性值得商榷.設(shè)置該情境，從實(shí)際問題引出，有助于學(xué)生對二倍角重要性的理解，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā).然而，一節(jié)課的初始，問題情境偏難，費(fèi)時(shí)偏多，數(shù)學(xué)探索的成本偏大了.另外，這節(jié)課是二倍角公式學(xué)習(xí)后的一節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用，作為學(xué)習(xí)的情境價(jià)值不大.

如何改進(jìn)？可以進(jìn)行如下兩種處理.處理一：這個(gè)情境如果能放在二倍角的三角函數(shù)（1）開始呈現(xiàn)，讓學(xué)生產(chǎn)生憤悱狀態(tài)，到本節(jié)課解決，可能比較合適.處理二：尊重教材，按教材的順序，先提出思考題“考考你”，思而不解，略作思考后，處理例1、例2、例3，解答后返回解決思考題，這樣問題從易到難的設(shè)置，讓學(xué)生拾級而上，學(xué)生有解決例3的經(jīng)驗(yàn)，解決此思考題也不困難.教師需要再強(qiáng)化三角應(yīng)用題的“貴在一設(shè)”（設(shè)角），不但節(jié)省時(shí)間，學(xué)生也得到了更多的思維訓(xùn)練，還使得學(xué)生增強(qiáng)了解決問題的信心.在議課時(shí)，也有老師認(rèn)為干脆把思考題與例3的順序?qū)φ{(diào)，解決更順暢.筆者覺得這是不妥的，因?yàn)閳A內(nèi)接矩形的情境比半圓內(nèi)接矩形更符合實(shí)際，情境的自然性決定了先出現(xiàn)圓內(nèi)接矩形，比較合理.

圖4

創(chuàng)設(shè)情境的根本目的是為了引發(fā)學(xué)生思考，建構(gòu)數(shù)學(xué)，無論是設(shè)置生活情境，提出問題，還是立足數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題.如何創(chuàng)設(shè)情境主要取決于所教內(nèi)容.如平面向量的基本定理，一位智慧教師創(chuàng)設(shè)下列生活情境，［2］投影圖片（如圖4）并解說：當(dāng)前朝韓局勢十分緊張，猶如箭在弦上，這枚攻擊性的火箭炮在升空的某一時(shí)刻，速度可以分解為豎直向上和水平向前的兩個(gè)分速度.提出問題：設(shè)該火箭炮發(fā)射某一刻的速度為v，其水平、豎直分速度分別為vx、vy，你能用vx、vy的式子表達(dá)v嗎？創(chuàng)設(shè)該直觀情境，有益于學(xué)生激發(fā)興趣，全神貫注投入思考.有的內(nèi)容難在抽象，可以創(chuàng)設(shè)直觀情境，如讓學(xué)生動手畫圖、實(shí)驗(yàn)等，在親歷操作中感受新知.有的內(nèi)容在一些章節(jié)的“途中”，蘊(yùn)含著一定的邏輯順序，如“二項(xiàng)式定理”，我們可以從知識的前后聯(lián)系中創(chuàng)設(shè)情境：由多項(xiàng)式法則可以知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的三個(gè)展開式，你能寫出（a+b）n的展開式嗎？這樣從數(shù)學(xué)內(nèi)部創(chuàng)設(shè)問題情境，有利于數(shù)學(xué)活動直達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì).

3.例題選編與方法小結(jié)——找準(zhǔn)“忠”與“創(chuàng)”平衡點(diǎn)

因現(xiàn)在部分學(xué)校要求學(xué)生課前有預(yù)習(xí)，課中有時(shí)也閱讀課本，如果原封不動地給出，學(xué)生會感到索然無味.為了提升教材例題、習(xí)題的教學(xué)功能，需要對課堂的例、習(xí)題進(jìn)行適度改編，有的問題要適當(dāng)變式，把握其度.

本課的例1可以作如下改編.

觀察這兩個(gè)命題，形式類似，一個(gè)為正弦，一個(gè)為余弦，稱為“對偶命題”，顯示對稱美、和諧美.

這個(gè)是課本上的問題.

例2不用改編，屬于難題，右邊有個(gè)“1”，方向尚明確.如果改成化簡，則學(xué)生沒有方向，更難下手.本例知識、方法的綜合性較強(qiáng)，既有正弦、正切兩個(gè)三角函數(shù)名，又有50°，10°兩種角，一般是通過“切”化“弦”，消除函數(shù)名的差異；通過把a(bǔ)sinα+bcosα化為一個(gè)角的形式，變?yōu)閟in40°，即cos50°，出現(xiàn)了2sin50°cos50°，可以逆用二倍角公式，得sin100°，通過互余變換，獲得解答.

從課堂反饋，兩位老師的小結(jié)尚有不足.解題教學(xué)，要遵循波利亞的解題表，解題后需要回顧反思，尋求規(guī)律，進(jìn)行小結(jié).其一，解決三角綜合問題的基本思想是消除差異，通過三角變換（角變換、名變換及升降冪變換）；其二，對于例2的關(guān)鍵點(diǎn)，形如1+tanα的模型，要適

，否則學(xué)生印象不深，效果不佳.之后再小結(jié)一下解決這類問題的基本方法是“切化弦”，然后通分化為一個(gè)角的形式，所謂解決問題的模型思想.

在新授課上，重點(diǎn)是編創(chuàng)好合理的問題鏈，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生的探索步步深入.對于這堂類似習(xí)題課上，選編、改編好典型例、習(xí)題，也是重點(diǎn)，那具有內(nèi)在聯(lián)系、層層漸進(jìn)的例題、練習(xí)題，既能鞏固知識，構(gòu)成思維訓(xùn)練問題鏈，又能提升學(xué)生解決問題的能力.另外，需要特別指出的是要理解學(xué)生.因?yàn)閷W(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有關(guān)注學(xué)情，從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，才能準(zhǔn)確把握整體框架設(shè)計(jì)、教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)及適當(dāng)選擇例題習(xí)題.如果學(xué)校的檔次比較高，班級又處于中等偏上的水平，那么在創(chuàng)編能力訓(xùn)練問題鏈時(shí)，就須適當(dāng)提高教學(xué)的密度和難度，增強(qiáng)學(xué)生的思維量；如果學(xué)生層次低，就必須降低思維要求，增強(qiáng)學(xué)生的成功感，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

不少數(shù)學(xué)教師認(rèn)為這堂三角函數(shù)常態(tài)課內(nèi)容單薄、平淡無奇，難以出新、出彩.當(dāng)同行們閱讀完本文后，會有一種不一樣的感覺，經(jīng)過我們上述分析、創(chuàng)編，平淡無奇的“家常課”竟也呈現(xiàn)出飽滿、生動、深刻的特點(diǎn).如果我們在日常的工作中，始終擁有一顆好奇心、探究心，做一個(gè)研究者，一直在路上，那么“我們在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中所做的一切就都可以變成一種高尚的享受”，提升幸福指數(shù)，在這樣的工作中永遠(yuǎn)也不會產(chǎn)生所謂的“職業(yè)倦態(tài)”.當(dāng)變式為

1.武瑞雪，黃安成.忠于教材不囿于教材［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（12）.

2.王華民，鄭寶生，阮必勝.教師“貼地”而行學(xué)生“翩翩”起舞［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（5）.F