筅貴州省銅仁市第二中學(xué)覃義超
探索在高中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)活動(dòng)中教師的地位和作用*
——以“求橢圓的離心率”為例
筅貴州省銅仁市第二中學(xué)覃義超
為了省級(jí)重點(diǎn)課題“高中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及其獲得能力培養(yǎng)的研究”(2016A028)的研究,在百年名校銅仁市第一中學(xué)舉行“銅仁市2017年高三復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)課評(píng)選活動(dòng)”中,筆者上了一節(jié)示范課——求橢圓的離心率.課堂教學(xué)模式為高考復(fù)習(xí)課中“合作學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式”的探討.
面對(duì)陌生的學(xué)生,首先調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)的氛圍、調(diào)動(dòng)合作學(xué)習(xí)情境.上課之前,筆者先自我介紹,還特別強(qiáng)調(diào)自己的姓讀qín不讀tán.全班分成六個(gè)小組,并討論確定一個(gè)響亮的小組名稱:第一小組挑戰(zhàn)者;第二小組探索者;第三小組航空母艦;第四小組探月號(hào);第五小組愛國者;第六小組放眼世界.
根據(jù)課題內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容,筆者研制了高中數(shù)學(xué)“小組合作學(xué)習(xí)”模式導(dǎo)學(xué)案,其模式如下:
學(xué)習(xí)課題:高考二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線專題系列之(一)——求橢圓的離心率.
學(xué)習(xí)類型:合作學(xué)習(xí):獨(dú)學(xué)(自主學(xué)習(xí))→對(duì)學(xué)(同桌交流)→群學(xué)(小組交流)→展示(各小組展示)→總結(jié)(匯報(bào)收獲).
學(xué)習(xí)內(nèi)容:用不同的視角求橢圓的離心率.
學(xué)習(xí)目標(biāo):(1)情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過獨(dú)自學(xué)習(xí)、同桌交流、小組內(nèi)深入探討、激勵(lì)組間展開充分辯論與展示,讓師生享受課堂、共同進(jìn)步.(2)知識(shí)與技能:會(huì)求具體題目中橢圓的離心率;從不同的視角探究橢圓的離心率.(3)能力訓(xùn)練目標(biāo):由淺入深,由顯而隱,以高考真題為載體,實(shí)現(xiàn)由已知條件得到什么?求離心率又需要什么?我們要做什么工作?(4)習(xí)慣養(yǎng)成目標(biāo):自主學(xué)習(xí);學(xué)會(huì)合作;勇于展示;完美表達(dá);大膽質(zhì)疑;合作共贏?。?)應(yīng)試重點(diǎn)目標(biāo):從題目的已知條件出發(fā),能很快找到解決問題的突破口,很好地完成解答得滿分.
圖1
例1(2014年江蘇高考17題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1、F2分別是+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連接F1C.
(2)若F1C⊥AB,求橢圓離心率e的值.
第一步:自主學(xué)習(xí).
設(shè)計(jì)意圖:通過自主學(xué)習(xí)讓學(xué)生對(duì)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容有思考、有疑惑,明白其所要學(xué)內(nèi)容.
第二步:兩人互學(xué)研討.
設(shè)計(jì)意圖:兩個(gè)人探討,互相討論學(xué)習(xí)感受,對(duì)于不太理解的問題通討論進(jìn)一步掌握.
第三步:小組合作探究.
設(shè)計(jì)意圖:通過小組探討得到最佳方法,便于代表小組展示.
第四步:組際展示.
展示的內(nèi)容與形式(請(qǐng)把本小組要展示的方法記下來);展示人員安排(記下代表本小組展示成員的姓名及其方法的優(yōu)點(diǎn));展示要求:聲音宏亮、條理分明、書寫規(guī)范.
第五步:反思提升.
自己分享給大家什么方法?自己收獲了什么方法?自己的優(yōu)勢(shì)與存在的不足、不足之處的彌補(bǔ)措施.
第六步:課外作業(yè).
(1)求C的方程.
(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
2.(2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科20題)設(shè)F1、F2分別是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
當(dāng)學(xué)生在對(duì)導(dǎo)學(xué)案上的試題思考的時(shí)候,筆者在各小組之間觀察,時(shí)而畫龍點(diǎn)睛地提醒一句兩句,啟發(fā)學(xué)生的思維能力;時(shí)而坐在學(xué)生身邊一起分析研究,探討最佳方案.討論十分激烈,思路多種多樣.
1.挑戰(zhàn)者組的蒲仁榮同學(xué)匯報(bào)了第一小組的解法
思路1:順藤摸瓜(整理后的過程).
由已知條件可寫出BF2的直線方程與橢圓方程聯(lián)立求解.因?yàn)锽(0,b),F(xiàn)2(c,0),所以直線BF2的方程為b,代入橢圓方程
因?yàn)镕1C⊥AB,所以,所以b4= 3b2c2+4c4,即(b2+c2)(b2-4c2)=0,得b=2c.由a2=b2+c2,得
2.探索者組的劉容泥同學(xué)介紹了自己的解題思路(整理后)
點(diǎn)評(píng):以上同學(xué)們充分利用了垂直這個(gè)條件.親密伙伴式,把課堂教學(xué)看作是師生平等研討問題,提出和驗(yàn)證假設(shè),參與和體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)操作,在觀察、比較、歸納、分析、綜合的思辨過程中生成問題解決方案或結(jié)論.
在自主合作學(xué)習(xí)過程中,教師往往采取的是一種督導(dǎo)性的提示,不越位代替學(xué)生孕育和產(chǎn)出“結(jié)論”,學(xué)生難產(chǎn)“結(jié)論”時(shí)老師又要及時(shí)充當(dāng)熱心的結(jié)論“助產(chǎn)婆”.
筆者在第三小組航空母艦組的國年軍同學(xué)身邊觀察時(shí),發(fā)現(xiàn)他的筆尖就在A和C兩點(diǎn)轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去,筆者說,你能不能借用A和C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等解決.幾分鐘后,他有了以下做法:聯(lián)立方程求A和C點(diǎn)的橫坐標(biāo),兩個(gè)橫坐標(biāo)相等求離心率.
因?yàn)镕1C⊥AB且直線AB的斜率,故直線的方程為
這時(shí),筆者總結(jié)說,以上的思路都要解二元二次方程組,能否避開它?第四小組探月號(hào)的李光輝同學(xué)有漂亮的解法:
思路二:避難就易.
聯(lián)立直線與橢圓方程,可直接求出A點(diǎn)坐標(biāo),然而運(yùn)算較麻煩.我們避難就易,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則C點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,-y0),繼續(xù)尋找與A相關(guān)的,點(diǎn)A在直線BF2上,所以(x0,y0)滿足bx0+cy0-bc=0,那么由點(diǎn)C在直線F1C上及F1C⊥AB,可得cx0-b(-y0)+x2=0,即cx0+by0+c2=0.當(dāng)然,點(diǎn)A還在橢圓上,有
點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足的關(guān)系還挺多!然而,要求離心率,并不需要x0,y0,只需要a,b,c的等式關(guān)系即可,因此代入橢圓方程,得
又b2=a2-c2,a2=5c2,所以
自主合作學(xué)習(xí)是依據(jù)教學(xué)中教師是主導(dǎo)、學(xué)生是主體的這一辯證原理,要求教師盡可能把課堂時(shí)間還給課堂的主體和主人——學(xué)生.
思路三:回歸起點(diǎn).
第五小組愛國者的吳捷同學(xué)有了以下思路(用相似三角形的性質(zhì)):
如圖2,設(shè)F1C與AB交于P點(diǎn),則∠F1PF2=90°,出現(xiàn)了一個(gè)直角,而以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形當(dāng)首推“焦點(diǎn)三角形”.因此,我們連接F2C,則有CF1+CF2=2a.若F1C,F(xiàn)2C可以a,b,c用來表示,那也就得到了關(guān)于a,b,c的等式.我們把目光聚焦在Rt△F1PF2上.能否通過這個(gè)直角三角形表示出F1C,CF2呢?
圖2
因?yàn)镽t△F1PF2的內(nèi)角∠F1F2P=∠OF2P,所以PF2=然而,我們只要知道是確定的,又CF2與AF2關(guān)于x軸對(duì)稱,所以F2C∥F1B,則△PF2C∽
所以CF1+CF2=由b2=a2-c2消去b,把等式平方得(a2-c2)c2=(a2-3c2)2,同時(shí)要注意等價(jià),還應(yīng)有a2-3c2>0.
這樣,從橢圓的定義出發(fā),將已知轉(zhuǎn)化到“焦點(diǎn)三角形”上,獲得了等式,在消去b的過程中,若不注意到bc= a2-3c2>0這個(gè)特征,就會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)解.代數(shù)變形時(shí)留意等價(jià)性,會(huì)省去檢驗(yàn)的煩惱.
第六小組放眼世界組的池輝同學(xué)有如下思路(用三角形函數(shù)的知識(shí)):
如圖3,設(shè)∠CF1F2=θ,則
所以∠BF2C=2θ,則∠F1CF2=-2θ,且sinθ=sin∠OBF=,2cosθ=.
圖3
在△CF1F2中,由正弦定理知
因?yàn)閨CF1|+|CF2|=2a,所以,所以,因?yàn)閎=2c,所以
在自主合作學(xué)習(xí)中,教師是否善于對(duì)小組團(tuán)隊(duì)進(jìn)行科學(xué)合理評(píng)價(jià),不但是一個(gè)理論問題,而且是一個(gè)亟待完善的實(shí)踐問題,這也檢驗(yàn)著教師在自主合作學(xué)習(xí)模式中是否完成了真正意義上的轉(zhuǎn)型.筆者在充分肯定以上同學(xué)的聰明才智的時(shí)候.第一小組的李萬奎同學(xué)又有了新思路:用橢圓離心率的定義.
由此可見,一個(gè)垂直條件實(shí)現(xiàn)了“特征三角形BOF2”與“焦點(diǎn)三角形F1CF2”之間很好的溝通.“邊→角→邊”的兩度轉(zhuǎn)化自然而然,一氣呵成,順理成章!
反思:在小組合作學(xué)習(xí)過程中,教師首先應(yīng)是自主合作學(xué)習(xí)寬松情境、良好氛圍的營造者.第二,教師應(yīng)是自主合作學(xué)習(xí)各小組成員的平等的親密戰(zhàn)友.第三,教師應(yīng)是自主合作學(xué)習(xí)的溫馨、友善的督導(dǎo)者.第四,教師應(yīng)是自主合作學(xué)習(xí)的積極態(tài)度的調(diào)控者.第五,教師應(yīng)是自主合作學(xué)習(xí)的積極向上激勵(lì)性的評(píng)價(jià)者.
附課外作業(yè)解答:
(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2, y2),M(xM,yM).+=1+1+4kbx+2b-8=
將y=kx+b代入,得(2k2)x220.
所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
(2)由三角形中位線知識(shí)可知MF2=2×2,即=4.
設(shè)F1N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,-c.由焦半徑公式可得MF1=a+ec,NF1=a+e△-c2,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+ c2.聯(lián)立解得a=7
*本文系省級(jí)重點(diǎn)課題“高中數(shù)學(xué)合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及其獲得能力培養(yǎng)的研究”(課題編號(hào):2016A028)的階段性成果.