謝丹，賴夢恬，蹇開林

(重慶大學 航空航天學院，重慶 400044)

基于EFG法的可伸縮梁結構動力學分析

謝丹，賴夢恬，蹇開林

(重慶大學 航空航天學院，重慶 400044)

傳統(tǒng)有限元法在處理時變邊界、時變系數(shù)的軸向可伸縮梁時需要不斷改變單元尺寸或單元數(shù)目，不利于程序化且計算精度無法保證?；趶V義移動最小二乘(GMLS)，采用不受單元限制的全域插值EFG法對柔性梁的變形場進行空間離散，根據(jù)哈密爾頓變分原理得到軸向可伸縮梁橫向振動的無單元動力學離散方程；采用數(shù)值算例分析可伸縮梁的橫向振動頻率、各種軸向運動規(guī)律下梁末端的自由振動響應以及強迫振動響應。結果表明：全域插值EFG法可用于時變參數(shù)結構的動力學分析。

時變系統(tǒng)；伸縮梁；數(shù)值分析；EFG法；結構動力學

0 引 言

航空航天器上的柔性附件(例如各種天線、伸縮變形機翼、柔性太陽帆板等)，其伸展過程的動力學特性一直備受關注。柔性結構處于大范圍軸向運動下通常會誘發(fā)橫向振動，具有時變邊界、時變系數(shù)的軸向可伸縮梁是典型的柔性附件模型，其做大范圍運動時動力響應的數(shù)值分析是航天器動力學研究中的重要內容。例如，M.Stylianou等[1]對軸向運動梁進行了有限元分析；馮志華等[2]研究了直線運動梁在組合參數(shù)共振及內共振聯(lián)合激勵下的非線性動力學行為；楊曉東等[3]引入粘彈性本構關系，分析了變速軸向運動梁的動態(tài)穩(wěn)定性問題；J.R.Chang等[4]將Rayleigh梁模型與Euler梁模型進行了對比分析；黃建亮等[5]在模型中考慮了縱向變形的影響，研究了縱橫耦合下梁的非線性振動。

目前，關于此類柔性結構動力學問題的數(shù)值求解，現(xiàn)有的研究大都基于修正伽遼金法[6]、假設模態(tài)法[7]、變單元長度或數(shù)目的有限元法[8]、以及采用有限元“節(jié)點生死”思想[9]處理邊界條件等。然而，修正伽遼金法或假設模態(tài)法僅適用于簡單且形狀規(guī)則的結構，而傳統(tǒng)有限元在處理時變邊界的軸向可伸縮梁時，需要不斷改變單元尺寸或單元數(shù)目，不利于程序化、計算精度也無法保證。

近年來，無網(wǎng)格法以其獨特的優(yōu)勢得到了國內外各領域的廣泛研究。該方法通過一組無需事先定義、散布在問題域及邊界上的節(jié)點表示問題域及邊界，用場節(jié)點構造近似的總體函數(shù)，可以徹底或部分消除網(wǎng)格，在處理可變邊界時具有很大優(yōu)勢。T.Sonar[10]和G.R.Liu[11]分別對無網(wǎng)格法的相關研究進展進行了較為詳細的綜述。在眾多無網(wǎng)格法中，T.Belytschko等[12]提出的基于移動最小二乘(MLS)的EFG法以其高精度及簡明的變換關系得到了廣泛的研究與應用。T.Belytschko等[13]還利用EFG法研究了結構的斷裂問題；J.Dolbow等[14]詳細介紹了EFG法的計算流程及相關子程序；M.Hajiazizi等[15]采用EFG法進行了結構彈塑性分析，并與傳統(tǒng)有限元及有限差分法進行了對比。然而，采用MLS的傳統(tǒng)EFG法由于形函數(shù)不滿足插值特性，邊界條件難以施加。針對該問題，J.S.Chen等[16]在重構核近似中通過變換法得到具有插值特性的形函數(shù)；D.Garijo等[17]則通過變換法得到具有插值特性的IMLS形函數(shù)，但導數(shù)邊界的施加仍很困難；D.Xie等[18]進一步采用廣義移動最小二乘(GMLS)，得到具有全域插值特性的IGMLS形函數(shù)，并將其用于具有導數(shù)邊界的梁、板結構的動力學分析。

本文將具有全域插值特性的IGMLS形函數(shù)用于時變參數(shù)梁的空間離散，通過哈密爾頓原理得到可伸縮梁橫向振動的無單元離散方程，在此基礎上對可伸縮梁的橫向振動頻率特性以及各種軸向運動規(guī)律下梁的自由振動及強迫振動響應進行數(shù)值計算。

1 可伸縮梁橫向振動控制方程

采用不考慮剪切變形和轉動慣量的歐拉梁(細長梁)模型，梁的體積密度為ρ，橫截面積為A，彈性模量為E，橫截面慣性矩為I。可伸縮懸臂梁模型如圖1所示，取剛性滑槽端部為坐標原點建立固定坐標系xOy。

(1)

則梁中線上距離坐標原點x處的橫向位移為w[x(t),l(t),t]。

僅考慮橫向振動，系統(tǒng)的動能為

(2)

根據(jù)線彈性應力應變關系，系統(tǒng)勢能為

(3)

橫向外力做功為

(4)

(5)

式中：

邊界條件為

(6)

2 EFG法動力學離散方程

2.1 全域插值廣義移動最小二乘

(7)

(8)

(9)

式中：Λ為轉換矩陣。

將式(7)～式(8)代入式(5)，得到基于真實節(jié)點位移的全域插值形函數(shù)：

(10)

由此可得，梁的IGMLS形函數(shù)及其一階導數(shù)的表達式為

(11)

梁中間節(jié)點的IGMLS形函數(shù)曲線如圖2所示。

2.2 動力學離散方程

定義變量ξ(t)=x(t)/l(t)，由此，變量x的時變域[0,l(t)]便可轉化為相對ξ的固定域[0,1]。根據(jù)EFG法形函數(shù)的推導，梁橫向變形的離散表達式為

(12)

式中：N(ξ)∈R1×2N為橫向位移的IGMLS形函數(shù)；q(t)∈R2N為由撓度與轉角組成的節(jié)點坐標列向量。

(13)

根據(jù)式(11)，可知：

(14)

(15)

(16)

K(t)=Ke(t)+Kv(t)+Ka(t)+Kp(t)

(17)

(18)

(19)

3 數(shù)值算例

為了驗證EFG法離散模型的合理性，數(shù)值分析中的模型參數(shù)采用已被其他方法或實驗驗證過的參數(shù)。梁的基本參數(shù)：初始長度l0=1.8m，橫截面積A=1.466 1×10-3m2，材料密度ρ=2.738 6×103kg/m3，彈性模量E=6.833 5×1010Pa，橫截面慣性矩I=1.107 3×10-8m4。

3.1 橫向振動頻率分析

(20)

(21)

當沒有軸向運動時，該模型為普通懸臂梁，經計算，在初始長度下其一、二階固有頻率分別為14.90rad/s(2.37Hz)、93.36rad/s(14.86Hz)。當存在軸向運動時，由于梁長度的改變將不存在固有頻率與振型，以下研究梁以v0=0.3m/s勻速伸展時的頻率特性。

用21個節(jié)點離散梁結構，影響域因子取2.5，采用四點高斯積分。一、二階頻率的時變曲線如圖3所示。

從圖3可以看出：初始時刻與理論解吻合，隨著時間的推移，梁的長度不斷加長，頻率也呈遞減趨勢。

[0,1]空間下一階振型分別在0、5、10、15和20s時刻的曲線如圖4所示。

從圖4可以看出：振型的時變性主要體現(xiàn)在變形程度上，且伸展梁的瞬時頻率、瞬時振型分別為相應時刻下伸展長度的懸臂梁的固有頻率、固有振型。

3.2 各種運動規(guī)律下的自由振動

(1) 勻速伸展：l0=1.8m，v0=0.3m/s。勻速伸展時梁末端的位移響應曲線如圖5所示。

從圖5可以看出：振動振幅逐漸增大，頻率減小，計算結果與文獻[8]吻合。

(2) 勻速收縮：l0=1.8m，v0=-0.3m/s。勻速收縮時梁末端的位移響應如圖6所示。

從圖6可以看出：收縮時振幅逐漸減小，頻率卻增大。

通過與圖5進行對比，可以看出：在相同時間內，加速度的作用明顯加快了梁的伸展運動，符合實際情況。

通過與圖6進行對比，可以看出：在相同時間內，加速度的作用明顯加快了梁的收縮運動。

從圖9可以看出：梁在伸展過程中做頻率減小、振幅逐漸增大的橫向振動；到5s時，幅值達到最大，此時梁由伸展開始收縮，振幅逐漸減小、振動頻率則逐漸增大。

從圖10可以看出：與圖9的情況正好相反，梁先做振幅逐漸減小、振動頻率逐漸增大的橫向振動；到5s時，幅值達到最小，此時梁由收縮開始伸展，頻率減小、振幅則逐漸增大。

(7) 伸縮運動：l(t)=l0+sin(0.6t)，l0=4m。伸縮運動時梁末端的位移響應如圖11所示。

從圖11可以看出：由于梁在正弦運動規(guī)律下做周期性的伸展收縮運動，梁的橫向振動也呈周期性變化。

(8) 不同速度下的勻速伸展運動：l0=1.8m，v0分別為0.3、0.5和0.8m/s。不同速度下伸展時梁末端的位移響應如圖12所示，可以看出：伸展速度越大，振幅增大越快。

3.3 強迫振動響應

假設梁上作用有均布外載荷f(x,t)=0.5sin(10t)N，梁的激勵頻率為10rad/s，梁末端的響應如圖13所示。

從圖13可以看出：時變伸縮梁在強迫振動下并沒有像傳統(tǒng)結構動力學中出現(xiàn)明顯的共振區(qū)，根據(jù)梁的瞬時頻率曲線(圖3)，梁在20s內經歷了兩次共振，第一次共振出現(xiàn)在1.3s左右，激勵頻率接近結構的一階瞬時頻率；第二次共振出現(xiàn)在12.3s左右，激勵頻率接近結構的二階瞬時頻率。

4 結 論

(1) 在處理時變邊界結構時，基于全域點插值的EFG法克服了常規(guī)有限元法的不足，且位移及導數(shù)邊界條件均可像常規(guī)有限元法一樣直接施加。

(2) 可伸縮梁頻率域振型的時變性源于軸向運動引起的梁長度的改變。梁伸展時振動振幅逐漸增大且頻率減小，伸展速度越大振幅增大越快；收縮時振幅減小、頻率增大。數(shù)值計算結果與現(xiàn)有研究結論相吻合，驗證了EFG法用于更復雜時變參數(shù)連續(xù)結構動力學分析的可行性。

[1]StylianouM,TabarrokB.Finiteelementanalysisofanaxiallymovingbeam,partⅠ-timeintegration[J].JournalofSoundandVibration, 1994, 178(4): 433-453.

[2] 馮志華, 胡海巖. 直線運動柔性梁非線性動力學——組合參數(shù)共振與內共振聯(lián)合激勵[J]. 振動工程學報, 2004, 17(3): 253-257.FengZhihua,HuHaiyan.Nonlineardynamicsofflexiblebeamsundergoingalargelinearmotionofbasement:combinationalparametricandinternalresonances[J].JournalofVibrationEngineering, 2004, 17(3): 253-257.(inChinese)

[3] 楊曉東, 陳立群. 變速度軸向運動粘彈性梁的動態(tài)穩(wěn)定性[J]. 應用數(shù)學與力學, 2005, 26(8): 905-910.YangXiaodong,ChenLiqun.Dynamicstabilityofaxiallymovingviscoelasticbeamswithpulsatingspeed[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2005, 26(8): 905-910.(inChinese)

[4]ChangJR,LinWJ,HuangCJ,etal.VibrationandstabilityofanaxiallymovingRayleighbeam[J].AppliedMathematicalModelling, 2010, 34(6): 1482-1497.

[5] 黃建亮, 陳樹輝. 縱向與橫向振動耦合作用下軸向運動梁的非線性振動研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(8): 24-27.HuangJianliang,ChenShuhui.Studyonnonlinearvibrationofanaxiallymovingbeamwithcoupledtransverseandlongitudinalmotions[J].JournalofVibrationandShock, 2011, 30(8): 24-27.(inChinese)

[6]WangLH,HuZD,ZhongZ,etal.Hamiltoniandynamicanalysisofanaxiallytranslatingbeamfeaturingtime-variantvelocity[J].ActaMechanica, 2009, 206(3): 149-161.

[7] 趙亮, 胡振東. 軸向運動功能梯度懸臂梁動力學分析[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(2): 124-128.ZhaoLiang,HuZhendong.Dynamicanalysisofanaxiallytranslatingfunctionallygradedcantileverbeam[J].JournalofVibrationandShock, 2016, 35(2): 124-128.(inChinese)

[8]Al-BedoorBO,KhuliefYA.Finiteelementdynamicmodelingofatranslatingandrotatingflexiblelink[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 1996, 131(1/2): 173-189.

[9] 羅炳華, 高躍飛, 劉榮華, 等. 軸向運動梁受移動載荷作用的橫向動力響應[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(12): 59-63.LuoBinghua,GaoYuefei,LiuRonghua,etal.Lateraldynamicresponseofanaxiallymovingbeamunderamovingload[J].JournalofVibrationandShock, 2011, 30(12): 59-63.(inChinese)

[10]SonarT.Meshlessmethods:anoverviewandrecentdevelopments[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2005, 139(1-4): 3-47.

[11]LiuGR.Anoverviewonmeshfreemethods:forcomputationalsolidmechanics[J].InternationalJournalofComputationalMethods, 2016, 13(5): 41-42.

[12]BelytschkoT,LuYY,GuL.Element-freeGalerkinmethods[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering, 1994, 37(2): 229-256.

[13]BelytschkoT,LuYY,GuL,etal.Element-freeGalerkinmethodsforstaticanddynamicfracture[J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 1995, 32(17/18): 2547-2570.

[14]DolbowJ,BelytschkoT.AnintroductiontoprogrammingthemeshlesselementfreeGalerkinmethod[J].ArchivesofComputationalMethodsinEngineering, 1998, 5(3): 207-241.

[15]HajiaziziM,BastanP.TheelastoplasticanalysisofatunnelusingtheEFGmethod:acomparisonoftheEFGMwithFEMandFDM[J].AppliedMathematicsandComputation, 2014, 234: 82-113.

[16]ChenJS,PanC,WuCT,etal.Reproducingkernelparticlemethodsforlargedeformationanalysisofnon-linearstructures[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 1996, 139(1-4): 195-227.

[17]GarijoD,ValenciaF,Gómez-EscalonillaFJ.GlobalinterpolatingMLSshapefunctionsforstructuralproblemswithdiscretenodalessentialboundaryconditions[J].ActaMechanica,2015, 226(7): 2255-2276.

[18]XieD,JianKL,WenWB.Globalinterpolatingmeshlessshapefunctionbasedongeneralizedmovingleast-squareforstructuraldynamicanalysis[J].AppliedMathematicsandMechanics(EnglishEdition), 2016, 37(9): 1153-1176.

(編輯：馬文靜)

Dynamic Analysis of an Axially Deploying or Retracting Flexible Beam Based on the EFG Method

Xie Dan, Lai Mengtian, Jian Kailin

(College of Aerospace Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Dealing with the time-varying parameter system of an axially deploying or retracting flexible beam in the traditional FEM, it is necessary to change the element size and numbers constantly, which is not suitable for programming and cannot ensure the computational accuracy. Based on the generalized moving least squares(GMLS), an improved global interpolating element-free Galerkin(EFG) method is applied to dynamics analysis of an axially deploying or retracting flexible beam. The element-free transverse vibration equations are built according to the Hamilton principle. The frequency characteristics, free vibration with different axially motion and the forced vibration response of the beam are calculated in numerical examples. By comparing with the reported available results, the feasibility of the EFG method applied for the time-varying parameter systems is verified.

the time-varying parameter system; the deploying and retracting beam; numerical analysis; element-free Galerkin(EFG) method; structure dynamics

2016-12-14；

2017-03-27

國家自然科學基金和中國工程物理研究院聯(lián)合 基金(11176035)

蹇開林,cqjian@cqu.edu.cn

1674-8190(2017)02-135-08

O313.7

A

10.16615/j.cnki.1674-8190.2017.02.004

謝 丹(1987-)，女，博士研究生。主要研究方向：結構動力學、多體系統(tǒng)動力學、數(shù)值計算方法。

賴夢恬(1992-)，男，碩士研究生。主要研究方向：結構動力學、結構振動與控制。

蹇開林(1965-)，男，教授，博導。主要研究方向：結構動力學、多體系統(tǒng)動力學、結構振動與控制、結構動力優(yōu)化、流固耦合等。