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        從求導(dǎo)到不定積分的解法

        2017-06-11 00:33:49孟湘皓
        新教育時(shí)代·教師版 2017年38期
        關(guān)鍵詞:逆運(yùn)算原函數(shù)積分法

        孟湘皓

        摘 要:積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,而求不定積分的過(guò)程可以理解為已知一個(gè)導(dǎo)函數(shù),去求它的一個(gè)原函數(shù)的過(guò)程。然而,當(dāng)面對(duì)一道積分運(yùn)算題時(shí),我們常常會(huì)感到無(wú)從下手。本文簡(jiǎn)單地介紹了四種不定積分的解法以及一些解題的注意事項(xiàng)。

        關(guān)鍵詞:不定積分 解法

        一、不定積分

        積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,而求不定積分的過(guò)程可以理解為已知一個(gè)導(dǎo)函數(shù),去求它的原函數(shù)的過(guò)程。這里的原函數(shù)只要存在一個(gè),就一定存在著無(wú)數(shù)個(gè),這是由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,加減一個(gè)常數(shù)對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不造成影響,因此我們稱這樣的積分為不定積分。

        雖然積分與求導(dǎo)是逆運(yùn)算的關(guān)系,但是求導(dǎo)相對(duì)來(lái)說(shuō)要容易得多,無(wú)論是多復(fù)雜的式子,我們都能按照求導(dǎo)的法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算。然而碰到復(fù)雜的積分時(shí),我們卻常常無(wú)從下手。就跟很多事物一樣,正過(guò)程容易,逆過(guò)程就很難。

        二、不定積分的解法

        雖然不定積分的計(jì)算相對(duì)來(lái)說(shuō)比較有難度,但是一般來(lái)說(shuō),有四種方法能夠解決不定積分的計(jì)算。

        1.直接公式法

        不定積分的直接公式法與求導(dǎo)的直接公式法相對(duì)應(yīng),這種方法解決的是最基本的積分問(wèn)題。這里我們將給出基本積分表中的一部分,由于加減一個(gè)常數(shù),對(duì)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)沒(méi)有影響,因此不定積分的計(jì)算后都會(huì)有一項(xiàng)C,這里的C為常數(shù)。

        2.第一類換元法

        不定積分中的換元法是根據(jù)求導(dǎo)法則中的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則衍生而來(lái)的。首先我們來(lái)看一下復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,,運(yùn)用微分的方式來(lái)看就是

        而在不定積分中,由于,因而我們可以得到的結(jié)論,我們由此得到了第一類換元法的公式:

        總結(jié)而言,第一類換元法就是先找到積分式中比較復(fù)雜、不好處理的f(x),令u=f(x),通過(guò)觀察對(duì)dx進(jìn)行配湊,使dx·配湊項(xiàng)=du,同時(shí)使d前的積分式能寫(xiě)成易于求積分的f(u)的形式,求出u來(lái)再代回x。

        3.第二類換元法

        第二類換元法與第一類換元法的區(qū)別在于,第一類換元法運(yùn)用x的函數(shù)u(x)來(lái)進(jìn)行換元變換,而第二類換元法是將x視為t的函數(shù)x(t)來(lái)進(jìn)行換元變換,由此我們得到了第二類換元法的公式:

        直觀地從公式來(lái)看,我們會(huì)認(rèn)為第二類換元法運(yùn)用起來(lái)比第一類換元法容易,但是從應(yīng)用上來(lái)講,第二類換元法主要應(yīng)用于含有根式的不定積分。

        下面我們將通過(guò)實(shí)例來(lái)對(duì)兩類換元法進(jìn)行講解區(qū)分。

        針對(duì)于我們能發(fā)現(xiàn)我們不能直接運(yùn)用公式法將其計(jì)算出來(lái),這個(gè)題目有多種解法,首先,我們可以通過(guò)三角變換,將原式變形,然后再通過(guò)換元u=2x便能得到結(jié)果,

        其次,我們可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),在被積式中,sinx與cosx存在著一定的關(guān)系,即sinx與cosx有原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系,因而我們可以通過(guò)換元u=sinx進(jìn)行變換或者v=cosx進(jìn)行變換,進(jìn)而得到結(jié)果,

        這三種解法都用到的是第一類換元法,得到的結(jié)果乍一看不相同,但是進(jìn)行三角變換以及加上一個(gè)常數(shù)之后,三個(gè)解是一樣的。在這個(gè)不定積分中,運(yùn)用第二類換元法就會(huì)使得整個(gè)積分式更為復(fù)雜,不如使用第一類換元法來(lái)得方便。

        而在根式不定積分中,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)第二類換元法更為實(shí)用便捷。例如在不定積分中,我們就很難想象第一類換元法該令u為什么,但是在第二類換元法中,我們就可以令,運(yùn)用t積分,最后再用代入得到結(jié)果,

        不同的題,可以選擇不同的三角代換,若是根號(hào)下,自然用x=asint進(jìn)行求解。而若是根號(hào)下,則通過(guò)聯(lián)想,設(shè)x=atanx。掌握了這種方法,根式中含的題目便可迎刃而解了。

        4.分部積分法

        分部積分法來(lái)源于求導(dǎo)法則中的:

        ,對(duì)此式進(jìn)行積分就有,故而可以得到分部積分的公式:。換言之,就是。

        分部積分法能夠解決很多不能由以上其他三種積分法所解決的問(wèn)題。

        例如在積分式中,我們無(wú)法找到第一類換元法中的u(x),也無(wú)法找到第二類換元法中的x(t)。但是,我們可以巧妙地運(yùn)用分部積分法,解決此類積分問(wèn)題,在分部積分中,我們令,就能夠得到,

        分部積分法是建立在公式法和換元法之上的,往往一道復(fù)雜一點(diǎn)的積分題是需要先用分部積分法然后再用換元法才能解決。

        結(jié)語(yǔ)

        不定積分的基本解法共四種,從基本的公式法到復(fù)雜的換元法和分部積分法,都與導(dǎo)數(shù)中的求導(dǎo)法則息息相關(guān)。由于積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,相對(duì)來(lái)說(shuō),積分比求導(dǎo)要復(fù)雜得多,但是,正所謂觸類旁通,只要掌握了本質(zhì),這些問(wèn)題都能夠游刃有余地得到解決。

        參考文獻(xiàn)

        [1] 伍勝健.《數(shù)學(xué)分析》(第一冊(cè)). 北京大學(xué)出版社,2009:241-259.

        [2] 郭鵬云等. 不定積分解法研究[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2012, 28(3):149-153.

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