鄭思蘋

一、前言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，我國在教學(xué)的過程中越來越重視教學(xué)的思想方法和思維方式在教學(xué)中的應(yīng)用研究。而又因?yàn)楦怕收撌俏覈鴶?shù)學(xué)課程中應(yīng)用性相對較強(qiáng)的一門課程，并且是成人高考數(shù)學(xué)以及高職高考數(shù)學(xué)中必不可少的內(nèi)容，因此傳統(tǒng)的教學(xué)方法或者是教學(xué)思想已經(jīng)不能適應(yīng)我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的培養(yǎng)模式。在這種情況下，不少學(xué)者開始關(guān)注數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)過程中的應(yīng)用，因?yàn)檫@不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣，而且還會(huì)將抽象的問題具體化，從而優(yōu)化概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)效果。因此，本文的研究重點(diǎn)就是分析數(shù)學(xué)模型在我國概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中的實(shí)際應(yīng)用和現(xiàn)實(shí)意義，并加強(qiáng)對提升數(shù)學(xué)模型這種教學(xué)模式在概率教學(xué)過程中的比重的策略研究，為最大限度地提升概率教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量提供支持。

二、數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵

實(shí)際上，目前還沒有專門的組織或者是學(xué)者對數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵進(jìn)行統(tǒng)一的規(guī)定，因此數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵在不同的國家和不同的學(xué)者眼中都是不一樣的。本文所提出的數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵主要為：它是“運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型”。從這個(gè)定義中我們就可以知道，數(shù)學(xué)模型就是通過建構(gòu)某種模型的形式，將生活中的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)工具聯(lián)系起來的一種溝通性工具。數(shù)學(xué)模型將所有的問題都?xì)w結(jié)為某種形式的數(shù)學(xué)問題，因此其實(shí)質(zhì)上就是某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式，只不過有時(shí)候它的表現(xiàn)形式是多種多樣的，如圖表、等式及不等式等。

在了解了數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，我們還要掌握數(shù)學(xué)模型的分類，以便我們在面對不同的實(shí)際問題時(shí)，可以選擇合適的數(shù)學(xué)模型處理問題。其實(shí)，按照不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分的話，數(shù)學(xué)模型可以分為不同的種類。在這里，我們簡單地介紹數(shù)學(xué)模型的幾種常用類型。按照數(shù)學(xué)模型中系統(tǒng)各量之間關(guān)系是否會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，我們可以將數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型就是指系統(tǒng)各量之間的關(guān)系不會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型則相反。按照數(shù)學(xué)模型中變量間的關(guān)系確定與否，我們可以將數(shù)學(xué)模型分為隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型和確定性數(shù)學(xué)模型。隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型就是指變量間的關(guān)系是不確定的，確定性數(shù)學(xué)模型變量間的關(guān)系則是確定的。此外，還有連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型和離散時(shí)間數(shù)學(xué)模型、參數(shù)數(shù)學(xué)模型與非參數(shù)數(shù)學(xué)模型等等。但是，需要注意的問題是，我們必須要掌握如何建模，這樣才有利于我們用數(shù)學(xué)模型的方式來解決實(shí)際生活中存在的難題。在解決不同的問題的時(shí)候，建立的數(shù)學(xué)模型可能都是不同的，但是基本的建模步驟還是相似的，即準(zhǔn)備建模階段——假設(shè)模型階段——構(gòu)建模型階段——求解模型階段——分析模型階段——驗(yàn)證模型階段——應(yīng)用模型階段。

綜上所述，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是要人們對現(xiàn)實(shí)中存在的問題進(jìn)行一定的觀察和反思，再利用其掌握的數(shù)學(xué)知識，抽象出來一個(gè)數(shù)學(xué)模型，從而用于解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)技術(shù)。

三、數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中應(yīng)用的必要性

通過上面對數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵的分析，我們已經(jīng)掌握到數(shù)學(xué)模型對我們解決現(xiàn)實(shí)中存在的問題有著重要的理論意義和實(shí)踐意義。而由于概率本身的研究對象就是隨機(jī)事件，再加上我國概率教學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀，因此將數(shù)學(xué)模型的教學(xué)思想融入到概率教學(xué)中，就有著很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

（一）概率教學(xué)的現(xiàn)狀

通過對概率教學(xué)的現(xiàn)狀進(jìn)行一定的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，雖然我國在概率教學(xué)中不斷提倡教學(xué)模式和教學(xué)思想的變革，但是在具體的落實(shí)過程中，還存在著落實(shí)不到位的現(xiàn)象。此外，由于傳統(tǒng)的應(yīng)試教育體制的影響，教師和學(xué)生對概率教學(xué)的認(rèn)知和重視程度上還存在著一定的問題，最終導(dǎo)致我國概率教學(xué)的教學(xué)效果不佳。下面我們將具體從三方面分析我國概率教學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀。

1.學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情不夠高

通過一定的調(diào)查以及筆者多年的實(shí)踐教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)概率時(shí)的積極性不夠。這主要是因?yàn)椋旱谝?，教師教學(xué)方式單一，學(xué)生感覺數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味。與其他課程相比，數(shù)學(xué)課本來就是邏輯性、思維性、抽象性相對較強(qiáng)的學(xué)科，再加上教師一般采用的是“填鴨式教學(xué)”的教學(xué)方式，在這種情形下，學(xué)生難免會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)的心理；第二，教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的日常生活聯(lián)系不緊密。通常情況下，教師在進(jìn)行概率教學(xué)時(shí)，選擇的例子都是課本上的例子，而這些例子有時(shí)候和學(xué)生的日常生活是沒有聯(lián)系的。這樣一來，學(xué)生的關(guān)注度和興趣度就會(huì)從認(rèn)真聽課轉(zhuǎn)移到其他內(nèi)容上；第三，現(xiàn)代化技術(shù)運(yùn)用程度不夠。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在學(xué)生更多地接觸到了現(xiàn)代化的技術(shù)。這也就是說，他們的注意力更容易被那些動(dòng)態(tài)的畫面所吸引，可是不少教師還是采用板書的教學(xué)形式，這樣學(xué)生很難將注意力集中在教師的教學(xué)內(nèi)容上。

2.教師的綜合素養(yǎng)不夠高

第一，教師的教育理念的影響。受到傳統(tǒng)的教育體制的影響，教師在實(shí)際的教學(xué)過程中，也往往將目光關(guān)注到學(xué)生的學(xué)習(xí)成績上，因此容易在教學(xué)過程中出現(xiàn)急功近利的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)重理論、輕實(shí)踐或者是迷信題海戰(zhàn)術(shù)等思想的影響，更多地在課堂中教授的內(nèi)容就是解題的套路或者是應(yīng)對策略，而不重視數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)過程中的應(yīng)用。第二，教師教學(xué)設(shè)計(jì)的不合理。由于概率在考試中所占比重較低，因此教師安排在概率教學(xué)上的課時(shí)是非常有限的，這樣一方面會(huì)給學(xué)生概率不重要的誤導(dǎo)，另一方面由于學(xué)生學(xué)習(xí)概率的時(shí)間較短，必然對概率相關(guān)的知識掌握不牢固。第三，教師思維僵化的影響。教師在實(shí)際教學(xué)過程中，一般是按照自己的教學(xué)理念或者是教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)，因此對什么樣的教學(xué)理念或者是教學(xué)方式才是適合學(xué)生的可能并不是特別了解，這對教師的實(shí)際教學(xué)效果也有著很大的影響。

3.概率教學(xué)效果不理想

在學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情不夠高和教師的綜合素養(yǎng)不夠高的情況下，概率實(shí)際教學(xué)的教學(xué)效果必然就會(huì)不理想。因?yàn)?，良好的教學(xué)效果不僅僅是需要教師能夠樹立正確的教育思想或者是教育理念，從而采取相對更能提高教學(xué)效果的教學(xué)手段或者是教學(xué)模式，更重要的是學(xué)生對教師所講授的內(nèi)容感興趣，因?yàn)椤芭d趣才是最好的老師”。當(dāng)學(xué)生對某一件事情或者是教師講授的內(nèi)容感興趣的時(shí)候，無論這個(gè)內(nèi)容是容易學(xué)還是不容易學(xué)，他們都會(huì)積極對這個(gè)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，甚至可能會(huì)犧牲業(yè)余休息的時(shí)間，更不用說課堂上的學(xué)習(xí)時(shí)間了。這樣的話，他們對這項(xiàng)內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果就是十分明顯的，教師的教學(xué)效果也就體現(xiàn)出來的。反之，則相反。

數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的應(yīng)用研究

（二）數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)意義

通過上面對數(shù)學(xué)模型和概率教學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行一定的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，由于概率教學(xué)本身就是一件十分抽象的教學(xué)，因此將抽象而簡潔的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到概率教學(xué)的過程中，可以在很大程度上將抽象的問題具體化，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最終提升概率教學(xué)的教學(xué)效果。

1.有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

我們知道，雖然概率統(tǒng)計(jì)在數(shù)學(xué)課本中所占的比重不大，但是其內(nèi)容對我們解決實(shí)際的生活問題有著十分重要的意義。所以說，加強(qiáng)對概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)就有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。但是由于教師的教學(xué)方式和教學(xué)手段，因此提不起學(xué)生對學(xué)習(xí)概率的積極性。但是，通過將相對簡潔的數(shù)學(xué)模型融入到概率教學(xué)的教學(xué)過程中，容易讓學(xué)生比較直觀地接觸到概率統(tǒng)計(jì)的知識，這樣一方面有利于調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣，另一方面對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績也是有益的。

2.將抽象的問題具體化

在上面我們分析數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵中，我們知道，數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)字、字母或者是其他形式將抽象的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行相對直觀、明晰的表達(dá)。具體到概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容中，我們可以用數(shù)學(xué)模型將原有的相對抽象的概率內(nèi)容進(jìn)行直觀的表達(dá)，加強(qiáng)學(xué)生對概率統(tǒng)計(jì)這種抽象理論知識的形象性的了解，從而將抽象的問題具體化，提高教師概率教學(xué)的教學(xué)效果和學(xué)生概率學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效果。

3.優(yōu)化教學(xué)效果

教師將數(shù)學(xué)模型融入到概率教學(xué)的教學(xué)過程中，不僅有利于增加學(xué)生對概率學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)興趣，而且在一定程度上還會(huì)優(yōu)化概率的教學(xué)效果。因?yàn)椋覀冊趯處熯M(jìn)行教學(xué)評價(jià)的時(shí)候，不僅是對教師的教學(xué)效果進(jìn)行評價(jià)，而且也會(huì)對教師的教學(xué)行為或者是教學(xué)過程進(jìn)行評價(jià)。而將數(shù)學(xué)模型融入到概率教學(xué)的教學(xué)過程中，不僅表明了教師的教學(xué)模式發(fā)生了一定的變化，而且還說明教師的教學(xué)理念發(fā)生了變化。長此以往，教學(xué)效果的進(jìn)一步優(yōu)化就成為必然。

四、數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

上面我們分析了數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的實(shí)際意義，認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型對提升概率教學(xué)的實(shí)際教學(xué)效果很有必要。下面我們將通過具體的案例來對數(shù)學(xué)模型是如何在概率教學(xué)中起到作用的進(jìn)行一定的分析，使我們更加清晰地認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型對概率教學(xué)的意義。

（一）會(huì)面問題

假設(shè)胡同學(xué)和李同學(xué)約定在圖書館于10：00-12：00見面，先到達(dá)的人在等30min后就可以離去。假設(shè)他們可以在約定的兩個(gè)小時(shí)內(nèi)任意達(dá)到。那胡同學(xué)和李同學(xué)能見面嗎？

在這個(gè)問題中，我們可以假設(shè)10點(diǎn)為計(jì)算時(shí)刻的0點(diǎn)，x，y分別表示胡同學(xué)和李同學(xué)到達(dá)的時(shí)刻，單位為min。此時(shí)，樣本空間Ω={（x，y）丨0≤x≤120，0≤y≤120}，假設(shè)事件A{兩人能見面}，則A={（x，y）∈Ω丨丨x-y丨≤30}，因此他們能見面的概率為：

P（A）=S（A）S（Ω）=1202-9021202=0.4375

所以，他們能見面的概率為0.4375，不能見面的概率為0.5625。

（二）抽簽活動(dòng)

假設(shè)甲、乙、丙三位同學(xué)抽簽，在10個(gè)簽子中有四個(gè)是難題，按照甲乙丙的順序抽簽考試，這種考試形式或次序公平嗎？

在這個(gè)問題中，我們可以假設(shè)A=甲抽到難題，B=乙抽到難題，C=丙抽到難題。

那么，P（A）=C14C110=0.4

P（B）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|B）

=C14C110·C13C19+C16C110·C14C19

=0.4

P（C）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=C14C110·C13C19·C12C18+C15C110·C14C19·C13C18+C14C110·C16C19·C13C18+C16C110·C15C19·C14C18

=0.4

所以，這種考試形式是公平的。

五、促進(jìn)數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中實(shí)踐價(jià)值最大化的建議

上面我們分析了數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用和現(xiàn)實(shí)意義，說明了數(shù)學(xué)模型對優(yōu)化概率教學(xué)的實(shí)際教學(xué)效果有著十分顯著的意義。因此，接下來我們將具體概述促使數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中實(shí)踐價(jià)值最大化的建議，從而為提升數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的實(shí)際效果提出切實(shí)可行的策略。

（一）更新既有的概率教學(xué)觀念

在上面的介紹中，我們發(fā)現(xiàn)，無論是學(xué)生學(xué)習(xí)概率的學(xué)習(xí)興趣提不起來，還是概率教學(xué)的教學(xué)效率不理想，都和教師的概率教學(xué)觀念密不可分。因此，如果我們想要提升概率教學(xué)的實(shí)際教學(xué)效果，教師就必須對其原有的概率教學(xué)觀念進(jìn)行一定的變革，不僅要重視數(shù)學(xué)思想在概率教學(xué)中的作用，而且其教學(xué)模式也要進(jìn)行一定的變革，更多地激發(fā)起學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的積極性。

（二）融入情境化教學(xué)模式

概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用性是很多教師在教學(xué)過程中容易忽視的問題，這對概率教學(xué)的教學(xué)效果也有著十分明顯的影響。因此，要增強(qiáng)概率教學(xué)的教學(xué)效果，教師在實(shí)際的教學(xué)過程中，就必須將課本上的知識和學(xué)生實(shí)際生活中遇到的問題聯(lián)系起來，在增強(qiáng)概率應(yīng)用意識的基礎(chǔ)上，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識的積極性，最終提升概率教學(xué)的教學(xué)效果。

（三）加強(qiáng)對典型案例的分析和剖析

由于概率統(tǒng)計(jì)的抽象性，在一定程度上加劇了學(xué)生理解和應(yīng)用概率知識的難度。在這種情況下，想要增強(qiáng)概率教學(xué)的實(shí)際效果，教師就必須在概率的教學(xué)過程中加入一些典型性、應(yīng)用性較強(qiáng)的案例，這樣一方面有利于學(xué)生理解概率的相關(guān)知識，另一方面也有利于提升學(xué)生利用概率知識解決實(shí)際問題的能力。此外，這些案例并不是隨便加的，而是需要具有一定的可操作性、可重復(fù)性等特點(diǎn)，便于學(xué)生理解和進(jìn)行具體實(shí)驗(yàn)。

（四）加強(qiáng)對現(xiàn)代化教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用程度

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用程度也不斷擴(kuò)大。而又由于概率教學(xué)的抽象性，因此教師在教授概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，可以借助計(jì)算機(jī)或者是其他形式的信息技術(shù)，使概率統(tǒng)計(jì)可以通過一種直觀、形象的形式顯示出來，不僅可以將教師從傳統(tǒng)的教學(xué)方式中解放出來，而且也可以在降低學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識時(shí)的枯燥乏味的基礎(chǔ)上，提升學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣，從而提升概率教學(xué)的實(shí)際教學(xué)效果。

（五）構(gòu)建高素質(zhì)的人才隊(duì)伍

受到傳統(tǒng)的教育體制的影響，雖然我國一直強(qiáng)調(diào)要對教師的教學(xué)理念和教學(xué)模式進(jìn)行一定的變革，但是其變革的力度和變革后的執(zhí)行力度的大小都還是一個(gè)未知數(shù)。再加上，概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容會(huì)隨著時(shí)代的變化而發(fā)生十分深刻的變化，因此教師需要做到以下幾點(diǎn)，從而提升自身的綜合素質(zhì)，滿足概率教學(xué)的需求。第一，教師要樹立適宜的教育理念。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，傳統(tǒng)的教育理念已經(jīng)不能滿足學(xué)生的需求，因此教師的教育理念就要發(fā)生相應(yīng)的變化，從而適應(yīng)時(shí)代的需求。第二，教師要采用科學(xué)、合理的教學(xué)方式。教師作為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，只有其采用科學(xué)、合理的教學(xué)方式，才能提升教師的教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。具體到概率教學(xué)中，由于概率知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用范圍越來越廣泛，因此我們不僅要對學(xué)生進(jìn)行概率知識的理論教學(xué)，還要增強(qiáng)學(xué)生用概率知識解決實(shí)際問題的能力的培養(yǎng)。

（六）堅(jiān)持“以生為本”的教學(xué)原則

隨著教學(xué)改革的不斷進(jìn)行，傳統(tǒng)的“以師為本”的教學(xué)原則不斷發(fā)生動(dòng)搖，當(dāng)前越來越重視“以生為本”。在上面我們對概率教學(xué)的現(xiàn)狀進(jìn)行分析的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，教師在概率教學(xué)的實(shí)際教學(xué)過程中，處于一個(gè)絕對主導(dǎo)的地位。在這種情形下，不僅學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性調(diào)動(dòng)不起來，而且也不利于教師依據(jù)學(xué)生的需求進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的變革，在某種程度上可能會(huì)加劇教師和學(xué)生之間的對立。想要增強(qiáng)概率教學(xué)的實(shí)際效果，就需要我們樹立“以生為本”的教學(xué)原則，尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位，同時(shí)注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的實(shí)踐反饋，幫助教師更多地采取學(xué)生能夠接受的教學(xué)方式和教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)，從而將抽象的概率知識轉(zhuǎn)化成學(xué)生感興趣的教學(xué)形式，最終提高概率的教學(xué)效果。

六、結(jié)語

通過對數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的應(yīng)用研究，我們不僅對概率教學(xué)的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行了研究，尤其是對其中存在的問題及原因進(jìn)行了一定的探究。在此基礎(chǔ)上，我們以數(shù)學(xué)模型為切入點(diǎn)，加強(qiáng)了對提升數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中的比重的策略研究，而這對于提升數(shù)學(xué)模型在概率教學(xué)中應(yīng)用有著重要的理論意義和實(shí)踐意義。

責(zé)任編輯朱守鋰