林遠(yuǎn)華,王五生

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 宜州 546300)

一類非線性Volterra-Fredholm型四重?zé)o窮積分不等式

林遠(yuǎn)華,王五生*

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 宜州 546300)

研究了一類積分上限為無窮大,下限變化的非線性Volterra-Fredholm型四重積分不等式.首先假定不等式中的已知函數(shù)應(yīng)該滿足的條件,然后利用分析技巧:比如變量替換、不等式放大、積分微分、反函數(shù)等,給出Volterra-Fredholm不等式中未知函數(shù)的估計(jì).最后,為了說明所得結(jié)果的有效性,舉例說明所得結(jié)果可以用來估計(jì)一類四重積分方程解的模.

Volterra-Fredholm型積分不等式; 無窮積分; 變下限積分; 未知函數(shù)的估計(jì)

因?yàn)門.H.Gronwall[1]型積分不等式對(duì)研究微分方程和積分方程解的定性性質(zhì)有重要作用,有些數(shù)學(xué)工作者致力于Gronwall型積分不等式的各種推廣形式的研究,參見文獻(xiàn)[2-12].1992年,D.Bainov等為了研究微分方程邊值問題,在文獻(xiàn)[2]中研究了Volterra-Fredholm型積分不等式

(1)

2004年,B.G.Pachpatte[4]研究了較復(fù)雜的Volterra-Fredholm型線性積分不等式

(2)

2008年,Ma Q.等[6]進(jìn)一步研究了Volterra-Fredholm型非線性時(shí)滯積分不等式

2012年,Zheng B.等[8]又研究了Volterra-Fredholm型離散不等式

(4)

受文獻(xiàn)[5-8]的啟發(fā),研究了Volterra-Fredholm型變下限四重積分不等式

(5)

此不等式與文獻(xiàn)[6]中的不等式(3)比較,被積函數(shù)含有2個(gè)不同的非線性函數(shù)φ和φ.與文獻(xiàn)[8]中的不等式(4)比較,不等式(5)把差分不等式(4)推廣成積分不等式.

1 主要結(jié)論

本文中R表示全體實(shí)數(shù)的集合,R+:=[0,∞),X,Y∈R+,Ω=[X,∞)×[Y,∞).為了敘述方便,利用不等式(5)中的已知函數(shù)定義2個(gè)函數(shù):

(6)

(7)

其中

(8)

(9)

定理 1.1 假設(shè)函數(shù)u∈C(Ω,R+),函數(shù)a∈C(Ω,R+)關(guān)于每個(gè)變量都是不增的,且有a(x,y)>0,4個(gè)函數(shù)fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)關(guān)于后2個(gè)變量都是不增的,且f1、f2至少有一個(gè)函數(shù)不恒等于零,f3、f4也至少有一個(gè)函數(shù)不恒等于零,f3、f4還滿足μ2≤∞.假設(shè)φ,φ∈C(R+,R+)都是嚴(yán)格增函數(shù),且有對(duì)任意r>0，φ(r)>0,φ(r)>0,Ψ是嚴(yán)格增函數(shù).假設(shè)α∈C1([X,∞),[X,∞))(β∈C1([Y,∞),[Y,∞)))是不減函數(shù),且滿足α(x)≥x,α(X)=X,α(∞)=∞(β(y)≥y,β(Y)=Y,β(∞)=∞).如果函數(shù)u∈C(Ω,R+)滿足不等式(5),則

證明 由于函數(shù)a和f3的單調(diào)性,由不等式(5)可以推出

(11)

令函數(shù)z1(x,y)表示不等式(11)的右端,即

(12)

顯然z1(x,y)關(guān)于每個(gè)變量都是不增的,且有:

(13)

(14)

和

(15)

其中

(16)

令函數(shù)z2(x,y)表示不等式(15)的右端,則有

(17)

(18)

求z2(x,y)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù),利用(17)式,z2(x,y)的不增性和φ、φ、α、β的性質(zhì),得到

不等式(19)兩邊同除于φ(φ-1(z2(x,y)))得到

(20)

從x到∞積分上式兩邊得

(21)

即

(22)

綜合(16)～(18)和(22)式推出

(23)

上式整理得

(24)

即

(25)

因?yàn)棣肥菄?yán)格增的,由上式得

(26)

綜合(13)、(17)、(22)和(26)式,得到所要的估計(jì)式(33).

注 令φ(z)=z2,φ(z)=z2,z>μ1,則Φ(z)=lnz-lnc,Ψ(z)=ln ((z-μ1)/μ2)-lnz=ln (1/μ2-μ1/(μ2z)).顯然(1/μ2-μ1/(μ2z))>0是嚴(yán)格增函數(shù),進(jìn)而Ψ(z)是嚴(yán)格增函數(shù),故Ψ(z)存在逆函數(shù).由此可以看出,當(dāng)φ(z)和φ(z)滿足一定的條件時(shí),Ψ(z)是嚴(yán)格增函數(shù),故Ψ(z)存在逆函數(shù).

2 應(yīng)用

為了說明所得結(jié)果的有效性,下面將利用定理1.1中不等式的結(jié)果研究一類非線性Volterra-Fredholm型積分方程解的估計(jì).

(27)

其中Fi∈C(Ω2×R,R)(i=1,2,3,4)滿足條件:

(28)

(29)

(30)

(31)

其中,p>1,fi∈C(Ω2,R+)(i=1,2,3,4)關(guān)于后2個(gè)變量都是不增的,|b(x,y)|關(guān)于每個(gè)變量都是不增的,f1、f2至少有一個(gè)函數(shù)不恒等于零,f3、f4至少有一個(gè)函數(shù)不恒等于零.如果函數(shù)u(x,y)是積分方程(27)的解.利用條件(28)～(31),由積分方程(27)推出不等式

(32)

令φ(u)=up,φ(u)=up/2.可以看出不等式(32)具有不等式(5)的形式,不等式(32)中的函數(shù)滿足定理2.1中對(duì)應(yīng)函數(shù)的條件.利用定理2.1就可以得到積分方程(27)解的估計(jì).

(33)

其中

[1] GRONWALL T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Ann Math,1919,20:292-296.

[2] BAINOV D,SIMEONOV P.Integral Inequalities and Applications[M].Dordrecht:Kluwer Acad Publishers,1992.

[3] PACHPATTE B G.A note on certain integral inequality[J].Tamkang J Math,2002,33:353-358.

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[5] AGARWAL R,DENG S,ZHANG W.Generalization of a retarded Gronwall-like inequality and its applications[J].Appl Math Comput,2005,165:599-612.

[6] MA Q,PECARIC J.Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J].Nonlinear Anal,2008,69:393-407.

[7] ZHENG B.Qualitative and quantitative analysis for solutions to a class of Volterra-Fredholm type difference equation[J].Adv Difference Equ,2011,2011:30.

[8] ZHENG B,FU B.Some Volterra-Fredholm type nonlinear discrete inequalities involving four iterated infinite sums[J].Adv Difference Equ,2012,2012:228.

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[10] 吳宇.關(guān)于一類弱奇性Volterra積分不等式的注記[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,31(5):534-537.

[11] 周俊.關(guān)于一個(gè)積分不等式組的討論[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,46(1):21-25.

[12] 王五生,李自尊.一類新的非線性時(shí)滯積分不等式及其應(yīng)用[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,35(2):180-183.

[13] 侯宗毅,王五生.非線性三變量差分不等式及其應(yīng)用[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,38(4):514-517.

2010 MSC：26D15; 26D20; 45G10

(編輯 周 俊)

A Class of Nonlinear Volterra-Fredholm Type Integral Inequality Involving Four Iterated Infinite Integral

LIN Yuanhua,WANG Wusheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,HechiUniversity,Yizhou546300,Guangxi)

A class of nonlinear Volterra-Fredholm type four iterated integral inequalities with variable lower limit and infinite upper limit is studied.Firstly,the conditions satisfied by known functions in the inequalities are supposed,then estimation for the unknown function in Volterra-Fredholm type integral inequalities is given by analytic techniques,such as change of variable,amplification of inequality,differentiation and integration,inverse function etc.Finally,in order to illustrate the validity of the established results,an application is presented,in which explicit bounds for the solutions of a class of Volterra-Fredholm type four iterated integral equations are deduced.

Volterra-Fredholm type integral inequalities; infinity integral; integral with variable lower limit; estimation of unknown function

2015-11-13

國家自然科學(xué)基金(11561019和11161018)、廣西自然科學(xué)基金(2016GXNSFAA380090和2012GXNSFAA053009)和廣西高等學(xué)

O175.5

A

1001-8395(2017)02-0184-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.007

?？蒲许?xiàng)目(KY2015ZD103和LX2014330)

*通信作者簡(jiǎn)介：王五生(1960—),男,教授,主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)的研究,E-mail:wang4896@126.com