李 輝，呂明冬，任慧龍，陳小波，田 博

（1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.中國船舶及海洋工程研究院，上海 200011；3.法國船級社深水技術(shù)研究中心，新加坡）

基于Laguerre函數(shù)對圓柱面繞射勢的數(shù)值逼近

李 輝1，呂明冬2，任慧龍1，陳小波3，田 博1

（1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2.中國船舶及海洋工程研究院，上海 200011；3.法國船級社深水技術(shù)研究中心，新加坡）

無限深圓柱表面繞射勢沿水深方向的變化是連續(xù)的、不斷衰減的?；跓o窮區(qū)間Laguerre多項式并引入的伸縮系數(shù)s定義了Laguerre函數(shù)，既保證了函數(shù)在無窮區(qū)間的正交性，又使函數(shù)具有靈活性。繞射勢的變化，可以用一系列Laguerre函數(shù)表示成級數(shù)形式。文中對該方法的收斂性進(jìn)行了證明，并以一條FPSO為例對其在圓柱面的繞射勢進(jìn)行了逼近。求解級數(shù)展開式的系數(shù)時會遇到無窮積分問題，采用多次使用Gauss-Legendre積分和Gauss-Laguerre積分相結(jié)合的方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的Gauss-Laguerre積分方法，獲得更高的積分精度。利用Laguerre函數(shù)可以對Rankine源法或者Rankine-Kelvin法的控制面上速度勢進(jìn)行逼近。

Laguerre函數(shù)；繞射勢；Gauss-Laguerre積分；Gauss-Legendre積分

0 引 言

在三維勢流理論中，速度勢用于計算船舶運(yùn)動和載荷[1-2]，速度勢求解通常使用格林函數(shù)法，常用的格林函數(shù)方法有Rankine源法[3]、Kelvin源法[1]等。每種格林函數(shù)有自身優(yōu)點(diǎn)，但同時又存在一些不足。例如：Rankine源法優(yōu)點(diǎn)在于避免了復(fù)雜格林函數(shù)計算，沒有不規(guī)則頻率問題，但必須在整個無限自由面積分，需要在全部自由面劃分大量網(wǎng)格，除此之外，還需要建立一個阻尼區(qū)消除反射波的影響[1]。Kelvin源法優(yōu)點(diǎn)是在自由面積分為零，無需對自由面劃分網(wǎng)格，對于簡單的物體，例如半球，圓柱有較好的結(jié)果，然而對于實際的船體它的波浪成分會引起計算結(jié)果震蕩以及收斂速度慢的問題[5]。

BV的陳小波博士[6]提出Rankine-Kelvin方法，即利用一個圓柱面作為控制面，將流體域分為兩部分，內(nèi)域和外域。外域采用無航速格林函數(shù)，內(nèi)域采用簡單格林函數(shù)。在外域，簡單的圓柱表面的速度勢和速度勢法向?qū)?shù)可以假設(shè)是已知的；在內(nèi)域，船體表面的速度勢法向?qū)?shù)已知，控制面上的速度勢可以和外域方程聯(lián)合求解，因此只需要對物體表面以及控制面內(nèi)有限自由表面劃分網(wǎng)格，就可以滿足求解條件。

速度勢中，繞射勢以及輻射勢是未知的，繞射勢與輻射勢的在圓柱控制面沿豎直方向上變化是相似的，利用Rankine-Kelvin方法求解時，圓柱控制面的任意點(diǎn)的繞射勢以及輻射勢是利用Laguerre函數(shù)表示，既可以不必在圓柱面上劃分網(wǎng)格，又在積分和微分上會獲得很大便利。本文為了探究該方法的可行性，以繞射勢為例，首先利用格林函數(shù)法可以求出實際物體在圓柱面上任意點(diǎn)的繞射勢，再利用Laguerre函數(shù)對繞射勢函數(shù)進(jìn)行逼近，獲得繞射勢的級數(shù)展開形式，求出逼近誤差，檢驗是否滿足工程應(yīng)用的精度。

本文結(jié)構(gòu)如下。第1章定義Laguerre函數(shù)，并引進(jìn)伸縮系數(shù)s，證明含有伸縮系數(shù)s的Laguerre函數(shù)具有正交性。第2章給出Laguerre函數(shù)逼近的具體步驟，對該方法收斂性進(jìn)行證明。引入Gauss-Laguerre與Gauss-Legendre混合積分的方法，可以更準(zhǔn)確地求出無窮積分的積分值。第3章給出計算的數(shù)值結(jié)果。

1 Laguerre函數(shù)

當(dāng)ω=1時，定義為

n階Laguerre多項式定義如下[7]

該多項式滿足如下遞推關(guān)系[7]

Laguerre多項式是一個完全正交系，滿足如下正交關(guān)系[7]

其中：δl，m是Kronecker符號。

現(xiàn)定義Laguerre函數(shù)如下：

Laguerre函數(shù)也是一個完全正交系，滿足如下正交關(guān)系

其中：?n（sz）也是完全正交系，滿足如下公式

證明如下：

2 含伸縮系數(shù)Laguerre函數(shù)對速度勢函數(shù)展開

在離物體一定距離時，速度勢函數(shù)φ（z）沿深度的變化是連續(xù)的，當(dāng)水深趨于無窮時，速度勢趨于零，所以速度勢函數(shù)表達(dá)式可以用下式表達(dá)：

由上述證明可知，當(dāng)函數(shù)φ（z）滿足平方可積且連續(xù)的條件，則該函數(shù)基于Laguerre級數(shù)展開是絕對收斂的。由于函數(shù)f（z）=1/1+z平方可積，速度勢函數(shù)φ（z）收斂速度快于函數(shù)f（z）=1/1+z，則該速度勢函數(shù)φ（z）可以被級數(shù)展開。

采用高斯積分計算級數(shù)前系數(shù)csn，在［0，∞］做高斯積分，通常采用Gauss-Laguerre插值積分：

其中：zk′為Laguerre多項式的互異零點(diǎn)，理論上說，Gauss-Laguerre法的積分誤差隨著N增加而減少。不過，隨著N和k增加，特別是零點(diǎn)離積分原點(diǎn)非常遠(yuǎn)的情況下，Laguerre多項式相鄰零點(diǎn)zk′與z′k+1距離會快速變大，對于特別大的N，相鄰零點(diǎn)之間距離可以達(dá)到4N[8]，這個特征既是Gauss-Laguerre積分法的優(yōu)點(diǎn)也是缺點(diǎn)。它意味著可以用適當(dāng)?shù)腘可以計算無窮區(qū)域的積分，但事實上如果被積函數(shù)在相鄰零點(diǎn)間震蕩比較劇烈，可能就無法準(zhǔn)確得到兩個零點(diǎn)間的積分值。為了改進(jìn)這一缺點(diǎn)，本文采用Gauss-Laguerre與Gauss-Legendre相結(jié)合的方法，Gauss-Legendre方法優(yōu)點(diǎn)在于可以將震蕩衰減函數(shù)的震蕩部分分成n個有限積分區(qū)間，每個有限積分區(qū)間采用Gauss-Legendre積分法積分，可以保證震蕩區(qū)間有足夠的計算數(shù)值點(diǎn)，對于收斂部分，可以采用Gauss-Laguerre積分法積分。具體步驟如下：

其中：zk為N階Legendre多項式零點(diǎn)，zk′為N階Laguerre多項式零點(diǎn)。

現(xiàn)在，選取函數(shù)在F（z）=（e-cz，J0（dz）），被積函數(shù)f（z）=e-czJ0（dz）為震蕩衰減函數(shù)，積分可得解析解，相對誤差Er定義為

其中：F（z）為真實值，F(xiàn)c（z）為數(shù)值計算值，利用混合積分法數(shù)值計算得到的積分值，見表1。

表1 混合積分法得到數(shù)值解與相對誤差Tab.1 Numerical results and relative error with composite integration

表1中，n=1時為Gauss-Laguerre積分方法。由表1可見，隨著Gauss-Legendre積分區(qū)間個數(shù)n增加，積分精度有較快提高，在實際應(yīng)用中，可以預(yù)先設(shè)置一個誤差值，n個區(qū)域的積分值和n+1個區(qū)域積分值差值絕對值小于設(shè)定誤差值，可以認(rèn)為得到高精度數(shù)值解。

3 算 例

本文以一條長225 m，寬36 m，平均吃水16 m的FPSO為計算模型，選取船中為中心半徑為450 m無限深圓柱為控制面，計算航速為0 kn，計算頻率分別為ω=0.17 rad/s，0.6 rad/s，1.7rad/s浪向為迎浪。本文采用 CCS認(rèn)證的COMPASSWALCS-BASIC水動力載荷軟件為計算軟件，得到船艏方向控制面上的繞射勢，具體位置見圖1。

圖1 繞射勢在控制面上的逼近路徑Fig.1 Approximation path of diffraction potential on the control surface

由COMPASS-WALCS-BASIC計算出的繞射勢定義為φ7W，Laguerre函數(shù)逼近得到的繞射勢定義為φ7L。絕對誤差定義為E*，如下式

不同頻率下，l1繞射勢實部與虛部逼近值以及絕對誤差見圖2-7。n為級數(shù)展開項數(shù)，s為伸縮系數(shù)。

圖2 l1處繞射勢逼近值（實部）與絕對誤差（ω=0.17 rad/s）Fig.2 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=0.17 rad/s)

圖3 l1處繞射勢逼近值（虛部）與絕對誤差（ω=0.17 rad/s）Fig.3 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=0.17 rad/s)

圖4 l1處繞射勢逼近值（實部）與絕對誤差（ω=0.6 rad/s）Fig.4 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=0.6 rad/s)

圖5 l1處繞射勢逼近值（虛部）與絕對誤差（ω=0.6 rad/s）Fig.5 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=0.6 rad/s)

圖6 l1處繞射勢逼近值（實部）與絕對誤差（ω=1.7 rad/s）Fig.6 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=1.7 rad/s)

圖7 l1處繞射勢逼近值（虛部）與絕對誤差（ω=1.7 rad/s）Fig.7 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=1.7 rad/s)

4 結(jié) 論

文中定義了含有伸縮系數(shù)s的Laguerre函數(shù)，利用該函數(shù)，并且對一條FPSO在圓柱控制面的繞射勢進(jìn)行數(shù)值逼近，得到以下結(jié)論：

（1）伸縮系數(shù)s增加了Laguerre函數(shù)的靈活性，并對Laguerre函數(shù)逼近連續(xù)衰減函數(shù)的收斂性進(jìn)行了證明。

（2）Gauss-Legendre與Gauss-Laguerre結(jié)合的積分方法可以提高函數(shù)積分精度，對震蕩衰減的函數(shù)也可以得到較好積分結(jié)果。

（3）當(dāng)波浪頻率較低時，繞射勢沿水深衰減較慢，此時伸縮系數(shù)s=0.3可以得到較好逼近效果；波浪頻率較高時繞射勢沿水深衰減較快，任意不同伸縮系數(shù)都可以得到較好結(jié)果。文中為了得到較高精度級數(shù)展開項較多，工程應(yīng)用中，在滿足工程應(yīng)用精度情況下，可以減少展開項數(shù)，提高運(yùn)算效率。

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Numerical approximation of diffraction waves on cylinder surface based on Laguerre function

LI Hui1,LV Ming-dong2,REN Hui-long1,CHEN Xiao-bo3,TIAN Bo1
(1.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.Marine Design&Research Institute of China,Shanghai 200011,China;3.Deepwater Technology Research Center,Bureau Veritas,Singapore)

The vertical variation of water diffraction waves on vertical infinite circular cylinder is considered to be continuous and descending.The variation can be represented by a series of Laguerre functions using Laguerre polynomials.A scale parameter s is introduced to the function which ensures orthogonality and flexibility.The convergence of Laguerre series is proved and diffraction wave of a FPSO on a circular cylinder surface is approximated for instance.The Gauss-Legendre integration is combined with Gauss-Laguerre integration to alternate traditional Gauss-Laguerre integration.This integration method can obtain higher numerical precision.The Laguerre series can be applied to approximate the velocity potential on the control surface in Rankine source method or Rankine-Kelvin source method.

Laguerre function;diffraction;Gauss-Laguerre integration;Gauss-Legendre integration

U661.3

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.05.006

1007-7294（2017）05-0555-08

2016-12-29

國家基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項目（2011CB013703）

李 輝（1978-），男，講師，副博士生導(dǎo)師；呂明冬（1990-），男，助理工程師，E-mail：lvmingdong1990@qq.com。