劉卓亞　李東

摘要；圖像修復是指利用圖像中已有的信息，對破損的地方進行修復或者刪減目標物的圖像處理技術(shù)。壓縮感知是信號處理技術(shù)，利用信號的稀疏度，進行采樣并恢復原始信號的技術(shù)。針對圖像修復的算法，本文對樣本數(shù)據(jù)進行大量的分析，對K-奇異值分解（K-SVD）字典訓練，從而取代正交基函數(shù)。根據(jù)圖像的退化數(shù)據(jù)，約束感知矩陣。對圖像破損稀疏度未知的問題，提出了一種稀疏度自適應正則化正交匹配追蹤算法（SA-ROMP），提高圖像修復精度。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；稀疏度自適應；圖像修復

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2017）07-0165-03

圖像處理中圖像的修復是一個重要的步驟。它是利用破損圖像中已知的信息進行重建圖像，從而達到修復圖像的目的。視頻修復，圖像解壓和特技渲染上都會應用到圖像修復技術(shù)。這也就是圖像修復技術(shù)的重要性所在。

1圖像修復算法

1.1圖像修復技術(shù)

目前圖像修復技術(shù)基本上分為3種。微分方程、紋理合成、稀疏表示的圖像修復等三種。第一種，微分方程（KSCB）圖像修復算法是利用破損圖像的破損邊緣進行估計，通過信息傳播的方式進行修復。這種算法適用于破損比較小的圖像。但是這種算法需要大量的時間進行計算分析，速度太慢。而且大面積破損圖片的修復效果不夠穩(wěn)定。第二種，紋理合成圖像修復是一個很熱門的圖像修復技術(shù)。紋理采樣的方法，對大面積破損圖像修復，有較好的效果。這種算法首先要在破損邊緣選一個點，根據(jù)破損圖像邊緣尋找相似的圖像點進行填充。反復重復修復步驟，最終達到修復圖像的目的。其中難點就在于相似圖塊匹配情況和確定修復破損區(qū)域的順序問題。而它的缺點在于對圖像結(jié)構(gòu)的分析不夠透徹，也就是說根據(jù)破損邊緣尋找的相似圖像點的匹配上會出現(xiàn)問題，從而造成了圖像有些不太和諧的結(jié)果。第三種，稀疏度圖像修復是利用字典和修復圖像內(nèi)的一些信息進行稀疏編碼，進行圖像修復。Elad、Dohono等人提出的MCA分解單步壓縮感知的圖像修復算法，是將圖像分解為文理部分和結(jié)構(gòu)部分兩部分進行修復。最后將兩部分圖片修復的結(jié)果相加得到的圖片就是修復后的圖片。但是這種圖片修復技術(shù)同樣也無法避免，信號擴散過程中產(chǎn)生模糊的問題。

1.2壓縮感知理論

壓縮感知是一門新穎的信息采集和處理技術(shù)。傳統(tǒng)的信息采集和處理是從采樣開始，經(jīng)過壓縮和傳輸最后進行解壓縮的步驟。經(jīng)過Dohono、Tao等人的深入研究，對壓縮感知技術(shù)進行了提升。在未損失信息的情況下，利用信號的稀疏情況，將采集和壓縮步驟合并進行。最后經(jīng)過重構(gòu)恢復原始信號。這種技術(shù)可以大大降低采樣的頻率，傳輸?shù)膲毫档?、處理時間和計算成本變低。壓縮感知理論現(xiàn)在應用在很多領(lǐng)域中，例如，信息通信和圖像處理上的應用非常的廣泛。

1.3圖像修復算法

重構(gòu)算法是壓縮感知理論（CS）中一個重要環(huán)節(jié)。從低維信號中恢復原始高維信號，是算法的關(guān)鍵所在。在壓縮感知理論下的重構(gòu)算法有三種。最常用的算法為貪婪算法。顧名思義，其意義為，在對問題求解時總是從當前情況中選擇最好的解決方法。由于貪婪算法的重構(gòu)效率較高、算法的復雜度比較低等原因，應用比較廣泛。它的典型算法有匹配追蹤算法、正則化正交匹配追蹤（ROMP）和正交匹配追蹤（OMP）算法等。但是這些算法必須要求對信號稀疏度的精確性把握。稀疏度參數(shù)一旦出現(xiàn)問題，圖像重構(gòu)質(zhì)量就會下降。稀疏度未知時可以對其進行評估，這時的重構(gòu)效果將更不穩(wěn)定。

對于破損圖像來說，對信號稀疏度的估計根本無法事先完成。所以修復質(zhì)量將出現(xiàn)很多問題。而SAMP算法在選定稀疏度步長時過小，會出現(xiàn)很多算法數(shù)值相等的情況。而過大時圖像修復效果將極度降低。所以本文提出了一種基于壓縮感知的稀疏度自適應修復算法。應用一個超完備字典，通過破損圖像模型，對感知矩陣進行約束，應用壓縮感知的稀疏度自適應正則化正交匹配追蹤算法（SA-ROMP），建立模型進行圖像修復。這種算法可以根據(jù)選擇的原子點自適應選擇原子個數(shù)，可以靈活地將適合的作為候選，用正則化再次篩選出精度較高的原子，保證更好的修復圖像。

2壓縮感知（CS）理論的圖像修復模型

信號在變換域上有稀疏度，那么就用與變換基不相關(guān)的測量矩陣將變換得到的高維信號投影到一個低維空間上。最后對一個最優(yōu)化問題進行求解。從低維空間的投影中以高概率重構(gòu)出原始信號。

原始信號設為X，X可以看作是在低維空間R^N空間的N×1的向量。R^N空間中的信號都可以用Ψ_i（i=1，2，…，N）表示。因此得公式：X=Ψ_a

如果X在Ψ上的表示0<α

根據(jù)CS理論，對原始信號稀疏變換，原始信號X（XERn）。信號長度為N，基向量為Ψ_i（i=1，2，…，N）。信號X投影到稀疏基雪上以后得到公式：

（1）

選擇適合的稀疏基是研究的重點。所以研究方向分兩個，一為設計更一個算法更快速有效的稀疏分解計算。常用的有小波變換、震蕩信號Gabor變換和離散余弦變換算法。而另一個研究方向是建設一個超級完備字典K-SVD等。

3基于CS理論的稀疏度自適應圖像修復實驗

3.1K-SVD字典訓練算法

信號的稀疏表示能力越強，運用算法時更快捷方便。K-SVD字典訓練算法是對各類圖像樣本進行訓練，通過自適應更新字典原子，建設出超完備字典。因為是擴展了原有的字典訓練算法，能更有效的減少字典中原子的個數(shù)。訓練后的原子數(shù)還是可以表示出初始字典的所有信息。

（2）

K-SVD字典訓練算法是將此公式優(yōu)化進行運算的結(jié)果。其中y表示本集{y_i）}^N_i=1。D表示我們建設的超完備字典，X表示稀疏矩陣，T₀（T₀≠0）元素個數(shù)的最大值。

在進行K-SVD字典訓練算法時首先要給字典D賦予初始值。可以使用任何一種追蹤算法，求解每個y_i的向量x_i。從而更新字典，也就是根據(jù)x_i更新D，可以假設d_i是D中第k列原子。E_k是誤差矩陣：

（3）

從而得到下來式子；

（4）

3.2感知矩陣設計

本文選用超完備字典對正交變換基進行取代，感知矩陣A—RD。D為超完備字典。為感知矩陣能滿足RIP條件，選用MC代替。定義A的互相干是

（5）

α_i是A的第i列向量。在稀疏度和互相干參數(shù)能滿足一定的條件下，應用K-SVD訓練的超完備字典進行對圖像的修復。經(jīng)過計算，其圖像修復效果還是比較好的。對于破損面積比較大的圖像，可能存在一定的模糊情況。

3.3稀疏度自適應正則化正交匹配追蹤算法

正交匹配追蹤算法每次選代只能選擇與殘差最相關(guān)的一列。而正則化正交匹配追蹤算法則是一種改進的算法，是在成組篩選原子時加入了回溯思想，在選出候選支撐原子集后，需要進行正則化過程，對候選支撐原子集進行分組，選擇能量最大的組作為本次迭代所得支撐原子集。

本文算法提出的SA-ROMP是利用殘差和感知矩陣相關(guān)系數(shù)的變化特性，對該系數(shù)進行差分運算，不僅滿足了ROMP算法，還在原有的基礎上進行的了更新。與之相比，不依賴稀疏度K，無需對稀疏度進行評估的情況下可以直接進行原始信號恢復。SA-RQMP算法也不需要設定弱選擇參數(shù)，從而能更好地完成自適應條件。所以從這些情況能發(fā)現(xiàn)，SA-ROMP算法優(yōu)勢是比較明顯的。

3.4SA-ROMP算法的具體實現(xiàn)步驟

1）設定算法輸入：測量信號y，感知矩陣φ，常數(shù)C，算法迭代誤差t，

2）輸出：殘差r_k，信號估計x

3）初始化：初始殘差值r₀=y，迭代次數(shù)初始值k=1；支撐原子集I_k=φ

4）迭代

4實驗結(jié)果及分析

為了驗證SA-ROMP算法的可行性，我們選擇了多種類型的破損圖像進行修復。可以直觀地從圖像修復的質(zhì)量進行評價。經(jīng)過PMSE預算，反應修復圖片的前后誤差，對比逼近程度。再經(jīng)過SSIM對修復前后的兩幅圖像進行相似度對比。設x是原始圖像，y是修復完成后的圖像；

（9）

（10）

其中μ是圖像的均值，而σ表示的則是方差。c₁，c₂表示的是常數(shù)。有這樣的常數(shù)跟更增加計算結(jié)果的穩(wěn)定性。

為了更好的比較每種算法受到稀疏度的影響所呈現(xiàn)的圖像修復情況，進行了對照試驗。經(jīng)過各種算法的圖片對比如下：

從圖中可以直觀地看出，各種算法在不同稀疏度取值后的修復結(jié)果。其中的差距還是比較大。稀疏度的選取非常的重要，一旦不合適，其圖片修復質(zhì)量也會直接下降。從圖2可以看到，在ROMP應用K-SVD字典算法的PSNR的最高在32.101 9 dB。但是本文提出的算法PSNR指標一直保持在35.213 8 dB，明顯高于其他算法。所以在圖像修復性能上要比其他算法有一定的優(yōu)勢。根據(jù)上述不同算法圖片修復指標進行對比。如下表；

從圖表1的數(shù)據(jù)中，可以看出各種算法的修復指標。本文提出的SA-ROMP算法相對于其他算法在各種修復指數(shù)上都要占有一定的優(yōu)越性。并且根據(jù)表2的結(jié)果可以看出應用稀疏度自適應SAMP算法修復圖片的效果比較差。而弱選擇的稀疏度自適應算法在不同參數(shù)下的修復效果不同。但是本文提出的SA-ROMP算法根本不需要人工提前設定參數(shù)進行預算。其自適應.陛要比其他算法更有優(yōu)勢。

5總結(jié)

貪婪算法受稀疏度參數(shù)的影響，在圖像重構(gòu)結(jié)果上有一定的缺陷。本文根據(jù)ROMP算法的基礎上提出了稀疏度自適應正則化正交匹配追蹤算法。利用超完備字典取代正交基函數(shù)，實現(xiàn)了在未知稀疏度的情況下，完成對圖像的修復技術(shù)。而且通過不同算法圖像修復的對比，可以直觀地看出本文提出的圖像修復算法的優(yōu)越性。但是超完備字典的訓練時間比較長，在圖像修復技術(shù)中更快更好的完成圖像修復還需要更多的技術(shù)研究。