江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) 朱曉燕

折紙尋法，道法自然
——“矩形紙片折疊”實(shí)驗(yàn)教學(xué)的思考

江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) 朱曉燕

矩形紙片折疊問(wèn)題綜合了三角形﹑四邊形的諸多知識(shí)，解法靈活，趣味性強(qiáng)。矩形紙片折疊題型為學(xué)生提供了一個(gè)動(dòng)手實(shí)踐操作﹑自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生﹑發(fā)展過(guò)程的探究平臺(tái)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造性思維能力，有效地改變了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

矩形紙片折疊問(wèn)題解題思路是尋找折疊幾何變換中蘊(yùn)含著的一條對(duì)稱(chēng)軸，找出成軸對(duì)稱(chēng)的圖形，然后運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等；（2）對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)。在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，滲透轉(zhuǎn)化﹑數(shù)形結(jié)合﹑幾何翻折變換﹑方程等數(shù)學(xué)思想方法。

本文筆者以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）“軸對(duì)稱(chēng)”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)——“矩形紙片折疊實(shí)驗(yàn)”為例，談一談具體做法與實(shí)踐心得，敬請(qǐng)同行指正。

一、矩形紙片折疊圖形的要素認(rèn)識(shí)——掌握分析方法

由簡(jiǎn)到繁﹑由特殊到一般，由于折疊前后圖形的形狀﹑大小不變，因此利用幾何圖形的軸對(duì)稱(chēng)性，能抓住圖形之間最本質(zhì)的位置和數(shù)量關(guān)系，如借助矩形的邊平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的數(shù)量關(guān)系或用折疊轉(zhuǎn)化矩形中的直角來(lái)解決問(wèn)題等。引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中逐步認(rèn)識(shí)幾何圖形變換的本質(zhì)，逐步形成解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)。

【實(shí)驗(yàn)操作1】 如圖1，把矩形紙片ABCD沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE與DC的交點(diǎn)為O，連接DE，發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？

【問(wèn)題表征】 （1）如何分類(lèi)尋求相等元素？矩形紙片折疊圖形中包含了哪幾個(gè)幾何基本圖形？（2）四邊形ACED是等腰梯形嗎？為什么？

【解析】 分類(lèi)探究圖中邊角基本元素，發(fā)現(xiàn)：（1）BC=CE=AD，AB=AE=CD，又DE=ED，∴△ADE≌△CED。（2）∠EDC=∠DEA，又∠OAC=∠BAC=∠DCA，∴∠EDC=∠OCA，∴DE∥AC。（3）四邊形ACED是等腰梯形。

【實(shí)驗(yàn)操作2】 準(zhǔn)備一張矩形紙片ABCD，按如圖2操作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線(xiàn)BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線(xiàn)BD上的N點(diǎn)。（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積。

圖2

【問(wèn)題表征】 （1）兩條折痕BE﹑DF有什么關(guān)系？（2）折疊前后幾何圖形中哪些量（元素）保持不變？（3）聯(lián)想幾何基本圖形，能否總結(jié)歸納出求解四邊形BFDE面積的一般規(guī)律？

【設(shè)計(jì)意圖】 以矩形紙片為載體，通過(guò)折痕變化深刻揭示折疊前后幾何圖形位置的關(guān)系，理解歸納推理的一般方法，幫助學(xué)生熟識(shí)軸對(duì)稱(chēng)變換中較常用的基本圖形，教會(huì)學(xué)生善于從復(fù)雜的幾何圖形中分解出一些基本圖形，把復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化，然后類(lèi)比轉(zhuǎn)化基本經(jīng)驗(yàn)，提煉出解Rt△ABE的最佳策略，形成清晰的解題思路。

二、矩形紙片折疊后圖形性質(zhì)的研究——形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

理解矩形紙片折疊變化中折痕的動(dòng)效，弄清楚折疊前后圖形及數(shù)量上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圍繞折痕揭示出幾何圖形變換的問(wèn)題本質(zhì)，突出圖形的形成過(guò)程，類(lèi)比遷移解題思路，凸現(xiàn)研究圖形的基本方法，產(chǎn)生新思路，幫助學(xué)生啟迪思維，拓寬解題思路。

【實(shí)驗(yàn)操作3】 對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：第一步，先對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開(kāi)；第二步，再次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A′處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BE，同時(shí)得到線(xiàn)段BA′，EA′，展開(kāi)如圖3；第三步，再沿EA′所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在A(yíng)D上的點(diǎn)B′處，得到折痕EF，同時(shí)得到線(xiàn)段B F，展開(kāi)如圖4。（1）求證：∠ABE=30°；（2）求證四邊形BFB′E為菱形。

圖3

圖4

【問(wèn)題表征】（1）折疊A點(diǎn)其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′一定落在MN上嗎？為什么？（2）探求△EBF中EF與BA′的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了什么？（3）求證菱形BFB E有幾種方法？為什么？

【解析】（1）由題意知A是EF中點(diǎn)，∠BA E=∠A=90°，有BA垂直平分EF，∴BE=BF，由以上可得∠EBA=∠FBA，又∠BAE=∠EBA，∴∠ABE=30°。（2）由折疊可得 BE=B′E，BF=B F，又BE=BF，∴BE=B′E=B′F=BF，∴四邊形BFB′E是菱形。

【設(shè)計(jì)意圖】 把矩形紙片三次折疊，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練沿知識(shí)臺(tái)階步步深入，有序引導(dǎo)學(xué)生逐步形成推理思路，在動(dòng)手實(shí)踐操作過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生不滿(mǎn)足于∠ABE=30°和菱形BFB′E的具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而需更加深入研究紙片的折疊步驟，即實(shí)驗(yàn)過(guò)程，探索知識(shí)和方法的發(fā)生過(guò)程，沿“作圖”和“推理”兩條主線(xiàn)展開(kāi)探究，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)論，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生理解此類(lèi)問(wèn)題的模型化認(rèn)識(shí)。

三、矩形紙片折疊圖形關(guān)系的研究——拓展思維空間

關(guān)注折疊紙片問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)和解決問(wèn)題策略之間的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐操作中理解“對(duì)稱(chēng)性質(zhì)”是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本原理，“勾股定理”是解決矩形折疊問(wèn)題的基本工具，“建立方程”是解決矩形折疊問(wèn)題的基本手段。

【實(shí)驗(yàn)操作4】 如圖5，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在A(yíng)D上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3。（1）求MP的值；（2）在A(yíng)B邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A﹑B重合，當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??？（3）若點(diǎn)G﹑Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A﹑B重合，GQ=2，當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值。（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

圖5

【問(wèn)題表征】 （1）如何在紙片折疊問(wèn)題中分解幾何基本圖形？（2）如何把最小值問(wèn)題通過(guò)幾何作圖轉(zhuǎn)化？（3）通過(guò)折疊紙片位置變化問(wèn)題的研究，你能總結(jié)出哪些解題經(jīng)驗(yàn)？

【解析】 （1）由折疊知PD=PH=3，CD=MH=4，∠MHP=∠D=90°，由勾股定理得MP=5。（2）Rt△EMN中，MN=作點(diǎn)M關(guān)于A(yíng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，此時(shí)M′，F(xiàn)，E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，△MEF的周長(zhǎng)最小，∴NM′=11，AF∽△M NE，有時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最小。（3）如圖6，取ER=2，作EQ∥RG，有 ，MG+QE=GM+GR=MR最小，Rt△MRN中，NR=4-2=2，M∴四邊形MEQG周長(zhǎng)最小，最小值為

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】 “軸對(duì)稱(chēng)變換”是解決折疊矩形紙片問(wèn)題的切入口，從知識(shí)點(diǎn)角度看，從等腰三角形性質(zhì)﹑全等三角形﹑相似三角形的相關(guān)線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系到引入方程思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為幾何圖形最值模型來(lái)解決問(wèn)題，遵循“先易后難，先特殊后一般”的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“基本模型認(rèn)識(shí)”過(guò)渡到“經(jīng)驗(yàn)遷移”，經(jīng)歷具體到抽象的過(guò)程，提升學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱(chēng)基本圖形的識(shí)別和應(yīng)用的綜合能力。

【實(shí)驗(yàn)操作5】 如圖7，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)，矩形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E﹑F分別在A(yíng)D﹑AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,4)。（1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）求直線(xiàn)EF解析式；（3）點(diǎn)N在x軸上，直線(xiàn)EF上是否存在點(diǎn)M，使以M﹑N﹑F﹑G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【問(wèn)題表征】 （1）矩形紙片折疊后形成Rt△BFG，求解Rt△BFG，發(fā)現(xiàn)了什么？（2）如何求解平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)M？（3）歸納總結(jié)折疊問(wèn)題的通用方法，解題方法在解決各個(gè)問(wèn)題過(guò)程中有什么區(qū)別和聯(lián)系？

【解析】 （1）Rt△BFG中，GF=AF=2，BF=AB-AF=1，∴求出∴直線(xiàn)EF的解析式為（3） 當(dāng)FG為平行四邊形的邊時(shí)，過(guò)M1作M1H⊥x軸于H，M1N1∥FG，M1N1=FG，△M1HN1≌△GBF，∴M1H，即∴同理計(jì)算出當(dāng)FG為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，計(jì)算出

【設(shè)計(jì)意圖】 把矩形紙片折疊系列問(wèn)題放置在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)置問(wèn)題展開(kāi)深層次討論，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練如魚(yú)得水，主要考查了平行四邊形﹑矩形及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用﹑分類(lèi)討論FG在所求平行四邊形中的位置，根據(jù)幾何圖形特征類(lèi)比求解是解決該問(wèn)題的切入口。

矩形紙片折疊的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生在動(dòng)手中思考，在思考中實(shí)驗(yàn)探究的好習(xí)慣，而且提升了學(xué)生的觀(guān)察﹑分析﹑推理和動(dòng)手能力，它與學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐﹑空間想象﹑數(shù)形結(jié)合等能力相結(jié)合，折紙實(shí)驗(yàn)探究設(shè)計(jì)問(wèn)題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單一到綜合，層次分明，梯度適度，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了“觀(guān)察感知——操作體驗(yàn)——抽象歸納——應(yīng)用提升”的探索過(guò)程，這樣的認(rèn)知過(guò)程既符合《課標(biāo)》（2011版）提出的新理念和新要求，又深刻揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“初中數(shù)學(xué)思考”理念的有效體現(xiàn)，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)實(shí)踐創(chuàng)新能力大有裨益。

book=56,ebook=58