胡春華， 王忠林， 王春梅， 孫平

(1. 濱州學院 電氣工程系， 山東 濱州 256603；2. 山東師范大學 物理與電子科學學院， 山東 濟南 250014；3. 濱州學院 航空工程學院， 山東 濱州 256603；4. 濱州學院 信息工程學院， 山東 濱州 256603)

可產(chǎn)生多翼吸引子的混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)

胡春華1，2， 王忠林3， 王春梅4， 孫平2

(1. 濱州學院 電氣工程系， 山東 濱州 256603；2. 山東師范大學 物理與電子科學學院， 山東 濟南 250014；3. 濱州學院 航空工程學院， 山東 濱州 256603；4. 濱州學院 信息工程學院， 山東 濱州 256603)

構造一個只有一個零平衡點的新混沌系統(tǒng)，與廣義Lorenz系統(tǒng)族相比，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生單、雙、三及四翼的混沌吸引子.研究表明：當參數(shù)d=2時，其平衡點為鞍結點；當參數(shù)d=5時，其平衡點為鞍焦點，且系統(tǒng)的散度隨著參數(shù)d的變化而改變，不是一個固定值.在Multism 12仿真平臺上設計該系統(tǒng)的電子電路，仿真結果與數(shù)值仿真、動力學特性分析結論一致，進一步驗證該混沌系統(tǒng)的混沌特性.

混沌系統(tǒng)； 多翼吸引子； 電子電路； Lyapunov指數(shù)； Multism 12平臺

自1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子[1]以來，作為非線性科學的一個重要分支——混沌理論引起了國內(nèi)外研究者的廣泛關注，有目的地產(chǎn)生新型混沌系統(tǒng)成為研究的熱點.利用混沌反控制方法，Chen等[2]構造了Chen系統(tǒng)，Lü等構造了Lü系統(tǒng)[3]，其他研究者也構造了新型混沌系統(tǒng)，如Liu系統(tǒng)[4]等.這類系統(tǒng)稱為廣義的Lorenz混沌系統(tǒng)族[5-8].在廣義Lorenz混沌系統(tǒng)族的基礎上通過增加飽和函數(shù)或正弦函數(shù)等方法，可以構造多翼混沌系統(tǒng).但采用這種方法構造的多翼混沌系統(tǒng),一方面，要增加系統(tǒng)的平衡點，另一方面，系統(tǒng)具有某種對稱性，即出現(xiàn)四翼、八翼等，比較難出現(xiàn)如三翼、六翼等[9-14].本文構造了一個新的混沌系統(tǒng)，與廣義Lorenz系統(tǒng)族相比，它可以產(chǎn)生單翼、雙翼、三翼及四翼混沌吸引子，具有更加豐富的動力學特性.

1 混沌系統(tǒng)模型

文中提出的混沌系統(tǒng)模型為

式(1)中:x，y，z為狀態(tài)變量；d為系統(tǒng)參數(shù).

當d等于2.0，3.0，3.6，5.0時，系統(tǒng)(1)產(chǎn)生單翼、雙翼、三翼和四翼的吸引子，相圖如圖1所示.

(a) x-y平面(d=2.0) (b) x-z平面(d=2.0)

(c) y-z平面(d=2.0) (d) x-y平面(d=3.0)

(e) x-z平面(d=3.0) (f) y-z平面(d=3.0)

(g) x-y平面(d=3.6) (h) x-z平面(d=3.6)

(i) y-z平面(d=3.6) (j) x-y平面(d=5.0)

(k) x-z平面(d=5.0) (l) y-z平面(d=5.0)圖1 混沌系統(tǒng)(1)的混沌吸引子在相平面上的投影Fig.1 Phase portraits of chaotic attractors of chaotic system (1)

2 混沌系統(tǒng)的特性分析

2.1 對稱性

系統(tǒng)(1)關于y=-x對稱，即做變換(x，y，z)→(-x，-y，-z)后，系統(tǒng)保持不變，這與一般混沌系統(tǒng)關于Z軸對稱不同.

2.2 耗散性

因為有

因此，系統(tǒng)(1)的散度不一定總小于0，故直接決定系統(tǒng)(1)的散度是比較困難的.這與一般具有散度小于零的混沌系統(tǒng)有著顯著的不同.

2.3 平衡點及穩(wěn)定性

由此可解得系統(tǒng)(1)只有一個平衡點S(0，0，0).

在平衡點S(0，0，0)，線性化系統(tǒng)(2)得其Jacobian矩陣為

令det(J-λI)=0，可解得Jacobian矩陣的特征方程為

1) 當d=2.0時，解得相應的特征根λ1=-1，λ2，3=0.333 3±0.471·i；

2) 當d=3.0時，解得相應的特征根λ1，λ2，3=0.5±0.288 7·i，特征根λ1為負實根，λ2，3是一對具有正實部的共軛復根，根據(jù)Routh-Hurwitz條件，這時平衡點S(0，0，0)是不穩(wěn)定鞍焦點；

3) 當d=3.6時，解得相應的特征根λ1=-1，λ2=0.763 3，λ3=0.436 7；

4) 當d=5.0時，解得相應的特征根λ1=-1，λ2=1.434 3，λ3=0.232 4，特征根不全為正或負，根據(jù)Routh-Hurwitz條件，這時平衡點S(0，0，0)是不穩(wěn)定鞍結點.

2.4 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

1) 當d=2.0時，計算得系統(tǒng)(1)的Lyapuvnov指數(shù)分別為LE1=0.048 4，LE2=0，LE3=-0.395，則系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)為

這時系統(tǒng)產(chǎn)生單翼混沌吸引子.

2) 當d=3.0時，可得系統(tǒng)(1)的Lyapuvnov指數(shù)分別為LE1=0.048 4，LE2=0，LE3=-0.276 2，系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)為

這時系統(tǒng)產(chǎn)生雙翼混沌吸引子.

3) 當d=3.6時，可得系統(tǒng)(1)的Lyapuvnov指數(shù)分別為LE1=0.028 6，LE2=0，LE3=-0.244 3.系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)為

這時系統(tǒng)產(chǎn)生三翼混沌吸引子.

4) 當d=5.0時，計算得系統(tǒng)(1)的Lyapuvnov指數(shù)分別為LE1=0.077 8，LE2=0，LE3=-0.244.系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)為

這時系統(tǒng)產(chǎn)生四翼混沌吸引子.

系統(tǒng)(1)具有一個正的Lyapunov指數(shù)，且其Lyapunov維數(shù)是分數(shù)，因而系統(tǒng)(1)是混沌的.

3 系統(tǒng)的電路實現(xiàn)

文中用線性電阻、電容、模擬乘法器和運算放大器設計了一個模擬電路系統(tǒng)，以實現(xiàn)所提出的新混沌系統(tǒng)(1)，其實現(xiàn)電路如圖3所示.采用模擬乘法器AD633JN，實現(xiàn)系統(tǒng)中非線性乘積項的乘法運算；運算放大器選用LF347N，其電源電壓VCC=15 V，VEE=-15 V，輸出飽和值Vsat=±13.5 V，它分別與電容、線性電阻組合實現(xiàn)積分、加減和反相等運算.

圖2 混沌系統(tǒng)(1)的電路實現(xiàn)Fig.2 Circuit of implemented chaotic system (1)

通過在Multism 12仿真平臺上運行圖2所示的電路系統(tǒng)，并借助于虛擬示波器分別得到了當d等于2.0，3.0，3.6，5.0時的相圖，如圖3所示.

(c) 三翼 (d) 四翼圖3 混沌系統(tǒng)(1)的混沌吸引子的仿真分析Fig.3 Experimental observation of chaotic attractor of chaotic system (1)

由圖3可知：與數(shù)值仿真相比，所獲得的結果與數(shù)值仿真非常接近，這說明系統(tǒng)(1)中存在的混沌吸引子可以通過實際電路實現(xiàn).

4 結束語

提出一個新的混沌系統(tǒng)，與己有混沌系統(tǒng)相比較，該系統(tǒng)只有一個零平衡點，并且在不同參數(shù)下零平衡點性質(zhì)不同，可以產(chǎn)生單、雙、三及四翼混沌吸引子，具有更加豐富的動力學特性.此外，系統(tǒng)是關于y=-x對稱的，其散度不是常數(shù).該混沌系統(tǒng)在較大的參數(shù)范圍內(nèi)具有復雜的動力學特性，在通信的同步控制和圖像處理方面更具有理論和工程應用價值.

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(責任編輯： 錢筠 英文審校： 崔長彩)

Construction of Chaotic System With Multi-Winged Attractors and Its Circuit Implementation

HU Chunhua1，2， WANG Zhonglin3， WANG Chunmei4， SUN Ping2

(1. Department of Electronics Engineering, Binzhou University， Binzhou 256603， China;2. School of Physics and Electronics, Shandong Normal University， Jinan 250014， China;3. College of Aeronautical Engineering, Binzhou University， Binzhou 256603， China；4. College of Information Engineering, Binzhou University， Binzhou 256603， China)

A novel chaotic system with single zero-balanced point is constructed in this research. The system is different from the generalized Lorenz system with its divergence， symmetry and the stability of zero-balanced point. The new system is able to produce single-winged， double-winged， three-winged and four-winged chaotic attractors. In addition， a simulation circuit of the system is designed to implement the proposed system. The circuit simulation results are inagreement with numerical simulation and dynamic analysis， which verifies the chaotic characteristics of the proposed system. Keywords：chaotic system； multi-winged attractor； electronic circuit； Lyapunov index； Multism 12 simulation platform

10.11830/ISSN.1000-5013.201703004

2016-11-16

胡春華(1979-)，女，副教授，博士，主要從事EDA技術與混沌理論應用的研究.E-mail:bzhuchunhua@126. com.

山東省自然科學基金資助項目(ZR2014FQ019)； 山東省濱州市科技發(fā)展計劃項目(2014ZC0208)； 濱州學院科研基金資助項目(BZXYG1618)

TN 914.42

A

1000-5013(2017)03-0300-06