陳文雄

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

具有漸近二次項的一階離散型哈密爾頓系統(tǒng)同宿軌的存在性

陳文雄

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

討論具有漸近二次項的一階離散型哈密爾頓系統(tǒng)同宿軌的存在性.在適當?shù)臈l件下，利用強不定泛函的臨界點定理得到漸近二次的哈密爾頓系統(tǒng)至少有一個非平凡的同宿軌.

哈密爾頓系統(tǒng)； 離散型； 同宿軌； 漸近二次； 臨界點理論

1 預(yù)備知識

許多學者通過各種方法研究連續(xù)哈密爾頓系統(tǒng)的各種解的存在性及多重性[1-13]，離散型哈密爾頓系統(tǒng)的研究也得到一些成果[14-24].目前，對于離散型系統(tǒng)解的存在性大多數(shù)都集中于周期解，而同宿軌的結(jié)果并不多.本文研究的一階離散型哈密爾頓系統(tǒng)為

JH(t，x(t)).

(2)

2 基本假設(shè)與主要結(jié)果

關(guān)于非線性項作以下5點假設(shè)：

R0) 存在正整數(shù)T，使得S(n+T)=S(n)，并且對所有n∈Z,J0S(n)是正定矩陣；

R1)R(n，·)∈C1(R2N，R)，對于n∈Z,z∈R2N均有R(n+T，z)=R(n，z)；

R2)R(n，z)≥0，當|z|→0時，有R(n，z)=o(|z|)；

R3) 當|z|→∞時,R(n，z)-S∞(n)z=o(|z|),其中，S∞(n)是實對稱矩陣，且λ∞∶=λS∞>2+Λ0；

文中得出如下主要結(jié)果.

定理1 設(shè)條件R0)～R4)均成立，則系統(tǒng)(1)至少存在一個非平凡的同宿軌.

3 變分框架

(3)

若定義空間E上兩個算子A及S，即Ax={-JΔLx(n-1)}n∈Z，Sx={-S(n)x(n)}n∈Z，x∈E，則A及S均是有界線性的自伴算子[14].

(4)

由條件R1)～R3)可知，對任意的ε>0,p≥2，存在Cε>0，使得

|R(n，z)|≤ε|z|+Cε|z|p-1， |R(n，z)|≤ε|z|2+Cε|

且由空間E可連續(xù)嵌入到空間lp(Z，R2N)(2

若x∈E是泛函Φ的一個臨界點，則由式(6)可知，x是系統(tǒng)(1)的一個同宿軌.因此，要證明文中結(jié)果成立，只需證明泛函Φ有非平凡的臨界點即可.

為了建立合適的變分框架，需要對自伴算子A+S的譜結(jié)構(gòu)進行分析.以σ(A+S)和σe(A+S)分別表示算子A+S的譜和本質(zhì)譜，則關(guān)于A+S的譜有以下的結(jié)論.

命題 1 設(shè)R0)成立，則λ0>0,σ(A+S)=σe(A+S)，且σ(A+S)?[-2-Λ0-λ0]∪[λ0，2+Λ0].

證明 由R0)及λ0的定義可知，λ0>0.然后，由文獻[14]可得σ(A+S)=σe(A+S)，且σ(A+S)?R/(-λ0，λ0).為了證明最后一個結(jié)論，只需證‖A+S‖≤2+Λ0.首先，有

(8)

根據(jù)算子A+S的譜結(jié)構(gòu)，空間E具有正交直和分解，即E=E-⊕E+，x=x-+x+.其中：E-，E+均是E的無限維子空間，且在E-，E+上分別有

用|A+S|和|A+S|1/2分別表示算子A+S的絕對值和算術(shù)平方根算子，并賦予空間E新的內(nèi)積(x，y)=(|A+S|1/2x，|A+S|1/2y)l2，則空間(E，(·，·))是希爾伯特空間，且可誘導(dǎo)范數(shù)‖x‖=(x，x)1/2.由命題1可得λ0|x|l2≤‖x‖≤(2+Λ0)|x|l2.于是，(E，‖·‖)和(E，|·|l2) 是等價的巴拿赫空間，并且不難得到正交分解E=E-⊕E+，x=x-+x+.對于(·，·)和(·，·)l2均成立.如此可將泛函Φ改寫成

(10)

從上述的討論可知，Φ是強不定泛函.

以下總假設(shè)U是可分的自反空間.給定可數(shù)子集Σ?U*，對每個s∈Σ可定義半范數(shù)，有ps∶w→R，ps(w)=|s(u)|+‖v‖，w=u+v∈U⊕V.從而這一族半范數(shù)可誘導(dǎo)拓撲TΣ.由參考文獻[25]，有以下的定理(文獻[25]定理4.4的特例).

定理2 設(shè)Φ∈C1(W，R)滿足以下4個條件：

Φ0) 對任意c∈R，Φc是拓撲TΣ中的閉集,Φ′∶(Φc，TΣ)→(W*，ω*)是連續(xù)的，其中，ω*表示弱*拓撲；

Φ1) 對任意c>0存在ζ>0使得當w∈Φc時，有‖w‖≤‖PVw‖；

Φ2) 存在ρ>0使得κ=infΦ(SρV)>0，其中，SρV={v∈V∶‖v‖=ρ}；

Φ3) 存在R>0和e∈V∶‖e‖=1使得supΦ(?Q)≤κ，Q={w=u+te∶t≥0，u∈U，‖w‖≤R}，則泛函Φ存在Cc序列{wk}，且c∈[κ，supΦ(Q)].

4 環(huán)繞結(jié)構(gòu)和Cc序列

為了應(yīng)用定理2討論函Φ的環(huán)繞結(jié)構(gòu)，即Φ滿足Φ2)及Φ3).由不等式(4)不難得到下面的引理.

引理2 若條件R0)～R3)成立，則對于任意e∈E+，只要‖e‖=1，則存在R>0，使得當e∈E-⊕Re∶‖x‖≥R時，有Φ(x)≤κ.

(11)

由此可得t≠0，若不然，由式(11)有

(12)

|t|2-‖y-‖

再由式(11)，(14)可得

這是一個矛盾，所以引理的結(jié)論是成立的.

由引理1，2可知，泛函Φ具有環(huán)繞結(jié)構(gòu)，即下面的引理成立.

引理3 若條件R0)～R3)成立，設(shè)e∈E+，且‖e‖=1，則存在R0>0,使supΦ(?Q)≤κ,Q={x=x-+te∶t≥0，x-∈E-，|x|≤R0}.

而對于泛函Φ的Cc序列，有以下性質(zhì)成立.

引理4 若條件R0)～R4)成立，則Φ的任意Cc序列均有界.

證明 設(shè)有序列{xk}?E滿足

Φ(xk)→c， (1+‖

則存在C0>0，使得

(n)).

(18)

假設(shè)序列{xk}無界，則在子列的意義下有‖xk‖→∞.令yk=xk/‖xk‖，則‖yk‖=1.又由于有

所以，結(jié)合式(17)可得

下面分兩種情形進行討論.

故而有

類似引理2的討論可證明

|||w(n)|

這是不可能的，事實上，對任意的x∈E，有

|(A+S)x-S∞x|l2≥|S∞x|l2-|(A+S)x|l2≥(λ∞-2-Λ0)|x|l2.

而由條件R3)可知，λ∞-2-Λ0>0，這意味著0?σ(A+S-S∞).

(29)

這與式(18)矛盾.

綜上所述，引理4的結(jié)論成立.

5 主要結(jié)論的證明

對于定理1的證明可應(yīng)用定理2.取U=E-和V=E+，則U=E-是可分的自反空間，從而可取U*的可數(shù)子集Σ?U*.

定理1的證明,泛涵Φ滿足Φ0)和Φ1)(證明是一個相對標準的過程，在此不再累述，可參見文獻[13]).引理3說明泛函Φ具有環(huán)繞結(jié)構(gòu)，即滿足Φ2)和Φ3).由定理2可知，泛涵Φ存在Cc序列{xk}?E，且其水平c≥κ>0，又由引理4可知，序列{xk}是有界的.

不妨設(shè)‖xk‖≤M(M>0)，則等式

(30)

成立.因此，可得存在τ>0及nk∈Z，使得|xk(nk)|≥τ.若不然由引理3的證明，可得|xk|lp→0(p>2).

(31)

這與ε

[1] BARTSCH T，DING Yanheng.Homoclinic solutions of an infinite-dimensional Hamiltonian system[J].Math Z,2002,240(2):289-310.

[2] ARIOLI G，SZULKIN A.Homoclinic solutions of Hamiltonian system with symmetry[J].Journal of Differential Equations,1999,158(158):291-313.

[3] ZELSTI V C,EKELAND,SéRé E.A variational approach to homolinic orbits in Hamiltonian systems[J].Math Ann,1990,288(1):133-160.

[4] DING Yanheng，GIRARDI M.Infinitely many homoclinic orbits of a Hamiltonian system with symmetry[J].Nonlinear Anal,1999,38(3):391-415.

[5] DING Yanheng,WILLEM M.Homoclinic orbits of a Hamiltonian system[J]. Z Angew Math Phys, 1999, 50(5):759-778.

[6] HOFER H,WYSOCKI K.First order elliptic systems and the existence of homoclinic orbits in Hamiltonian systems[J].Math Ann,1990,288(1):483-503.

[7] SéRé E.Existence of infinitely many homoclinic orbits in Hamiltonian systems[J].Math Z,1992,209(1):27-42.

[8] SZULKIN A，ZOU Wenming.Homoclinic orbits for asymptotically linear Hamiltonian systems[J].J Funct Anal,2001,187(1):25-41.

[9] TANAKA K.Homoclinic orbits in a first order superquadratic Hamiltonian system: Convergence of subharmonic orbits[J].J Differ Equations,1991,94(2):315-339.

[10] DING Y H.Multiple homoclinic in a Hamiltonian system with asymptotically or super linear terms[J].Comm Cont Math,2006,8(4):453-480.

[11] DING Yanheng，JEANJEAN L.Homoclinic orbits for a nonperiodic Hamiltonian system[J].J Differ Equations,2007,237(2):473-490.

[12] DING Yanheng，LEE C.Existence and exponential decay of homoclinics in a nonperiodic superquadratic Hamiltonian system[J].J Differ Equations,2009,246(7):2829-2848.

[13] 梁小花，張金順.一個N維Hamilton系統(tǒng)的Painleve′分析與精確解[J].華僑大學學報(自然科學版)，2007,28(3):327-329.

[14] CHEN Wenxiong，YANG Minbo，DING Yanheng.Homoclinic orbits of first order discrete Hamiltonian systems with super linear terms[J].Science China Mathematics,2011,54(12):2583-2596.

[15] YU Jianshe，BIN Honghua，GUO Zhiming.Multiple periodic solutions for discrete Hamiltonian systems[J].Nonlinear Anal,2007,66(7):1498-1512.

[16] GUO Zhiming，YU Jianshe.Periodic and subharmonic solutions for superquadratic discrete Hamiltonian systems[J].Nonlinear Anal,2003,55(7/8):969-983.

[17] ZHENG Bo.Multiple periodic solutions to nonlinear discrete Hamiltonian systems[J].Advancesin Difference Equations,2008,2007(1):1-13.

[18] DENG Xiaoqing.Periodic solutions for subquadratic discrete Hamiltonian systems[J].Advancesin Difference Equations,2008,2007(1):1-16.

[19] DENG Xiaoqing，CHENG Gong.Homoclinic orbits for second order discrete Hamiltonian systems with potential changing sign[J].Acta Appl Math，2008,103(3):301-314.

[20] AHLBRANDT C D.Equivalence of discrete Euler equations and discrete Hamiltonian systems[J].J Math Anal Appl，1993,180(2):498-517.

[21] BOHNER M.Linear Hamiltonian difference systems: Disconjugacy and Jacobi-type conditions[J].J Math Anal Appl，1996,199(3):804-826.

[22] CHEN S.Disconjugacy, disfocality, and oscillation of second order difference equations[J].J Differ Equations，1994,107(107):383-394.

[23] ERBE L H，YAN Pengxiang.Disconjugacy for linear Hamiltonian difference systems[J].J Math Anal Appl,1992,167(2):355-367.

[24] HARTMAN P.Difference equations: Disconjugacy, principal solutions, Green′s functions, complete monotonicity[J].Trans Amer Math Soc,1978,246(12):1-30.

[25] BARTSCH T，DING Yanheng.Deformation theorems on non-metrizable vector spaces and applications to critical point theory[J].Math Nachr,2006,279(12):1267-1288.

(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 黃心中)

Existence of Homoclinic Orbit in First Order Discrete Hamiltonian System With Asymptotically Quadratic Term

CHEN Wenxiong

(School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

This paper discusses the existence of homoclinic orbit in first order discrete Hamiltonian system with asymptotically quadratic term. Under certain assumptions， we obtain that the asymptotical Hamiltonian system has at least one non-trivial homoclinic orbit via critical point theory for strongly indefinite functional. Keywords：Hamiltonian system； discrete type； homoclinic orbit； asymptotically quadratic； critical point theory

10.11830/ISSN.1000-5013.201703025

2016-09-18

陳文雄(1981-)，男，講師，博士，主要從事線性分析的研究.E-mail:cwx2636@hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(11226115)

O 175.7

A

1000-5013(2017)03-0424-06