吳東東， 陳行堤

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

右半平面調(diào)和映照的卷積

吳東東， 陳行堤

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

調(diào)和映照； 卷積； 凸映照； 單葉性判別； 幾何特征；Cohn法則

1 預(yù)備知識

兩個調(diào)和映照的卷積映照的單葉性判別得到不少學(xué)者的研究[3-9].Dorff[5]證明了如下定理.

Dorff等[6]證明了如下的引理以及兩個定理.

2 主要結(jié)果及證明

式(3)中:-A，-B，-C是三次多項式

的3個根(A，B，C可能相等).

下面引用Cohn法則[10]的引理B.

證明 假設(shè)-A，-B，-C是式(4)的3個根，則有

從而有|ABC|=|a/2|≤1/2<1,即-A，-B，-C這3個根中至少有一個根在單位圓盤D內(nèi).

當(dāng)a∈(0，1]時，由t(z)可構(gòu)造

所以有|-3a2/4-a/2+1|<|1-a2/4|.再應(yīng)用t1(z)可構(gòu)造

當(dāng)a∈(0，1]時，有

(-2+2a+a2)2-(-4+a+2a2)2=-3(a+1)(a-1)(a+2)(a-2)≤0.

另外，當(dāng)a=0時，第二復(fù)伸張w(z)=-z2為定理B中θ=π，n=2的特殊情形.因此，a∈[0，1]時定理1成立.

對h+g=z/(1-z)進行求導(dǎo)，可得

進一步對h′，g′求積分可得

而且有

通過Mathematica軟件，f和f0*f分別把單位圓盤映成的圖像，如圖1所示.

(a) f (b) f0*f 圖1 單位圓盤映成的圖像Fig.1 Mapping unit disk onto domains

因此，可得

類似的有

所以有

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[7] LI Liulan,PONNUSAMY S.Solution to an open problem on convolutions of harmonic mappings[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(12):1647-1653.

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(責(zé)任編輯： 錢筠 英文審校： 黃心中)

Convolution of Harmonic Mapping in Right-Half Plane

WU Dongdong， CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China)

harmonic mapping； convolution； convex mapping； univalent criterion; geometric properties; Cohn′s rule

10.11830/ISSN.1000-5013.201703026

2016-09-05

陳行堤(1976-)，男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11471128)； 福建省自然科學(xué)基金資助項目(2014J01013)； 華僑大學(xué)中青年教師科研提升計劃項目(ZQN-YXl10); 華僑大學(xué)研究生科研創(chuàng)新能力培育計劃項目(2016年度)

O174.55

A

1000-5013(2017)03-0430-05