江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校(225700) 俞杏明

也談基本不等式求最值的一個(gè)教學(xué)困惑的突破

江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校(225700) 俞杏明

1 問題提出

2 問題探究

圖1

圖2

事實(shí)上,f(x)≥g(x)x∈D等價(jià)于f(x)的圖像不低于g(x)的圖像,不等式取等號(hào)的意義僅表示兩曲線有交點(diǎn).當(dāng)g(x)為常數(shù)時(shí)(如圖2),交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為f(x)的最小值;當(dāng)g(x)為非常數(shù)函數(shù)時(shí)(如圖1),交點(diǎn)的縱坐標(biāo)一般不是f(x)的最小值.這就形象解釋了中的“=”僅表示不等式左右可以相等,所對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)圖像有公共點(diǎn).一般只有ab(或者a+b)為定值時(shí),該公共點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)才是所求最值.

3 解后反思

3.1直觀先于抽象,本質(zhì)重于形式人的認(rèn)知習(xí)慣是是先直觀再抽象.感性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生理解、掌握知識(shí)的支柱.把比較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化、形象化,為學(xué)生感知、理解、掌握創(chuàng)造條件,使知識(shí)的生成符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.這也就是建構(gòu)主義理論提倡的“意義建構(gòu)”的過程.

令z=(a+2b)(a?b)(5?3a)(a+2b＞0,a?b＞0且其對(duì)應(yīng)的圖像為曲面.應(yīng)用三元基本不等式求最值過程中的“湊定、取等”就是保證該曲面與平行于xOy的平面相切,此時(shí)z=(a+2b)(a?b)(5?3a)的最大值就是切點(diǎn)在z軸上對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的z值.

類似地,應(yīng)用n元基本不等式a1+a2...+an≥求最值過程中的“湊定、等號(hào)”的意義同樣可以用維數(shù)至多n?1維空間中的圖形關(guān)系解釋.

[1]王峰.基本不等式求最值的一個(gè)教學(xué)困惑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上月刊),2015,4.

[2]王勝林.基本不等式求最值的一個(gè)教學(xué)困惑的另類突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上月刊),2016,3.