貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550001) 貴州省黔西縣新仁苗族鄉(xiāng)化竹小學(xué)(551505) 金龍

邏輯思維能力的培養(yǎng)與提高
——緣于一道幾何題的多種解法

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550001) 貴州省黔西縣新仁苗族鄉(xiāng)化竹小學(xué)(551505) 金龍

有感于近段時(shí)間以來一直關(guān)注的關(guān)于數(shù)學(xué)問題的一題多解,筆者從分析問題、解決問題的視角,論述學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)和提高,以期與讀者共同分享.

1.問題的提出

如圖所示,已知在直角梯形ABCD中,∠B=90?,∠C= 45?,AD//BC,且AD=1,BC= 4,E為AB的中點(diǎn),EF//DC交BC于點(diǎn)F.求EF的長.

圖1

2.問題的分析

遇到梯形問題,我們通常的做法是先添加適當(dāng)?shù)妮o助線將其轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形的組合圖形,然后再運(yùn)用相關(guān)的知識將其解決.梯形問題的求解過程中常常會從以下六種情形中考慮添加輔助線的方式:

情形1:“作高”:使梯形的兩腰在兩個(gè)直角三角形之中,如圖2所示;

情形2:“平移對角線”:使梯形的兩條對角線在同一個(gè)三角形之中,如圖3所示;

圖2

圖3

情形3:“延長兩腰”:構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形,如圖4所示;

情形4:“等積變形”:連結(jié)梯形一腰的端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)并延長,與底邊的延長線相交于一點(diǎn),從而構(gòu)成三角形,如圖5所示;

圖4

圖5

情形5:“平移腰”:過梯形上底端點(diǎn)作一腰的平行線,從而構(gòu)造一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形,如圖6所示;

情形6:“過上底中點(diǎn)平移兩腰”:過梯形上底中點(diǎn)作兩腰的平行線,從而構(gòu)造一個(gè)三角形和兩個(gè)平行四邊形,如圖7所示.

圖6

圖7

基于本題的特殊背景,我們還可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用平面解析幾何的相關(guān)知識將問題輕松解決.

3.問題的解決

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

4.問題的思考

4.1 就題論題

解法1至解法7為本題的常規(guī)解法,它們的生成都要求學(xué)生具有三角形和平行四邊形的相關(guān)知識儲備,但同時(shí)不同的解法背后又體現(xiàn)出不同的學(xué)生在思維方式和知識結(jié)構(gòu)上的差異.其中,解法1的生成源于對情形①所涉及的知識的理解與掌握,解法2的生成源于對情形②所涉及的知識的理解與掌握,解法3的生成源于對情形 ③所涉及的知識的理解與掌握,解法4的生成源于對情形④所涉及的知識的理解與掌握,解法5的生成源于對情形⑤所涉及的知識的理解與掌握,解法6的生成源于對情形⑥所涉及的知識的理解與掌握,而解法7的生成則源于對情形④和情形⑤所涉及的知識的理解與靈活運(yùn)用.解法8從函數(shù)視角出發(fā),引入了平面直角坐標(biāo)系,使得梯形問題迎刃而解.

綜合分析,不難發(fā)現(xiàn),雖然以上解法與上文8種解法相比,略顯繁沉,但它卻更加接近問題的本質(zhì),更加適宜推廣.

4.2 題外之音

日常的教育教學(xué)過程中,我們面對的是一群活潑可愛的個(gè)體——學(xué)生,他們之間或許由于心理發(fā)展的不平衡、或許出于思維習(xí)慣的差異、或許源于已有知識結(jié)構(gòu)的差距,當(dāng)面對同一個(gè)問題時(shí),每個(gè)個(gè)體所作出的反應(yīng)也就相應(yīng)地有所不同,所以我們當(dāng)然不能苛求每一位學(xué)生對同一知識點(diǎn)的掌握都要達(dá)到同等的程度.正如在解決上文的梯形問題時(shí),不可能每一位學(xué)生想到的解法都一樣,那么當(dāng)在教育教學(xué)實(shí)踐中遇到諸如上述的問題時(shí),為了“趕時(shí)間、抓進(jìn)度”,我們是否只挑其中的一種或兩種解法進(jìn)行教學(xué)就可以了呢?筆者竊以為答案當(dāng)然是否定的.解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有機(jī)組成部分,它也是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件之一.不同的解題方法體現(xiàn)的是不同的思維方式、不同的知識結(jié)構(gòu),通過對各種方法的深入剖析,不僅可以使學(xué)生的邏輯思維能力得到培養(yǎng),還可以進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.同時(shí),注重解題后的反思與總結(jié),反思解題的思維過程,總結(jié)各種解法的優(yōu)劣,使知識與技能形成縱橫聯(lián)系,這也是實(shí)現(xiàn)新一輪數(shù)學(xué)課程改革中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目的的有效途徑之一.

美國教育評論家貝斯特(A.E.Bestor)如是說:“學(xué)校的存在總要教些什么東西,這個(gè)東西就是思維的能力.”、“真正的教育就是智慧的訓(xùn)練.……經(jīng)過訓(xùn)練的智慧乃是力量的源泉.”可見思維能力的獲得是可以通過后天的訓(xùn)練而達(dá)成的,邏輯思維能力的培養(yǎng)和提高當(dāng)然也不例外.“真正有用的訓(xùn)練,是理解若干一般原則,對于這些原則在各種具體情況下的應(yīng)用有徹底的基礎(chǔ)訓(xùn)練.”(伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素《教育的目的》),從這個(gè)意義出發(fā),在面臨諸如上述的梯形問題時(shí),我們徹底而深刻的追根溯源就顯得尤為必要了.

“……智力、情感和意志也象肌肉一樣,如果不加鍛煉和給以正常的負(fù)擔(dān),它們反而會衰退,不僅得不到應(yīng)有的改進(jìn),有時(shí)還會變得遲鈍起來.”(贊可夫《和教師的談話》),結(jié)合筆者的親身體驗(yàn),筆者竊以為在日常的教育教學(xué)過程中,盡量多地開展綜合與實(shí)踐活動是培養(yǎng)和提高學(xué)生邏輯思維能力的有效方式.通過綜合與實(shí)踐活動的開展,學(xué)生不僅鞏固了理論知識,也習(xí)得了解決實(shí)際問題的能力;同時(shí),綜合與實(shí)踐活動的開展也能拉近師生之間在情感上的距離,這將為下一步的有效教學(xué)奠定良好的基礎(chǔ).透過綜合與實(shí)踐活動,我們應(yīng)該看到,相比傳統(tǒng)的教育教學(xué)而言,學(xué)生在活動中獲得的不僅僅只有枯燥的理論知識,還有靈活多變的實(shí)踐能力.