余明芳 王欽敏

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，福建 福州 350025）

方形數(shù)陣的求和運(yùn)算及其應(yīng)用

余明芳 王欽敏

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，福建 福州 350025）

將方形數(shù)陣看作是數(shù)列在二維形式上的一種推廣，可以按某種方式歸納出許多方形數(shù)陣的數(shù)字變化規(guī)律，給出它們的通項(xiàng)與求和運(yùn)算方式，并將其應(yīng)用于一些數(shù)列求和問題中。方形數(shù)陣求和運(yùn)算及其應(yīng)用問題，是數(shù)列問題的自然延伸，是數(shù)列章節(jié)開展探究式教學(xué)的良好素材。

方形數(shù)陣；求和運(yùn)算；自然數(shù)等冪和

一個數(shù)列中的數(shù)，不僅具有次序，而且大都具有一定的變化規(guī)律，我們可歸納其變化規(guī)律獲得許多數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式。在各種圖式的數(shù)陣中，正方形圖式的數(shù)陣最為常見，筆者發(fā)現(xiàn)，如果將方形數(shù)陣看作是數(shù)列在二維形式上的一種推廣，也可以歸納許多方形數(shù)陣的變化規(guī)律，求出其通項(xiàng)與所有項(xiàng)之和的公式，并應(yīng)用于一些數(shù)列求和問題中。

一、方形數(shù)陣的求和運(yùn)算

在如下所示的n階方形數(shù)陣中，記其第m行第n列的數(shù)為通項(xiàng)amn，接著按數(shù)陣中標(biāo)示的線路，分別記A1=a11，A2=a21+a22+a12，A3=a31+a32+a33+a23+a13，…，Am=am1+am2+…+amm+…+a2m+a1m，則方形數(shù)陣所有項(xiàng)之和S=A1+A2+A3+…+An，據(jù)此可將求方形數(shù)陣所有項(xiàng)之和問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的求和問題，對一些已知通項(xiàng)amn的方形數(shù)陣進(jìn)行求和運(yùn)算。

1.對通項(xiàng)為amn=mn(m,n∈Z+)的方形數(shù)陣，Am=am1+am2+…+amm+…+a2m+a1m=m+2m+3m+…+m2+(m -1)m+…+2m+m =m3，故

2.對通項(xiàng)為amn=a+(m-1)d+(n-1)r(m,n∈Z+)的方形數(shù)陣，

當(dāng)a=2，d=r=1時(shí)，通項(xiàng)為amn=m+n(m,n∈Z+)，S=n3+n2。

3.對通項(xiàng)為 amn=apm-1qn-1(m,n∈Z+)的方形數(shù)陣，所以

二、方形數(shù)陣求和運(yùn)算方式的應(yīng)用

我們可以構(gòu)造一個方形數(shù)陣，利用上述求方形數(shù)陣所有項(xiàng)之和的運(yùn)算方式，求出數(shù)列｛n2｝、｛n3｝的前n項(xiàng)和。

教師在采用任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法教學(xué)時(shí)，需重視學(xué)生的主體地位。因而，教師在設(shè)置實(shí)訓(xùn)課程時(shí)，需將實(shí)訓(xùn)內(nèi)容包含在每個實(shí)訓(xùn)任務(wù)當(dāng)中。教師需指導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、思考、解決問題，學(xué)生在完成實(shí)訓(xùn)任務(wù)之后，教師需及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，并鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。教師在設(shè)置實(shí)訓(xùn)任務(wù)時(shí)，需重視培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力及思維能力，為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)及發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教師在教學(xué)過程中，需重視對學(xué)習(xí)方法的講解。教師在設(shè)置車工實(shí)訓(xùn)任務(wù)時(shí)，需重視實(shí)訓(xùn)任務(wù)的層次性。由于每個學(xué)生的理解能力、綜合素質(zhì)水平不同，因此教師在設(shè)置實(shí)訓(xùn)任務(wù)時(shí)，需重視任務(wù)的有效性，做到因材施教，以保證教學(xué)效果。教師需指導(dǎo)學(xué)生自主分析、解決問題。

由12+22+32+…+n2=1+(1+2+1)+(1+2+3+2+1) +…+[1+2+3+…+n+(n-1)+…+2+1]與13+23+33+…+n3=12×1+22×2+32×3+…+n2×n =1+(1+2+1)2+(1+2+3+2+1)3+…+[1+2+3+…+n +(n-1)+…+2+1]n，易歸納并證得S=1k+2+2k+2+3k+2+…+nk+2=1k+22×2k+32×3k+…+n2×nk1k+(1+2+1)2k+(1+2+3+2+1)3k+…+[1+2+3+…+n +(n-1)+…+2+1]nk。

因而可構(gòu)造數(shù)陣

不難發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)陣與自然數(shù)等冪和問題有密切聯(lián)系，不妨稱其為自然數(shù)冪和數(shù)陣。我們可以利用這個數(shù)陣給出前n個自然數(shù)平方和公式與立方和公式的直觀模型。

1.當(dāng)k=0時(shí)，數(shù)陣為

數(shù)陣所有項(xiàng)之和為S=12+22+32+…+n2。若將數(shù)陣中的所有項(xiàng)按數(shù)陣中新給出的線路相加，又可得所

換一個角度看，將數(shù)陣左下部分逐行相加，再將右上部分逐列相加，數(shù)陣中所有項(xiàng)的和

從以上過程可見，自然數(shù)冪和數(shù)陣在數(shù)列求和問題中有獨(dú)特作用。

2.當(dāng)k=1時(shí)，數(shù)陣為

這時(shí)，數(shù)陣所有項(xiàng)之和為S=13+23+33+…+n3。

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這個數(shù)陣的各行各列均為等差

數(shù)列，其通項(xiàng)為aij=ij，所有項(xiàng)之和

換個角度觀察數(shù)陣，易看出數(shù)陣的第k列的n個數(shù)之和是第1列的n個數(shù)之和的k倍，故所有項(xiàng)的和應(yīng)為第1列的n個數(shù)之和的倍，從而可以直觀地看出等式成立。

方形數(shù)陣的求和運(yùn)算及其應(yīng)用問題，是數(shù)列問題的自然延伸，在數(shù)列章節(jié)教學(xué)中，將這些內(nèi)容作為探究式教學(xué)素材，可以幫助學(xué)生拓寬認(rèn)知視野，提高學(xué)習(xí)興趣，從更高層面理解數(shù)列的概念與相關(guān)知識間的關(guān)系。

［1］王欽敏.教材邊上好數(shù)學(xué)［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［2］王欽敏.如何對數(shù)學(xué)教材進(jìn)行有益的拓展與改造［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013(1).

［3］余明芳，王欽敏.例談高中數(shù)學(xué)探究性課題的選擇與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015(11).

（責(zé)任編輯：萬丙晟）

福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度重點(diǎn)課題“中學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題能力的培養(yǎng)研究”（項(xiàng)目編號：FJJKCGZ16-177）。