◎應(yīng)躍飛

(浙江省臨海市大田初級中學(xué)，浙江 臨海 317004)

優(yōu)化例題教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生思維

◎應(yīng)躍飛

(浙江省臨海市大田初級中學(xué)，浙江 臨海 317004)

例題教學(xué)時(shí)的一題多解、多題一解、一題多變是提高課堂教學(xué)有效性的重要途徑，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效措施.教師應(yīng)該以教材例題為抓手，巧妙地加以引發(fā)，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望，以增加主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力.本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，闡述了優(yōu)化例題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有關(guān)途徑與教學(xué)策略.

例題教學(xué)；思維培養(yǎng)；途徑策略

教材中的例題、習(xí)題都是精心挑選和設(shè)計(jì)的，具有一定的典型性和示范性，這些例題、習(xí)題可作為滲透新理念、傳授新知識、訓(xùn)練技能、培養(yǎng)能力的主要載體.教師可創(chuàng)造性地使用這些例題、習(xí)題，既可選擇一些適合一題多解或一題多變的例題、習(xí)題，也可以選擇適于多題一解的題組，為學(xué)生積極參與自主探究、合作交流提供豐富的學(xué)習(xí)資源，有利于學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，使學(xué)生在例題、習(xí)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化智能結(jié)構(gòu).

一、一題多解，培養(yǎng)廣闊性思維

一題多解，是指利用問題中的一些重要細(xì)節(jié)和特殊因素，想出各種不同的解法.一題多解既可以拓寬解題思路，開闊視野，優(yōu)化解題策略，尋求最佳解題捷徑，又可以突破定式思維，培養(yǎng)思維的廣闊性.

例1 (八年級下冊教材習(xí)題)如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形的外角平分線CF于點(diǎn)F.求證AE=EF.

圖1

圖2

圖3

師：如圖2，要證明線段相等，常需證兩個(gè)三角形全等，你們能否找出分別以AE和EF為邊的兩個(gè)全等三角形，若不能直接在圖中找到，能否通過添輔助線構(gòu)造出這樣的一對全等三角形？

生1：取AB中點(diǎn)M，連接ME.可得BE=BM=CE=AM，所以∠BME=∠BEM=45°，∠AME=∠ECF=135°,由∠AEF=90°易證得∠MAE=∠CEF,所以△AME≌△ECF,從而有AE=EF.

師：請問生1，這條輔助線你是如何想到的？

生1：我發(fā)現(xiàn)圖中隱含的∠BAE=∠CEF,才想到添這條輔助線來構(gòu)造全等三角形的.

師：很好！利用圖形中的一些特殊因素，尋找問題的突破口，是數(shù)學(xué)探究的一個(gè)常用方法！

生2：如圖3，當(dāng)過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，△ABE和△EMF看上去全等的可能性極大,但只能證明△ABE∽△EMF,無法證明兩個(gè)三角形全等.

師：證明兩個(gè)三角形全等至少需要一組對應(yīng)邊相等，但要證這兩個(gè)三角形的其中一組對應(yīng)邊相等確實(shí)不容易，但同學(xué)們能否利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步探究它們邊的關(guān)系呢？

師：不錯(cuò)！同學(xué)們解決問題的能力還是挺強(qiáng)的.

師：CF平分正方形的一個(gè)外角，我們可以得到45°的角，正方形性質(zhì)中有關(guān)于45°的角嗎？這能給你什么有益的啟示？

生4：如圖4，通過連接AC，并取AC中點(diǎn)M，連接EM，易證得∠AEM=∠FEC,∠AME=∠FCE=135°,ME=CE;從而△AME≌△FCE，進(jìn)一步得出AE=EF.

師：生4構(gòu)造出的△AEM可以看成由△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.我們能否類比這種構(gòu)造全等三角形的方法，通過平移或軸對稱來構(gòu)造全等三角形.

圖4

圖5

圖6

生5：如圖5，類比生4，可考慮將△ECF往正方形內(nèi)部平移，做法如下：取CD中點(diǎn)M，連接BM和EM，由△ABE≌△BCM，得到BM=AE，∠BAE=∠MBC，易證△BME≌△EFC，得到BM=EF，所以AE=EF.

生6：如圖6，類比生4，可考慮將△ABE沿直線BC折疊.做法如下：

延長AB交FC的延長線于點(diǎn)M，連接ME.由∠ABE=∠AEF=90°，可得∠BAE=∠FEC.再由CF是正方形ABCD外角平分線，可證得BM=BC=AC，所以∠BME=∠BAE=∠FEC.而∠FEC+∠F=∠BME+∠EMC=45°，進(jìn)而可得∠F=∠CME，所以EF=ME=AE.

師：只要我們善于多角度地觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中的一些特殊因素，抓住問題的本質(zhì)特征，就可能有不同的方法解決同一個(gè)問題.

本例題學(xué)生在教師引導(dǎo)、啟發(fā)下進(jìn)行了一題多解，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在強(qiáng)化了數(shù)學(xué)知識綜合運(yùn)用的同時(shí)，又提高了學(xué)生的遷移能力，對開闊學(xué)生的思路，活躍學(xué)生的思維是十分有益的，有利于創(chuàng)新思維的發(fā)展.

二、多題一解，培養(yǎng)收斂性思維

多題一解是指教師教學(xué)中有意識地選擇一些背景不同但本質(zhì)相同的一些習(xí)題進(jìn)行歸類分析,引導(dǎo)學(xué)生感悟同類問題的本質(zhì)，使其弄通一題而旁通多題，多題一解不但可以有效地提高學(xué)生的解題能力，同時(shí)還可培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維.

例2 (八年級上冊教材習(xí)題)如圖7，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖7

圖8

具體作法：作點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交直線l于點(diǎn)P.點(diǎn)P的位置即為所求.

例3 (八年級上冊教材習(xí)題)如圖9，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)

圖9

圖10

具體做法：如圖10，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河寬，連接AB′，與河岸EF相交于M，作MN⊥GH，則MN∥BB′且MN=BB′，于是四邊形MNBB′為平行四邊形，故NB=MB′.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，故橋建立在MN處符合題意.

以上兩題雖然題設(shè)情境不同，但解題思路相同，例2利用軸對稱性質(zhì)把BP+AP的最小值轉(zhuǎn)化為B′P+AP的最小值,再利用兩點(diǎn)之間線段最短求得點(diǎn)P的位置；例3利用平移的性質(zhì)把AM+NB的最小值轉(zhuǎn)化為AM+MB′的最小值，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求得點(diǎn)M的位置.這兩題本質(zhì)上都是“化折為直”，利用兩點(diǎn)之間線段最短來確定所求點(diǎn)的位置.加強(qiáng)“多題一解”訓(xùn)練，有助于學(xué)生把握一類題的本質(zhì)特征，起到了舉一反三、觸類旁通的效果，從而有效地培養(yǎng)了學(xué)生收斂性思維.

三、一題多變，培養(yǎng)發(fā)散性思維

一題多變是充分利用一些典型例題的可變性，改組、疊加、互換等，使知識向縱向或橫向延伸，不同方面揭示問題的本質(zhì)特征，擺脫思維定式的羈絆,培養(yǎng)發(fā)散性思維.

例4 (九年級下冊教材習(xí)題)如圖，有一銳角△ABC，BC=120，高AD=80，用它做成正方形零件，且正方形的一邊在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AC,AB上，問這個(gè)正方形零件的邊長是多少？

在分析并解決原題的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將問題不斷改編：

(1)

(1)當(dāng)其他條件不變，而截去的是矩形時(shí)，能否求出該矩形的最大面積？帶著這個(gè)問題，讓同桌學(xué)生展開討論、交流.經(jīng)過合作交流后，多數(shù)學(xué)生會利用二次函數(shù)的最值求得矩形的面積.

(2)去掉使正方形的邊在BC邊上的條件時(shí)，這個(gè)正方形與△ABC的位置關(guān)系有哪些情況？① 正方形的一邊FG在△ABC的外部，能否求出該正方形的邊長？(師生共同分析探索，說明不能求出正方形的邊長)然后引導(dǎo)學(xué)生編擬出函數(shù)問題，設(shè)正方形EFGH與△ABC的重疊部分的面積為y，正方形的邊長為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.② 正方形的一邊FG在△ABC的內(nèi)部，其他同上.

(3)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析、探究.將上面的正方形改變成等腰直角三角形EFG，EG平行于BC，點(diǎn)F與點(diǎn)A在EG的兩側(cè)，設(shè)此等腰直角三角形與△ABC的公共部分的面積為y，斜邊EG為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(4)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析、探究.若原題改變成三角形內(nèi)裁去一個(gè)最大的圓，能否求出該圓的半徑？問題的改變到等腰直角三角形后似乎已山重水盡了.但這個(gè)問題的提出，猶如“一石激起千層浪”，學(xué)生的討論、探索的熱情定會很高.但求解陷入困境，此時(shí)教師帶著這個(gè)問題剖析原因.因原題條件是BC，AD已知，只說明了這個(gè)三角形的面積一定，但三角形形狀是變化的(畫圖說明)，所以，這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑也無法求出，適當(dāng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使三角形形狀一定時(shí)，就可求出半徑.

創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，貫穿著數(shù)學(xué)教育的始終.數(shù)學(xué)的創(chuàng)新往往源于發(fā)散思維，創(chuàng)新能力的大小應(yīng)和發(fā)散思維能力成正比.由此可見，加強(qiáng)發(fā)散性思維能力的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié).例4的教學(xué)過程實(shí)際上是不斷提出問題和解決問題的活動(dòng)，通過問題的發(fā)現(xiàn)或問題的提出不斷地誘發(fā)著創(chuàng)新意識.

總之，教師應(yīng)立足教材并且創(chuàng)造性地使用教材，優(yōu)化例題教學(xué)，使學(xué)生落實(shí)基礎(chǔ)知識，形成技能，發(fā)展能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，協(xié)調(diào)發(fā)展，從而有效地培養(yǎng)創(chuàng)新能力，使例題教學(xué)真正地成為“授人以漁”！

[1]耿飛飛.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中知識促進(jìn)能力的發(fā)展——由一道習(xí)題的教學(xué)引起的思考[J].課程·教材·教法，2014(2):78-82.

[2]吳長明，吳長榮.創(chuàng)造性使用教材,讓數(shù)學(xué)課堂更活躍[J].科學(xué)咨詢(教育科研)，2015(7):98-99.

[3]何金明，楊柳.數(shù)學(xué)例題教學(xué)研究[J].教學(xué)與管理，2016(1):40-42.