◎金弘鑫

(浙江省蘭溪市聚仁教育集團(tuán)育才中學(xué)，浙江 蘭溪 321100)

“四步法”求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)

◎金弘鑫

(浙江省蘭溪市聚仁教育集團(tuán)育才中學(xué)，浙江 蘭溪 321100)

在近幾年各地中考中，出現(xiàn)了一些關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的問題.這類試題能全面考查數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，考查通過數(shù)學(xué)思考解決問題的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，因而，備受各地中考命題者的青睞.

“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)”的問題，以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為載體，求幾何圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，圖形上某一動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度，隱含了解析幾何“求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程”的雛形.而在現(xiàn)在的初中教材中，沒有明確軌跡的知識(shí)，所以，學(xué)生往往只從操作等直觀的方面去思考，許多學(xué)生甚至是一些數(shù)學(xué)比較優(yōu)秀的學(xué)生，對(duì)于如何解決這類問題缺少方法，無從下手.

解決“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)”的問題的策略，筆者歸納為“四步法”，即“一定、二猜、三證、四算”.“一定”起點(diǎn)、終點(diǎn)和若干特殊點(diǎn)；“二猜”運(yùn)動(dòng)路徑是圓弧還是線段(在初中階段主要考查的一般是圓弧型和線段型)，通過畫圖(起點(diǎn)、終點(diǎn)和若干特殊點(diǎn))應(yīng)該可以判斷出路徑類型；“三證”是證明，是結(jié)合已知條件的特點(diǎn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法說明自己的“猜”是正確的；“四算”，按照判斷的路徑類型及范圍來計(jì)算路徑長(zhǎng).下面舉例說明.

圖1

例1 (2014·金華)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P.

(1)若AE=CF.

① 求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

② 若AE=2，試求AP·AF的值；

(2)若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑的長(zhǎng).

解析 (1)① 可證△ABE≌△CBF，從而AF=BE，∠APB=120°；

② 略.

(2)若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況.

① 當(dāng)AE=CF時(shí)，

“一定”：起點(diǎn)為點(diǎn)A，終點(diǎn)為B，如圖2的點(diǎn)P；

“二猜”：圓??；

“三證”：由(1)可知在運(yùn)動(dòng)過程中，∠APB總為120°，所以點(diǎn)P在以AB為弦的一段弧上；

圖2

圖3

② 當(dāng)AE=BF時(shí)，

“一定”：起點(diǎn)為點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)，終點(diǎn)為C，特殊點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的位置；“二猜”：線段；

“三證”：可證△ABE≌△ABF，得∠PAB=∠PBA，所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；

評(píng)注：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)固定角的頂點(diǎn)時(shí)，軌跡很可能是條??；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在連接兩定點(diǎn)的線段的垂直平分線上，軌跡是線段.

圖4

圖5

解析 “一定”：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N(起點(diǎn))時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O(終點(diǎn))時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi；

“二猜”：線段(Bi在線段B0Bn上)；

“三證”：∵AN⊥ABn，AP⊥ABi，∴∠CAP=∠BnABi，

∴△ABnBi∽△ANP，∴∠ABnBi=∠ANP=45°.

又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，

∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑.

評(píng)注：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)固定角的某條邊上時(shí)，運(yùn)動(dòng)路徑為線段.

總之，解決這類問題時(shí)，首先要化動(dòng)為靜，確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，其路徑的形狀是什么圖形，再根據(jù)相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算出路徑的長(zhǎng).