◎顏士橋

(淮安市新馬高級(jí)中學(xué)，江蘇 淮安 211700)

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

◎顏士橋

(淮安市新馬高級(jí)中學(xué)，江蘇 淮安 211700)

數(shù)形結(jié)合的思想方法也是一種重要的數(shù)學(xué)策略，它包括兩個(gè)方面：“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”.數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種重要思想方法，也是一種智慧的解題技巧，它可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，煩瑣的問(wèn)題條理化，從而，便于找到簡(jiǎn)捷的解題思路，使問(wèn)題得到解決.

數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)解題；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法也是一種重要的數(shù)學(xué)策略，它包括兩個(gè)方面：“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”.其中“以形助數(shù)”即是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，它是以“形”為手段，以“數(shù)”為目的.數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種重要思想方法，也是一種智慧的解題技巧，它可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，煩瑣的問(wèn)題條理化，從而，便于找到簡(jiǎn)捷的解題思路，使問(wèn)題得到解決.

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，近幾年高考的解析幾何問(wèn)題、函數(shù)與不等式問(wèn)題、參數(shù)取值范圍問(wèn)題、集合問(wèn)題、立體幾何問(wèn)題等都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法，特別是填空題的后面幾個(gè)題目，有時(shí)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)處理能夠起到很好的效果.

下面結(jié)合具體的例子來(lái)進(jìn)一步闡述：

一、數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用

例1 已知奇函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，若f(1)=0，滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是________.

分析 函數(shù)f(x)比較抽象，欲解出目標(biāo)不等式是不可能的，注意到x·f(x)<0表明自變量與函數(shù)值異號(hào)，故可作出f(x)的圖像加以解決.

解析 作出符合條件的一個(gè)函數(shù)圖像(草圖即可)，可知x·f(x)<0的x取值范圍是(-1，0)∪(0，1).

圖像法解不等式具有運(yùn)算量小、思維量小、簡(jiǎn)捷明了等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)作圖像要求較高，必須能準(zhǔn)確迅速作出相關(guān)函數(shù)或方程的圖像，再結(jié)合具體條件要求分析出結(jié)論來(lái).圖像法實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用.

二、數(shù)形結(jié)合思想在參數(shù)取值范圍問(wèn)題中的應(yīng)用

解析 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=2x-m以及y=f(x)的圖像(如圖所示)，由于不等式f(x)≥2x-m恒成立，所以y=2x-m的圖像總在函數(shù)y=f(x)的圖像的下方，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，y=2x-m≤0，所以m≥-4，所以m的取值范圍是m≥-4.

三、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、方程中的應(yīng)用

四、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

例4 已知圓C：(x+2)2+y2=1，P(x，y)為圓C上任一點(diǎn).

(2)求x-2y的最大值、最小值.

(2)由x-2y可聯(lián)想到“目標(biāo)函數(shù)”，可視為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

將上式整理得kx-y+2-k=0.

只要具有一定的觀察能力，再掌握常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合的對(duì)應(yīng)類型，就能夠得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法處理這方面的問(wèn)題，同時(shí)，這里面也體現(xiàn)著一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，也就是把一些數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的具有數(shù)學(xué)特定含義的表達(dá)式，也即幾何特征，比如，變化率、斜率、距離、截距等.

可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種智慧的數(shù)學(xué)方法，備考中要仔細(xì)體會(huì)，牢固掌握，熟練應(yīng)用，使得我們的解題事半功倍.