◎王祥之 姜能廣

(1.濟(jì)南市技師學(xué)院，山東 濟(jì)南 250033；2.山東省淄博第五中學(xué)，山東 淄博 255028)

數(shù)形結(jié)合的思想方法與高考數(shù)學(xué)解題技巧

◎王祥之1姜能廣2

(1.濟(jì)南市技師學(xué)院，山東 濟(jì)南 250033；2.山東省淄博第五中學(xué)，山東 淄博 255028)

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法簡(jiǎn)介

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.

二、數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的問(wèn)題

縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：① 一元二次方程根的分布問(wèn)題；② 解不等式問(wèn)題；③ 函數(shù)零點(diǎn)(或者方程根)的問(wèn)題；④ 求函數(shù)最大值、最小值問(wèn)題(函數(shù)值域問(wèn)題)；⑤ 求參數(shù)的取值(取值范圍)；⑥ 復(fù)數(shù)的模的討論.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野.

三、典型例題

例1 若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在(-1,0)和(3,0)之間，求k的取值范圍.

圖1

分析 令f(x)=x2+2kx+3k，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f(x)=0的根，第一步，先畫(huà)出直角坐標(biāo)系，在橫軸上標(biāo)注(-1,0)和(3,0)兩個(gè)點(diǎn)，按題目條件畫(huà)出函數(shù)的圖像，第二步，根據(jù)圖像列出端點(diǎn)處函數(shù)值的不等式，對(duì)稱(chēng)軸處函數(shù)值的不等式和根的判別式不等式，本題可以根據(jù)根的存在定理不討論根的判別式.第三步，解不等式組得到參數(shù)的范圍.

圖2

例2 已知0

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

分析 判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖像y=a|x|與y=|logax|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像，易知兩圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選B.

圖3

四、總結(jié)提煉

數(shù)形結(jié)合法也叫圖解法，據(jù)題設(shè)條件作出所研究問(wèn)題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性做出正確的判斷，習(xí)慣上也叫數(shù)形結(jié)合法.有的選擇題可通過(guò)命題條件的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，做出函數(shù)的圖像或幾何圖形，借助于圖像或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖像的特征，得出結(jié)論，圖形化策略是以數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的一種解題策略.數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.特別是所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義，如，等式(x-2)2+(y-1)2=4.常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中應(yīng)用很廣.數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的直觀性，迅速做出正確的判斷是高考考查的重點(diǎn)之一；數(shù)形結(jié)合的解題策略在解有關(guān)選擇題時(shí)非常簡(jiǎn)便有效.不過(guò)運(yùn)用圖解法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖像、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯(cuò)誤的圖像反而會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇.歷年高考選擇題直接與圖形有關(guān)或可以用數(shù)形結(jié)合思想求解的題目約占50%左右.