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        從類似問題對(duì)比教學(xué)中獲得的思考

        2017-06-01 12:20:08江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué)
        數(shù)學(xué)大世界 2017年11期
        關(guān)鍵詞:分式最值橢圓

        江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 殷 峰

        從類似問題對(duì)比教學(xué)中獲得的思考

        江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 殷 峰

        從探討兩道類似問題的解法中,根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析和反思,教師調(diào)整解題方式,以提高教學(xué)效果,同時(shí)通過實(shí)例體驗(yàn),讓學(xué)生了解多解性思考的重要性。以培養(yǎng)學(xué)生的反思能力,養(yǎng)成反思習(xí)慣,達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

        解法;橢圓;直線;思維;定向;多解

        一、兩個(gè)問題

        在直線和橢圓位置關(guān)系的教學(xué)中,筆者列舉了兩道類似問題,分別如下:

        問題 1:已知過橢圓 的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與 橢圓交于 A,B 兩點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn),則 △ OAB 的 面積為問題2:已知過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線與橢圓交于A,B 兩點(diǎn),O 為坐標(biāo)原點(diǎn),則△ OAB 的面積的最大值為。

        這是兩個(gè)類似問題,屬于姊妹題。問題1是定直線求三角形面積問題,問題2是動(dòng)直線求三角形面積最值問題。從教學(xué)實(shí)踐來看,學(xué)生對(duì)于問題1的解答基本都能完成,但是對(duì)于問題2卻非常容易陷入解題困境,多數(shù)是運(yùn)算方面的,也有方式方法選擇方面的。筆者對(duì)兩個(gè)問題進(jìn)行了思考:將定直線改為動(dòng)直線之后,為什么學(xué)生犯錯(cuò)的可能性就大大升高了呢?針對(duì)這一疑惑,筆者展開了分析探究。

        二、對(duì)比分析

        此題組考查的內(nèi)容:(1)知識(shí)層面:直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)和三角形面積、函數(shù)求最值等內(nèi)容;(2)方法層面:化歸為函數(shù)求最值問題;(3)思想層面:利用代數(shù)解決幾何問題的解析思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等。

        對(duì)于問題 1,學(xué)生基本能掌握,但是對(duì)于問題 2,大部分學(xué)生將直線設(shè)為的形式,用解決相關(guān)列式,但是最終的問題主要是:其一,學(xué)生在引入直線時(shí)未進(jìn)行分類討論,即直線斜率不存在的情況沒有考慮;其二,學(xué)生不會(huì)求解高次分式型函數(shù)的最值。

        辨析解法:

        問題1:此題屬于定直線求三角形面積。

        分析:此法利用方程求解,這是大部分學(xué)生求解的思路,也是本題考查的主要意圖——弦長公式的應(yīng)用,方法常規(guī),因此學(xué)生易想到。

        問題2:此題屬于動(dòng)直線求三角形面積最值問題。動(dòng)直線可分為平行直線系和定點(diǎn)直線系。那么兩種動(dòng)直線對(duì)于三角形面積最值的求解又有何區(qū)別和聯(lián)系呢?為此,筆者改編為平行直線系求三角形面積最值的問題。

        分析:平行直線系變化過程中只保持了直線的傾斜程度不變,而未過定點(diǎn),因而不能將面積劃分為幾個(gè)小三角形面積的和或差,但可以用 化歸為二次函數(shù)求最值問題來解決,當(dāng)然在求解過程中,要強(qiáng)調(diào) 的作用。

        問題2解法辨析:

        法 一: 當(dāng) 直 線 AB 的 斜 率 不 存 在 時(shí),當(dāng) 直 線 AB 的 斜 率 存 在 時(shí), 設(shè) 直 線 AB: ,

        分析:此法容易想到,但是大部分學(xué)生都只能做到這里,面積的最值無法解下去。而這個(gè)分式函數(shù)的最值是函數(shù)較難的值域問題,學(xué)生對(duì)這樣的模型接觸不深,而且這個(gè)分式型函數(shù)的最值問題一直以來是學(xué)生的難點(diǎn)之處,因此講解這個(gè)分式型函數(shù)的最值求解方法之余還得介紹相對(duì)簡便的解決方法,例如:

        法二:由題意可知,斜率為0的直線無法構(gòu)成三角形,故可設(shè) 直 線 AB:

        從兩道類似問題的解決中,我們不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)算和思考是蹺蹺板的兩端,沒有思維的結(jié)果勢(shì)必導(dǎo)致大量運(yùn)算的產(chǎn)生,導(dǎo)致運(yùn)算困難重重;有高層次的思考,則降低了運(yùn)算的困難,讓問題的解決獲得了更多的思維含量,這正是教學(xué)所需要的。

        [1]吳成海 .?dāng)?shù)學(xué)試題創(chuàng)新應(yīng)著力于思維培養(yǎng) [J].中學(xué)數(shù)學(xué),2013(8).

        [2]王建鵬 .一道試題的析題展示 [J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2013(9).

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