江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 殷 峰

從類似問題對(duì)比教學(xué)中獲得的思考

江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 殷 峰

從探討兩道類似問題的解法中，根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分析和反思，教師調(diào)整解題方式，以提高教學(xué)效果，同時(shí)通過實(shí)例體驗(yàn)，讓學(xué)生了解多解性思考的重要性。以培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，養(yǎng)成反思習(xí)慣，達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

解法；橢圓；直線；思維；定向；多解

一、兩個(gè)問題

在直線和橢圓位置關(guān)系的教學(xué)中，筆者列舉了兩道類似問題，分別如下：

問題 1：已知過橢圓 的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與 橢圓交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 △ OAB 的 面積為問題2：已知過橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線與橢圓交于A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ OAB 的面積的最大值為。

這是兩個(gè)類似問題，屬于姊妹題。問題1是定直線求三角形面積問題，問題2是動(dòng)直線求三角形面積最值問題。從教學(xué)實(shí)踐來看，學(xué)生對(duì)于問題1的解答基本都能完成，但是對(duì)于問題2卻非常容易陷入解題困境，多數(shù)是運(yùn)算方面的，也有方式方法選擇方面的。筆者對(duì)兩個(gè)問題進(jìn)行了思考：將定直線改為動(dòng)直線之后，為什么學(xué)生犯錯(cuò)的可能性就大大升高了呢？針對(duì)這一疑惑，筆者展開了分析探究。

二、對(duì)比分析

此題組考查的內(nèi)容：（1）知識(shí)層面：直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)和三角形面積、函數(shù)求最值等內(nèi)容；（2）方法層面：化歸為函數(shù)求最值問題；（3）思想層面：利用代數(shù)解決幾何問題的解析思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等。

對(duì)于問題 1，學(xué)生基本能掌握，但是對(duì)于問題 2，大部分學(xué)生將直線設(shè)為的形式，用解決相關(guān)列式，但是最終的問題主要是：其一，學(xué)生在引入直線時(shí)未進(jìn)行分類討論，即直線斜率不存在的情況沒有考慮；其二，學(xué)生不會(huì)求解高次分式型函數(shù)的最值。

辨析解法：

問題1：此題屬于定直線求三角形面積。

分析：此法利用方程求解，這是大部分學(xué)生求解的思路，也是本題考查的主要意圖——弦長公式的應(yīng)用，方法常規(guī)，因此學(xué)生易想到。

問題2：此題屬于動(dòng)直線求三角形面積最值問題。動(dòng)直線可分為平行直線系和定點(diǎn)直線系。那么兩種動(dòng)直線對(duì)于三角形面積最值的求解又有何區(qū)別和聯(lián)系呢？為此，筆者改編為平行直線系求三角形面積最值的問題。

分析：平行直線系變化過程中只保持了直線的傾斜程度不變，而未過定點(diǎn)，因而不能將面積劃分為幾個(gè)小三角形面積的和或差，但可以用 化歸為二次函數(shù)求最值問題來解決，當(dāng)然在求解過程中，要強(qiáng)調(diào) 的作用。

問題2解法辨析：

法 一： 當(dāng) 直 線 AB 的 斜 率 不 存 在 時(shí)，當(dāng) 直 線 AB 的 斜 率 存 在 時(shí)， 設(shè) 直 線 AB： ，

分析：此法容易想到，但是大部分學(xué)生都只能做到這里，面積的最值無法解下去。而這個(gè)分式函數(shù)的最值是函數(shù)較難的值域問題，學(xué)生對(duì)這樣的模型接觸不深，而且這個(gè)分式型函數(shù)的最值問題一直以來是學(xué)生的難點(diǎn)之處，因此講解這個(gè)分式型函數(shù)的最值求解方法之余還得介紹相對(duì)簡便的解決方法，例如：

法二：由題意可知，斜率為0的直線無法構(gòu)成三角形，故可設(shè) 直 線 AB：

從兩道類似問題的解決中，我們不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)算和思考是蹺蹺板的兩端，沒有思維的結(jié)果勢(shì)必導(dǎo)致大量運(yùn)算的產(chǎn)生，導(dǎo)致運(yùn)算困難重重；有高層次的思考，則降低了運(yùn)算的困難，讓問題的解決獲得了更多的思維含量，這正是教學(xué)所需要的。

[1]吳成海 ．?dāng)?shù)學(xué)試題創(chuàng)新應(yīng)著力于思維培養(yǎng) [J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（8）．

[2]王建鵬 ．一道試題的析題展示 [J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）．