江蘇省金湖中學(xué) 林 煒

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用向量教學(xué)強(qiáng)化學(xué)生的建模思路

江蘇省金湖中學(xué) 林 煒

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是向量教學(xué)中，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用向量模型解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生的建模思路。

高中數(shù)學(xué)；向量；建模

建模是指找到一個(gè)解決問(wèn)題的模型，能夠批量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。高中數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生的建模能力。向量，是一種與各種數(shù)學(xué)知識(shí)都有直接聯(lián)系的知識(shí)，學(xué)生可以應(yīng)用向量模型解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師可以在向量教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生的建模思路。

一、應(yīng)用向量學(xué)習(xí)建立整體建模思路

部分學(xué)生不理解要如何在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中建模，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生具備整體建模思路，讓學(xué)生理解建模思路的意義。向量是一個(gè)能夠呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾何問(wèn)題與數(shù)量問(wèn)題的方法，學(xué)生應(yīng)用向量的建模方法，可以讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從向量問(wèn)題著手，嘗試培養(yǎng)整體建模的能力。

比如以一名數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生理解應(yīng)用向量來(lái)建立數(shù)學(xué)模型為例：現(xiàn)在有一家超市銷售A、B兩種商品，A商品可銷售的總量為x，B商品可銷售的總量為y。A商品的單價(jià)是m元/kg，B商品的單價(jià)是n元/kg。那么現(xiàn)在有一個(gè)人既要購(gòu)買A，又要購(gòu)買B，學(xué)生能不能應(yīng)用向量的方式來(lái)表示他購(gòu)物的情況呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，認(rèn)為可以應(yīng)用坐標(biāo)圖來(lái)表示他購(gòu)物的情況。其中表示他購(gòu)買商品的數(shù)量、表示他購(gòu)買商品的價(jià)格，即為他商品購(gòu)買的情況。學(xué)生在立何幾何圖形上，可以應(yīng)用向量來(lái)探討他購(gòu)買商品的情況。如果有必要，學(xué)生也可以應(yīng)用代數(shù)的方式來(lái)詮釋這一模型，即那么他購(gòu)買商品的情況為學(xué)生只要建立了一個(gè)探討某一事物變化規(guī)律的模型，就能應(yīng)用這套模型解決與這件事情有關(guān)的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解，商品購(gòu)買的情況如果為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生要找到影響這個(gè)問(wèn)題的因素，并把這個(gè)因素用數(shù)學(xué)關(guān)系描述出來(lái)，就是數(shù)學(xué)模型，學(xué)生只要建立了這個(gè)數(shù)學(xué)模型，就能用這一數(shù)學(xué)公式來(lái)解釋一切與此數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的因素問(wèn)題。

二、應(yīng)用向量學(xué)習(xí)建立性質(zhì)建模思路

部分學(xué)生在學(xué)習(xí)建模知識(shí)的時(shí)候，即使理解了建模思路是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路之一，也不知道要如何才能建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)教師可以應(yīng)用向量的建模教學(xué)著手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)問(wèn)題的模型。

以數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生思考以下數(shù)學(xué)問(wèn)題為例：已知非零向量a， b，如果相互垂直，那么等于多少？教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：有距離相同但是性質(zhì)相反的特質(zhì)，即這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有“a”、“2b”兩個(gè)相同的數(shù)量，然而方向一個(gè)是“+”，一個(gè)是“-”。現(xiàn)在，這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題還相互垂直。如果把這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題繪成向量圖形，會(huì)是什么呢？學(xué)生們可以看到，可以將這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題繪制成一個(gè)菱形問(wèn)題，繪制的圖形如圖1?，F(xiàn)學(xué)生可以以菱形圖形為模型，解決這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為菱形的邊長(zhǎng)性質(zhì)，由該性質(zhì)可得結(jié)合已知條件可得這道習(xí)題的關(guān)鍵，就是學(xué)生要找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，學(xué)生在解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，如果應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，就能分析出它的數(shù)學(xué)特征就是一個(gè)菱形問(wèn)題的計(jì)算，即學(xué)生的數(shù)學(xué)模型就是菱形邊長(zhǎng)的求值問(wèn)題，學(xué)生只要找到影響菱形邊長(zhǎng)的因素，計(jì)算出菱形的邊長(zhǎng)，就能快速獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。

圖1

當(dāng)學(xué)生理解了建立數(shù)學(xué)模型的整體思路就是找到需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題及影響數(shù)學(xué)問(wèn)題的因素以后，還需要了解要如何才能找到與之有關(guān)的因素呢？數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生從抓數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征著手分析。學(xué)生只要學(xué)會(huì)找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊特征，了解影響數(shù)學(xué)問(wèn)題特殊牲的因素，便能找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的途徑。

三、應(yīng)用向量學(xué)習(xí)創(chuàng)新建模材料思路

部分學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，表示有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的性質(zhì)不明顯，難以應(yīng)用數(shù)學(xué)性質(zhì)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，那又該如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合解題的需要來(lái)整合數(shù)學(xué)材料，完成數(shù)學(xué)模型建立的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。向量數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換性特別強(qiáng)，教師可以應(yīng)用向量教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生建立創(chuàng)新建模材料思路。以下面的習(xí)題為例：

教師可以引導(dǎo)學(xué)生看到兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。第一，這一數(shù)學(xué)問(wèn)題似乎是可以應(yīng)用向量公式作為模型來(lái)解決的。第二，如果通過(guò)整合，可以嘗試把這一數(shù)學(xué)問(wèn)題變?yōu)榫哂邢蛄刻卣鞯臄?shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生直接分析時(shí)，看不到它數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征。然而學(xué)生經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)只要巧妙整合這一公式，還是能把它整合成向量公式的，只要把它整合成向量公式，就能把向量公式作為模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教師要引導(dǎo)學(xué)生理解，學(xué)生在具有了抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征思路以后，還要以數(shù)學(xué)特征為核心，整合數(shù)學(xué)公式，為應(yīng)用數(shù)學(xué)模型計(jì)算做好準(zhǔn)備。這是學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型能否被創(chuàng)建的關(guān)鍵。

向量具有幾何與數(shù)量雙重的特征，它適合應(yīng)用在各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中。數(shù)學(xué)教師可通過(guò)向量教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生具備這樣的建模思想：第一，引導(dǎo)學(xué)生具備抓住解決數(shù)學(xué)問(wèn)題核心，分析與數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)因素的建模思想；第二，引導(dǎo)學(xué)生具備抓住數(shù)學(xué)特征，應(yīng)用數(shù)學(xué)特征建模的思想；第三，引導(dǎo)學(xué)生具備整合數(shù)學(xué)問(wèn)題的材料，令適合材料建立模型的思想。只要學(xué)生掌握這種建模思路，就能提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平。

[1]唐萬(wàn)敏.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造性思維的激發(fā)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2009（01）.

[2]王劍.高中數(shù)學(xué)“自主學(xué)習(xí)”方略組合[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（13）.

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