江蘇省盱眙縣第一中學(xué) 徐 升

淺析換元法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省盱眙縣第一中學(xué) 徐 升

一、換元法相關(guān)概念及幾種常見的換元法

1.換元法的相關(guān)概念

所謂換元法，又稱輔助元素法、變量代換法，即把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它。

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問題得到簡化。利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題目的換元法的一般步驟：

2.幾種常見的換元法

（1）均值換元法

在某些問題中，已知兩未知量的和，這時(shí)將這兩個(gè)未知量用它們的均值和一個(gè)新的變量來表示，從而使計(jì)算化繁為簡，這就是均值換元法。例如，當(dāng)

縱觀上述兩例可以看出，均值換元法實(shí)質(zhì)上是換元思想的一種具體運(yùn)用，它利用了兩個(gè)量的平均值和一個(gè)字母，溝通了原來兩個(gè)量之間的關(guān)系，能夠簡便計(jì)算，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。

（2）常值換元法

所謂常值換元法，就是將題目中的常數(shù)用字母表示，將其他數(shù)字轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的字母，這種方法能使問題的本質(zhì)特征顯現(xiàn)出來，從而有助于尋找解題思路，簡化解題過程。

分析：本題若直接求解，顯然比較困難，觀察其數(shù)字特征，聯(lián)想其一般情形，可將1987用一個(gè)字母a表示，則1986可表示為a-1問題得到簡化。

（3）比值換元法

所謂比值換元法是指當(dāng)式子中出現(xiàn)恒等的分式，且每個(gè)分式都含有未知數(shù)時(shí)，由于這些未知數(shù)之間存在一定的關(guān)系但又不太好表示，因此我們可引進(jìn)一個(gè)新的未知數(shù)使之等于上述恒等式，然后用這個(gè)新的未知數(shù)表示原來的各未知數(shù)。

（4）增量換元法

當(dāng)一變量在一常量附近變化時(shí)，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個(gè)變量，這種方法叫作增量換元法。

（5）三角換元法

三角代換也是常用的一種換元方法，在解某些代數(shù)問題時(shí)，選用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，常能使問題易于解決，這種方法叫三角換元法。如在解有關(guān)的無理不等式和方程時(shí)，如果我們直接將無理式有理化后求解，則必須平方，這樣勢必要對(duì)其進(jìn)行討論，過程煩瑣，若我們能對(duì)問題的特征進(jìn)行分析，借助三角換元，則可使問題化難為易，簡捷獲解。例如當(dāng)問題中含有形如的無理式時(shí)，常令

（6）對(duì)稱換元法

當(dāng)題目中的未知數(shù)具有對(duì)稱關(guān)系時(shí)，可應(yīng)用基本對(duì)稱式進(jìn)行代換，使解題過程簡化，這種方法稱為對(duì)稱換元法。

二、換元法在解方程中的應(yīng)用

1.換元法在雙二次方程中的應(yīng)用

在中學(xué)課程中要求學(xué)生會(huì)解一些特殊的高次方程，有時(shí)我們會(huì)碰到“雙二次方程”，即只含有未知數(shù)的四次項(xiàng)、二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的方程。對(duì)于這類方程，可以經(jīng)過對(duì)二次項(xiàng)的換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程。

思路2：把方程展開成標(biāo)準(zhǔn)的雙二次方程，再對(duì)x2進(jìn)行換元。

注意：換元的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造方程中表達(dá)形式相同的部分作為換元的對(duì)象。在解方程的過程中，換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時(shí)，只要能達(dá)到降次目的的換元方法都可以應(yīng)用。

2.換元法在無理方程中的應(yīng)用

解無理方程時(shí)，常把原方程中的一個(gè)含有未知數(shù)的根式作為整體進(jìn)行換元，達(dá)到去根號(hào)轉(zhuǎn)化為可解方程的目的。這時(shí)經(jīng)過變形，原方程的某個(gè)整式部分?？杀硎緸樾略钠椒?。

解：原方程可化為：

注：以前學(xué)過平方去根號(hào)法解無理方程，是一種普遍方法?，F(xiàn)在的換元法必須構(gòu)造出根號(hào)內(nèi)外兩個(gè)相同的式子才行。

3.換元法在分式方程中的應(yīng)用

解分式方程時(shí)，常把原方程中的一個(gè)分式作為整體進(jìn)行換元，換元時(shí)要注意分子、分母互換的兩個(gè)分式可以用一個(gè)新元和它的倒數(shù)來表示。例如方程可變形為進(jìn)行換元得去分母后化為可解。

分析：如果分式方程中滿足兩個(gè)分式互為倒數(shù)關(guān)系（如解方程：這時(shí)，只需設(shè)其中一個(gè)分式為輔助元即可；如果含有未知數(shù)的各個(gè)分式的分母都是關(guān)于未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例（如解方程這時(shí)，只需設(shè)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最小的多項(xiàng)式為輔助元即可。

解：原方程可化為：

注：對(duì)于分式方程或無理方程使用換元法后，仍需對(duì)所求根進(jìn)行檢驗(yàn)。

4.換元法在解方程組中的應(yīng)用

在構(gòu)成方程組的方程里，有關(guān)未知數(shù)的代數(shù)式呈對(duì)稱性，換元法可借此特點(diǎn)使方程組簡單化，便于求出方程組的解。

解：由（1）得：

通過以上所有例子可以看出 ，在初等數(shù)學(xué)中，換元法的確有著極其重要的作用。學(xué)會(huì)運(yùn)用換元法，不但可以溝通數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的聯(lián)系，還可以擴(kuò)大視野，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)于一些較難的題目，我們還應(yīng)當(dāng)通過認(rèn)真觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，深入分析問題的隱含條件，采用類比、聯(lián)想猜測等手段進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元，并綜合運(yùn)用各方面的知識(shí)給予解決。

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