孫婷西北師范大學(xué)

電磁學(xué)中幾種典型形狀的連續(xù)帶電的帶電體的電場強(qiáng)度的求解

孫婷
西北師范大學(xué)

在學(xué)習(xí)大學(xué)物理中電磁學(xué)部分中的電場部分時，避免不了要求解一些帶電體的電場強(qiáng)度（），而求解帶電體的電場強(qiáng)度的方法有很多種，并且離不開運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的微積分知識，本文就兩種典型的帶電體的電場情況做一些討論。

電場強(qiáng)度；微元法；高斯定理

求解帶電體電場強(qiáng)度一般有四種方法：

1、電場的矢量疊加法。

2、微元法。⑴取微元：對于電量連續(xù)分布的帶電體，我們可以取一個很小的微元，將這個微元當(dāng)做一個點電荷處理。⑵對稱性分析：通過分析帶電體產(chǎn)生的電場滿足的對稱性，可以簡化問題。⑶積分：我們將帶電體上所有的微元在某點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度都加起來。

3、高斯定律。⑴對稱性分析：能利用高斯定理求解的問題一般都具有較好的對稱性，分析帶電體的對稱性有利于幫助我們解決問題。⑵選取高斯面：我們所選擇的高斯面的方向盡量和電場強(qiáng)度的方向垂直。⑶計算高斯面上的電通量。⑷求高斯面所包圍的電荷量。⑸利用高斯定理計算電場強(qiáng)度的大小。

4、帶電體的電場強(qiáng)度等于電勢的負(fù)梯度。

一、利用微元法求解電場

求均勻帶電圓環(huán)中心軸線上產(chǎn)生的電場強(qiáng)度：

如圖1所示為一個半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，總電荷量為Q，求距離圓環(huán)中心O為x處的電場強(qiáng)度E。

圖1

⑴取微元：如圖1，我們將圓環(huán)分割成一段一段的微小線元dl，每一段線元所帶的電荷量為：

圖2

微小線元在p點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

⑵對稱性分析：圓環(huán)軸線上的電場的分布滿足鏡像對稱性，所以在垂直于X軸的分量相互抵消，平行于X軸的分量相互疊加；

⑶積分：

由（3）是可以看出，圓環(huán)中心軸線上某點的電場強(qiáng)度只與該點到圓環(huán)中心的距離有關(guān)。

二、利用高斯定理求解電場的問題

兩個同心球面均勻分布著電荷Q1和Q2，求同心球面I、II、III三個區(qū)域的電場強(qiáng)度的分布。

分析：⑴對稱性分析：該帶電體產(chǎn)生的電場滿足球?qū)ΨQ性；⑵選取高斯面：電場線的方向是沿著同心球的半徑呈射線狀，所以我們選擇以O(shè)為圓心的同心球面為高斯面，如圖2中虛線所示；⑶計算高斯面上的電通量：對于球面上的任意一個小面元d都與該處的電場強(qiáng)度的夾角，所以高斯面上的電場通量為：

⑷求高斯面內(nèi)所包圍的電荷量：

高斯面I、II、III所包圍的電荷量分別是：0 C、Q1、Q1+Q2;

⑸利用高斯定理計算場強(qiáng)的大小

高斯定理：任意一個閉合曲面的電場強(qiáng)度的通量等于該面所包圍的電荷量與真空介電常數(shù)的比值，即：

所以由于高斯面Ⅰ所包圍的電荷量為0，根據(jù)高斯定理，區(qū)域Ⅰ內(nèi)的電場強(qiáng)度;

高斯面Ⅱ所包圍的電荷量為Q1,由前面的分析知這個高斯面的電通量為：

根據(jù)高斯定理：

所以區(qū)域Ⅱ的電場強(qiáng)度的大小為：

同理可得區(qū)域III的電場強(qiáng)度的大小為：

小結(jié)

計算帶電體的電場強(qiáng)度時，應(yīng)選擇合適的方法，電場的矢量疊加法更適用于求解兩個或兩個以上的點電荷的帶電體系在空間中某一點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，微元法更適用于求解電荷線狀分布的帶電體周圍的電場強(qiáng)度，而高斯定理更適用于求解有規(guī)則形狀的電荷面或體分布的帶電體周圍的電場強(qiáng)度，利用電勢的負(fù)梯度求解電場的方法并不常用。

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)（第三版）[J].高等教育.1978,11-49.

[2]張之翔.電磁學(xué)中幾個簡單問題里的橢圓積分[A].大學(xué)物理.2002,4,21-24.