李政

利用不完全歸納法探索新知，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上常見的教學(xué)思維方式，如何基于或構(gòu)成學(xué)理進(jìn)行數(shù)學(xué)的深理解和真思維呢？筆者以為，教師在探索活動中基于學(xué)情和學(xué)理“順勢”而為，改善數(shù)學(xué)教育“生態(tài)”，是提升數(shù)學(xué)課程實施品質(zhì)的必然選擇，也是學(xué)生持續(xù)學(xué)生好數(shù)學(xué)的根本保證。

一、順勢就是基于學(xué)情和學(xué)理展開數(shù)學(xué)探索

在一定意義上講，多數(shù)時候的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動都是具有探索性。然而，有不少的數(shù)學(xué)教師對“數(shù)學(xué)活動具有探索性”認(rèn)識不夠，設(shè)計和實施的探索性活動也就簡化為先舉一個例子，然后再舉多個例子驗證，并流于形式，使得數(shù)學(xué)探索虛化、乏力，學(xué)生參與其中逐漸形成不良的學(xué)習(xí)感受。其實，數(shù)學(xué)探索過程是有“勢”可言的。

小學(xué)數(shù)學(xué)既是兒童的，也是數(shù)學(xué)的。在筆者看來，所謂的“勢”即學(xué)情的態(tài)勢和學(xué)理的趨勢。任何一個具有探索意義和價值的數(shù)學(xué)主題，對學(xué)生而言都不會是零基礎(chǔ)，零水平；對學(xué)科本身而言，也不會是零關(guān)聯(lián)、零發(fā)展、如果我們認(rèn)識到這些“態(tài)勢”、“趨勢”的存在，并為已所用，那學(xué)生參與探索過程就能充滿愉悅和收獲。

例如，教材對規(guī)律、運算律、計算公式等知識習(xí)得的編排隱含或遵循不完全歸納法的思路，這是在是因為考慮到小學(xué)生的年齡還小和認(rèn)知能力水平有限以及教材只能短篇幅地呈現(xiàn)主要內(nèi)容的原因，但教師不應(yīng)“只見樹木，不見森林”甚至眼里就只有一堆堆木材。我們需要基于學(xué)情和學(xué)理展開數(shù)學(xué)探索，杜絕“循規(guī)蹈矩”、“隔靴撓癢”甚至“逆流而動”的常見做法。

二、運用不完全歸納法順“勢”而為

獲得必要的數(shù)學(xué)理解和思維，是我們展開探索活動的真正目的所在，而不完全歸納法知識探索真知的一種方法、技術(shù)和手段。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積淀、能力水平的提升、思維方式的改善，需要依靠“勢”的可為和能為，“勢”的鍛造和滋養(yǎng)。

1.讓“不完全歸納法”搭配上深度的演繹

乘法分配律的教學(xué)，一直都是教學(xué)難點。它的生成過程，就是舉例驗證，舉更多例子不完全歸納的過程。如果能來些演繹的色彩，歸納的力量就更顯強(qiáng)大。

教材提供的教學(xué)思路是借助不完全歸納法“發(fā)現(xiàn)”它“是什么”，至于“為什么”卻懸而未決。乘法分配律的觀念實質(zhì)是“c×（a+b）分成c個加a加c個b”和“c個a加c個b配成c×（a+b）”，這需要讓學(xué)生感知和理解。結(jié)合乘法與加法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系和算式的變形，讓學(xué)生體會“分”與“配”的思想，理解“為什么”，而后再自我反思全過程，獲得“為什么”的發(fā)現(xiàn)。具體流程如下：上述教學(xué)，學(xué)生只有經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)層面的理解過程，把握了“分”與“配”的思想內(nèi)涵，也就是學(xué)生對乘法分配律有了總體的直覺認(rèn)識以后，形成“c×（a+b）分成c個a加c個b”和“c個a加c個b配成c×（a+b）”的觀念，他們才算真正理解了乘法分配律。從這個意義上講，深度演繹是對學(xué)生不完全歸納的點化和提升。

2.讓“不完全歸納法”有“根”可言

從四年級開始，教材各冊都設(shè)置了“找規(guī)律”單元，引導(dǎo)學(xué)生探尋現(xiàn)實生活中一些簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決相關(guān)的實際問題。然而教師習(xí)慣于根據(jù)課本習(xí)題的類型分別展開教學(xué)，造成學(xué)生做“找（間隔排列）規(guī)律”題目時也往往是先判斷題目中物體排列類型封閉與否，如果是封閉圖形，兩種物體個數(shù)就相等；不封閉的還要看兩端物體是否相同，兩端相同則兩種物體個數(shù)就懸殊1，兩端不同則物體個數(shù)就相等。很明顯，到了學(xué)生那里，對知識的理解和應(yīng)用是分裂、剝離的。

其實，我們可以把封閉圖形進(jìn)行整合，以無規(guī)律排列的情況為起點，以“一一對應(yīng)”為核心思想展開教學(xué)，主要分步實施和突破，這種教學(xué)改進(jìn)，順著學(xué)科體系原理和學(xué)生思考狀態(tài)，較好地做到了以學(xué)定教，讓“不完全歸納法”有根基可言，擁有了來自土壤中根部的力量。

3.讓“不完全歸納法”富有魄力并重的內(nèi)涵

大家一直以為，平行四邊形面積計算的教學(xué)簡單、淺顯，即使教學(xué)水平差一點兒的老師來教，也能不費吹灰之力讓學(xué)生探究出計算公式或理解接受。其實，兩個重要問題容易被忽視，并得不到解決，一是，為什么不可以用“底乘鄰邊”，常見教學(xué)思路中有的只是對“底乘高”的證明，而沒有對“底乘鄰邊”證偽（可能會有人講不證自偽）；二是，對二維空間矢量相乘意義的拓展理解的缺位（教材即使為了培養(yǎng)學(xué)生推理所需沒有安排，但我們完全可以在不完全歸納之后進(jìn)行補(bǔ)充）。這兩個問題對學(xué)生有著重要的學(xué)習(xí)意義。

實際上，生活世界和數(shù)學(xué)世界所有兩個數(shù)量的相乘，都是二維空間矢量的相乘，都可以看成是“排數(shù)×排數(shù)=總數(shù)”的擴(kuò)展和變化，“底×高”也不除外。針對學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)“出發(fā)”和“歸來”，考慮到“底”“高”這兩個維度對教學(xué)嘗試改進(jìn)和整合。至此，借助不完全歸納法“涅槃”，發(fā)展了思維能力，拓寬了認(rèn)知視角，“思想嫁接”也成功地在學(xué)生的直觀認(rèn)知世界中“落巢”。

4.讓“不完全歸納法”享有進(jìn)退自如的空間

學(xué)生在對三角形面積計算公式推導(dǎo)有了“求一個，想兩個”思想支撐的基礎(chǔ)上，腦中進(jìn)行剪和拼，很容易推想出梯形面積計算公式。這使得改善數(shù)學(xué)教育的“生態(tài)”狀況成為可能，并且一切都顯得順理成章、水到渠成。

梯形面積計算公式的常見的教學(xué)思路是分兩個板塊進(jìn)行的，一是讓每個學(xué)生照兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，同時做好數(shù)據(jù)收集和記錄。然后交流梯形與平行四邊形之間關(guān)系，推導(dǎo)出面積計算公式，還可以進(jìn)而在不同剪法上做文章；二是盡可能地解決書后練習(xí)，甚至把兩課時的練習(xí)任務(wù)合并為一節(jié)課解決掉。

要談有問題，幾乎沒有。因為梯形相對特殊（有兩個底），學(xué)生即使不理解，也容易記住。更何況有前面學(xué)習(xí)三角形面積計算公式的優(yōu)厚基礎(chǔ)。既然教師月學(xué)生都意識到這個問題，那就要充分滿足學(xué)生腦中剪、拼、推想和空間講一講平行四邊形、三角形與梯形之間的某種聯(lián)系呢？

突出學(xué)生的主體性需要，加強(qiáng)知識之間的搭建和聯(lián)結(jié)，具體改進(jìn)流程如下：上述教學(xué)改進(jìn)，學(xué)生自由地推想出梯形面積的計算公式，教師為其演示驗證，讓學(xué)生樂不吱聲，尤其是增設(shè)的環(huán)節(jié)，“三種圖形的轉(zhuǎn)換與公式的演變”直接叫學(xué)生大呼神奇不止，連連發(fā)出嘖嘖的驚嘆聲。此時數(shù)學(xué)教育的“生態(tài)”是平的，還是立的？是板化的，還是鮮活的？

筆者對“順‘勢而為，讓數(shù)學(xué)探索更具魅力”這一話題的持續(xù)關(guān)注與累積研究，只是為了一個樸素本真的想法，也就是希望自己能讓學(xué)生對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個號的學(xué)科感受，不艱深、難懂但有必要，不膚淺，容易但見深刻，好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受應(yīng)該就是這個樣兒。