基于IGG權(quán)重函數(shù)復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法的諧波責(zé)任分?jǐn)偡椒?/h1>
2017-05-22 07:04:17劉蘇婕肖先勇劉亞梅陳飛宇
電力自動(dòng)化設(shè)備 2017年3期
劉蘇婕，肖先勇，劉亞梅，陳飛宇
（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）
0 引言
隨著越來越多的非線性負(fù)荷（如換流器、電弧爐等）以及風(fēng)電、太陽(yáng)能發(fā)電等間歇性電源接入電網(wǎng)，多諧波源對(duì)電網(wǎng)和用戶的影響已成為工業(yè)界和學(xué)術(shù)界關(guān)注的重點(diǎn)［1］。為了合理采用技術(shù)、管理和經(jīng)濟(jì)手段解決諧波的影響和危害問題，多諧波源責(zé)任劃分是關(guān)鍵，具有重要理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義［2］。
國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)諧波源責(zé)任劃分已開展了大量研究工作，且公認(rèn)方法大多與諧波阻抗的準(zhǔn)確估計(jì)有關(guān)，獲得用戶側(cè)和系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗后，就容易對(duì)公共聯(lián)接點(diǎn) PCC（Point of Common Coupling）用戶側(cè)和系統(tǒng)側(cè)的諧波進(jìn)行責(zé)任分?jǐn)偂Ｖ饕椒ㄓ校壕€性回歸法［3-5］、隨機(jī)獨(dú)立矢量法［6］、主導(dǎo)分量篩選法［7］、獨(dú)立分量法［8］等，這些方法的目的在于準(zhǔn)確估計(jì)PCC的測(cè)量結(jié)果，且均通過多次測(cè)量以提高檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信性，但對(duì)于測(cè)量必然帶來的平差問題研究不足。多元線性回歸算法是目前較公認(rèn)的多諧波識(shí)別和責(zé)任分?jǐn)偡椒ǎ?］，該方法將電壓相量分解為實(shí)部和虛部，在實(shí)數(shù)域內(nèi)利用最小二乘法進(jìn)行回歸擬合，但結(jié)果準(zhǔn)確度不高［3］，其原因在于假設(shè)系統(tǒng)背景諧波恒定，而在實(shí)際系統(tǒng)中，背景諧波可能變化。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)［10］提出一種改進(jìn)的加權(quán)支持向量機(jī)回歸法對(duì)諧波發(fā)射水平進(jìn)行評(píng)估，通過修正回歸模型中的懲罰參數(shù)和誤差要求來抑制背景諧波波動(dòng)的干擾。當(dāng)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)量較大時(shí)，該算法無法克服計(jì)算量大、計(jì)算速度慢的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［11］提出主動(dòng)波動(dòng)量法和分位數(shù)回歸相結(jié)合的方法克服背景諧波波動(dòng)的干擾，但分位數(shù)在求解過程中的計(jì)算復(fù)雜程度要比普通最小二乘法大得多。文獻(xiàn)［12］假設(shè)背景諧波電壓為一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，提出一種基于部分線性核估計(jì)的方法，但要求背景諧波時(shí)間函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，在實(shí)際應(yīng)用中難以給出物理解釋。文獻(xiàn)［13］提出利用均值漂移算法對(duì)背景諧波進(jìn)行聚類，將觀測(cè)時(shí)段細(xì)分為若干子時(shí)段，認(rèn)為各子時(shí)段內(nèi)背景諧波恒定，再用多元線性回歸算法評(píng)估諧波責(zé)任，但時(shí)段細(xì)分和時(shí)段數(shù)的確定仍需深入研究。
綜上所述，運(yùn)用多元線性回歸算法解決多諧波源責(zé)任劃分是切實(shí)可行的，但必須解決背景諧波的魯棒性問題，研究更加穩(wěn)健的諧波責(zé)任分?jǐn)偡椒?。?shí)質(zhì)上，理想的諧波責(zé)任分?jǐn)偡绞绞歉鶕?jù)觀測(cè)節(jié)點(diǎn)測(cè)量結(jié)果對(duì)諧波責(zé)任做出準(zhǔn)確估計(jì)，為此需解決兩方面問題：諧波責(zé)任的穩(wěn)健觀測(cè)和觀測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性；評(píng)估方法的粗差性問題。為此，本文針對(duì)現(xiàn)有諧波阻抗估計(jì)方法中存在的不足，提出一種基于中國(guó)科學(xué)院大地測(cè)量與地球物理研究所IGG（Institute of Geodesy and Geophysics）大地測(cè)量學(xué)家周江文研究員提出的加權(quán)函數(shù)的復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法，通過IGG權(quán)重函數(shù)消除測(cè)量樣本估計(jì)諧波阻抗的異常樣本，再利用復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法進(jìn)行諧波責(zé)任分?jǐn)偂?/p>
首先，針對(duì)現(xiàn)有線性回歸算法對(duì)電壓相量和電流相量的實(shí)部、虛部分別求解存在的不足，提出直接在復(fù)數(shù)域內(nèi)求誤差模的平方和最小值［14］，并根據(jù)回歸復(fù)殘差值對(duì)背景諧波進(jìn)行分段，克服了現(xiàn)有方法中難以確定子時(shí)段劃分?jǐn)?shù)的不足；確定背景諧波電壓分段之后，各時(shí)段內(nèi)重復(fù)利用IGG權(quán)重函數(shù)計(jì)算殘差，根據(jù)殘差值確定回歸權(quán)重，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健回歸；在確定的各時(shí)段內(nèi)將背景諧波電壓看作常數(shù)，并用復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型計(jì)算等效諧波阻抗；然后，基于概率統(tǒng)計(jì)原理，結(jié)合諧波等效阻抗置信區(qū)間，提出一種諧波責(zé)任劃分結(jié)果檢驗(yàn)方法；最后，通過對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行仿真，證明所提方法的正確性和可行性，并通過與現(xiàn)有方法的比較，證明所提方法能有效提高評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。
1 多諧波源責(zé)任劃分指標(biāo)
電網(wǎng)中包含多個(gè)諧波源的情況如圖1所示［15］。每個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的h次諧波電壓方程為：
其中，h為諧波次數(shù)；Ih為注入節(jié)點(diǎn)的h次諧波電流；Zh為節(jié)點(diǎn)h次諧波阻抗；Uh為節(jié)點(diǎn)h次諧波電壓。
圖1 包含多個(gè)諧波源的電網(wǎng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of power grid with multiple harmonic sources
假設(shè)在關(guān)注母線X處測(cè)量到諧波電壓值過高，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的主諧波源進(jìn)行責(zé)任劃分。根據(jù)經(jīng)典諧波源定位法可知［16］，假設(shè)非線性負(fù)荷 A、B、C 為主諧波源。建立諧波責(zé)任劃分指標(biāo)，以該指標(biāo)的大小作為各諧波源對(duì)關(guān)注母線X造成諧波電壓值偏高的責(zé)任劃分依據(jù)。
在母線X及諧波源A、B、C處測(cè)量得到的電壓、電流通過快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）算法提取諧波分量，得到的h次諧波電壓、電流滿足式（2）。相量圖如圖2所示。
其中，IhA、IhB、IhC分別為諧波源 A、B、C 處 h 次諧波電流；ZhA、ZhB、ZhC分別為關(guān)注母線 X 與諧波源 A、B、C之間的h次等效諧波阻抗；Uh0為系統(tǒng)背景諧波電壓。
圖2 h次諧波電壓相量圖Fig.2 Phasor diagram of h th harmonic voltage
根據(jù)文獻(xiàn)［18］，諧波源M對(duì)關(guān)注母線X處產(chǎn)生的諧波貢獻(xiàn)度可以通過諧波源M產(chǎn)生的h次諧波電壓UhM在關(guān)注母線X處h次諧波總畸變電壓UhX上的投影表示，即諧波源M對(duì)關(guān)注母線X處的諧波影響責(zé)任（HI）的定義式為：
其中，UhM-f為諧波源M產(chǎn)生的h次諧波電壓UhM在關(guān)注母線處h次諧波電壓UhX上的投影；cosθM為UhM與UhX之間的夾角余弦值，該值的正、負(fù)性分別表示諧波源對(duì)關(guān)注母線X的h次諧波電壓起助增和抑制作用［15］；ZhM為諧波源M與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗。由于ZhM與電網(wǎng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，通過直接觀測(cè)較難獲得，且精確度不高。因此在多諧波源模型中，采用復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型計(jì)算系統(tǒng)背景諧波電壓，以及各諧波源與關(guān)注母線之間的h次等效諧波阻抗。
2 復(fù)數(shù)域多元線性回歸數(shù)學(xué)模型
在復(fù)數(shù)域中，多元線性回歸數(shù)學(xué)模型如式（4）所示。
其中，y 為因變量；x1、x2、…、xn為自變量；a1、a2、…、an為回歸系數(shù)；b為回歸常數(shù)；ε為隨機(jī)誤差。
在關(guān)注母線X處觀測(cè)，記錄各諧波源支路諧波電流以及關(guān)注母線節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)據(jù)。由式（4）可得：
在觀測(cè)點(diǎn)處進(jìn)行m次觀察并記錄處理數(shù)據(jù)，式（5）可寫為：
可將式（6）化為復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型：
其中，Y為母線X處的測(cè)量電壓經(jīng)FFT處理變化后得到的h次諧波電壓；X為測(cè)量諧波源支路電流經(jīng)FFT處理變化后得到的h次諧波電流。
在多元線性回歸模型中，要求B為常數(shù)。在電網(wǎng)正常運(yùn)行時(shí)，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生突變，即可將電網(wǎng)等效阻抗看作常數(shù)。但系統(tǒng)背景諧波電壓是變化的，因此，如果不對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行去粗差（outlier）處理，直接運(yùn)用多元線性回歸模型會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確度。
為了提高結(jié)果的準(zhǔn)確度，需要把系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)控制在一定的范圍內(nèi)。處理方法為：根據(jù)初始回歸復(fù)殘差值的大小將數(shù)據(jù)分為若干段，在每一段內(nèi)利用IGG權(quán)重函數(shù)對(duì)異常值進(jìn)行降權(quán)重或直接去除處理，保證系統(tǒng)背景諧波電壓在允許范圍內(nèi)。經(jīng)處理后的系統(tǒng)背景諧波電壓在每一個(gè)數(shù)據(jù)段內(nèi)近似看作常數(shù)。最后將其結(jié)果乘以數(shù)據(jù)段的權(quán)重量，得到最終諧波源責(zé)任劃分量化指標(biāo)值［13］為：
其中，為第i段數(shù)據(jù)中諧波源M對(duì)關(guān)注母線X的責(zé)任劃分指標(biāo)值；l為數(shù)據(jù)段劃分段數(shù)；λi為第i段數(shù)據(jù)中諧波責(zé)任量所占權(quán)重系數(shù)；Ni為第i段的數(shù)據(jù)量；N為總數(shù)據(jù)量。
3 適用于背景諧波電壓波動(dòng)的多諧波源責(zé)任劃分方法
針對(duì)系統(tǒng)背景電壓變化的情況，采用對(duì)目標(biāo)函數(shù)加權(quán)的處理方法，引入IGG權(quán)重函數(shù)，目的在于使數(shù)學(xué)模型具有較強(qiáng)的抗誤差能力?；贗GG權(quán)重函數(shù)的復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法計(jì)算得到背景諧波電壓和諧波等效阻抗值，再利用置信區(qū)間對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)，并選取較小的置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)使結(jié)果更加準(zhǔn)確。
3.1 IGG權(quán)重函數(shù)
在實(shí)際工程測(cè)量中，觀測(cè)誤差不可避免。觀測(cè)誤差分為3類：具有隨機(jī)性的偶然誤差；帶有規(guī)律性的系統(tǒng)誤差；離群的誤差，即粗差。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，粗差出現(xiàn)的概率大約占測(cè)量總數(shù)的1%～10%［17］。由于粗差會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果造成嚴(yán)重的干擾，因此，為了提高結(jié)果的精確性，需要尋找有效的穩(wěn)健估計(jì)方法以消除或減弱粗差。
穩(wěn)健估計(jì)的原則是充分利用觀測(cè)數(shù)據(jù)中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。在最小二乘法穩(wěn)健估計(jì)中，等價(jià)權(quán)函數(shù)的選取方法主要有Huber權(quán)函數(shù)、丹麥權(quán)函數(shù)、IGG 權(quán)重函數(shù)等［19］。 文獻(xiàn)［20］表明IGG權(quán)重函數(shù)將系統(tǒng)矩陣和觀測(cè)向量分別進(jìn)行選權(quán)迭代，所得單位權(quán)方差和均方誤差更小，且隨機(jī)粗差數(shù)量和隨粗差大小增加而增大的速度比Huber權(quán)函數(shù)慢得多，因此使用IGG權(quán)重函數(shù)增加穩(wěn)健性，得到的結(jié)果更加可靠。
利用IGG權(quán)重函數(shù)迭代法進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)的計(jì)算步驟如下。
a.由回歸數(shù)學(xué)模型式（7）可得誤差方程式（10），令各權(quán)重因子初值均為1，即令p1=p2=…=pn=1。
b.解算法方程式（10），得出參數(shù)B和殘差ε的第一次估值，分別如式（12）、（13）所示。
其中，P為觀測(cè)值Y的等價(jià)權(quán)陣。
c.由ε（1）確定新的觀測(cè)權(quán)函數(shù)，再求解算法方程式（10），通過迭代計(jì)算直到前后2次解的差值符合要求為止。
d.參數(shù)B和殘差ε最后迭代結(jié)果為：
IGG權(quán)重函數(shù)分為保權(quán)區(qū)、降權(quán)區(qū)、淘汰區(qū)。在實(shí)際電網(wǎng)中對(duì)多諧波源進(jìn)行諧波責(zé)任劃分，充分利用主體可靠信息，保權(quán)區(qū)中的數(shù)據(jù)保持不變，對(duì)異常測(cè)量值進(jìn)行降權(quán)處理，對(duì)顯著異常測(cè)量值取權(quán)重值為0。對(duì)權(quán)重系數(shù)經(jīng)過多次迭代，直到滿足收斂條件，以達(dá)到穩(wěn)健目的。
綜上所述，IGG權(quán)重函數(shù)的基本數(shù)學(xué)原理為：如果（σ為單位權(quán)方差），則目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值為 1；如果則要限制該點(diǎn)的作用，但又不能完全去除該值，將該點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)降低；如果則不將其作為信息數(shù)據(jù)，即令權(quán)重值為 0，即有式（16）成立。
將式（16）得到的權(quán)重矩陣進(jìn)行對(duì)角化，得到：
3.2 基于加權(quán)復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法計(jì)算諧波阻抗和背景諧波電壓
由多元線性回歸數(shù)學(xué)原理可知，求取矩陣B要求目標(biāo)函數(shù)最小，即：
其中，bj為回歸矩陣B的元素；和分別為bj的實(shí)部和虛部；上標(biāo)*表示取共軛。
由極值定理可得：
對(duì)目標(biāo)函數(shù)的實(shí)部和虛部分別求取偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為零，可求得B：
3.3 基于置信區(qū)間寬度有效性評(píng)估
對(duì)參數(shù)估計(jì)可信性的檢驗(yàn)可用置信區(qū)間CI（Confidence Interval）的寬度進(jìn)行評(píng)估。按一定的概率估計(jì)總體參數(shù)所在的范圍，該范圍稱為估計(jì)參值的置信區(qū)間。若置信區(qū)間的寬度越窄，則樣本估計(jì)參數(shù)的可靠性越強(qiáng)；反之則可靠性越弱。計(jì)算各諧波源與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度，將其作為諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)的可靠性指標(biāo)。
隨著系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)量的增大，所求等效諧波阻抗的置信區(qū)間的寬度不斷變大，利用加權(quán)復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型得到第i個(gè)回歸系數(shù)i的置信區(qū)間為［18］：
其中是自由度為s-p-1的t分布，s為測(cè)量點(diǎn)，p為主諧波源個(gè)數(shù)，α為置信水平，通常取95%；為的方差，為誤差均方值，Cii為（XTX）-1的第i個(gè)主對(duì)角元素。
3.4 方法步驟
a.在復(fù)數(shù)域用多元線性回歸模型求解回歸系數(shù)的初始估計(jì)值和初始?xì)埐钪郸?。
b.根據(jù)初始復(fù)殘差值ε0，將采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，在每一個(gè)數(shù)據(jù)段內(nèi)利用IGG權(quán)重函數(shù)計(jì)算初始權(quán)重λ0，得到初始權(quán)矩陣 W0。
c.將權(quán)矩陣對(duì)角化得到代入式（20）求得加權(quán)最小二乘估計(jì)值
d.比較和大小，若滿足式（22），則即為所求值，否則跳轉(zhuǎn)至步驟b，反復(fù)加權(quán)運(yùn)算，直到滿足式（22）。
e.根據(jù)式（21）計(jì)算在不同方差情況下所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間寬度，根據(jù)置信區(qū)間的寬度對(duì)結(jié)果可信性進(jìn)行評(píng)估。
4 仿真驗(yàn)證
本文以5次諧波為例，在IEEE 14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行仿真測(cè)試，系統(tǒng)模型如圖3所示。該測(cè)試系統(tǒng)由2臺(tái)發(fā)電機(jī)組（G）、3臺(tái)同步調(diào)相機(jī)（C）、14條母線、15條輸電線路和3臺(tái)變壓器組成，系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)，輸入、輸出功率維持基本平衡。
設(shè)置3個(gè)主諧波源，分別在母線2、9、12處接入5次諧波電流，記作諧波源A、B、C。3個(gè)主諧波源的電流曲線采用文獻(xiàn)［15］的經(jīng)典曲線，如圖4所示（圖中縱軸數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值）。母線13處接入諧波電流，幅值和相位如圖5所示（圖中幅值數(shù)據(jù)為標(biāo)幺值），該母線電壓即作為系統(tǒng)背景諧波電壓。
圖3 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig．3 IEEE 14-bus system
圖4 3個(gè)諧波源電流曲線Fig.4 Current curves of three harmonic sources
圖5 背景諧波電壓的幅值與相位Fig.5 Amplitude and phase of background harmonic voltage
仿真時(shí)間為24 h，1 min采樣一個(gè)樣本點(diǎn)，共采集到1440個(gè)樣本點(diǎn)。關(guān)注母線電壓和受關(guān)注諧波源電流經(jīng)過FFT得到5次諧波采樣值。用4種方法（方法1為實(shí)數(shù)域多元線性回歸［18］，方法2為M估計(jì)穩(wěn)健回歸［5］，方法 3 為復(fù)線性最小二乘法［3］，方法 4為本文所提方法），針對(duì)系統(tǒng)背景諧波電壓恒定與波動(dòng)2種情況，分別討論諧波源對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值。
4.1 背景諧波電壓恒定情況
在母線13處注入幅值、相位大小均為恒定的諧波電流。以諧波源C為例，通過4種方法分別計(jì)算5次諧波電流下該諧波源對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值，結(jié)果如表1所示。
表1 4種方法計(jì)算諧波源C的諧波責(zé)任分?jǐn)偨Y(jié)果比較Table1 Comparison of harmonic responsibility allocation proportions among four calculation methods for harmonic source C
實(shí)數(shù)域方法（方法1和方法2）的精確度小于復(fù)數(shù)域方法（方法3和本文方法）。計(jì)算結(jié)果表明將電壓、電流相量直接在復(fù)數(shù)域進(jìn)行回歸計(jì)算得到的結(jié)果更準(zhǔn)確。由于系統(tǒng)背景諧波是恒定的，因此方法3和本文方法的結(jié)果相差不大。
4.2 背景諧波電壓波動(dòng)情況
在實(shí)際電網(wǎng)中，系統(tǒng)背景電壓是隨機(jī)變化的，因此不能將其直接當(dāng)作常數(shù)處理。為了模擬背景諧波電壓的變化情況，在背景諧波電流中加入均值為0，方差分別為 0、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3 的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。根據(jù)式（1）計(jì)算得到系統(tǒng)背景諧波電壓。以背景諧波電流加入均值為0、方差為0.2的相互獨(dú)立隨機(jī)數(shù)為例，通過4種方法計(jì)算諧波源A、B、C對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值，結(jié)果如表2所示。
表2 4種方法計(jì)算各諧波源的諧波責(zé)任分?jǐn)偨Y(jié)果Table 2 Harmonic responsibility harmonic responsibility allocation proportions calculated by four methods for three harmonic sources
系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)情況下，4種方法的諧波責(zé)任計(jì)算誤差如圖6所示。由圖6可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果誤差明顯小于其他3種方法，說明了本文方法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性，結(jié)果更準(zhǔn)確。
利用置信區(qū)間寬度對(duì)4種方法分別求取諧波源A、B、C等效諧波阻抗估計(jì)值的可靠性進(jìn)行評(píng)估。諧波等效阻抗預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間寬度隨方差取值不同而發(fā)生變化。各諧波源與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗置信區(qū)間寬度變化值如表3—5所示。為了檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性，在不同方差值下分別求出4種方法計(jì)算諧波源A、B、C與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度，關(guān)系曲線如圖7所示。
圖6 4種方法計(jì)算各諧波源的諧波責(zé)任分?jǐn)傉`差Fig.6 Comparison of harmonic responsibility allocation errors among four calculation methods for three harmonic sources
表3 4種方法計(jì)算諧波源A與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 3 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source A and bus concerned
表4 4種方法計(jì)算諧波源B與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 4 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source B and bus concerned
表5 4種方法計(jì)算諧波源C與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 5 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source C and bus concerned
從圖7可以看出，由于方法1和方法3沒有對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行去粗差處理，因此在背景諧波電壓波動(dòng)較大時(shí)，置信區(qū)間寬度不斷增大，表明其結(jié)果可靠性降低；方法2和本文方法對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了去粗差處理，有較好的魯棒性，隨著背景諧波電壓波動(dòng)增大，置信區(qū)間寬度增大的速度小于方法1和方法3；無論在系統(tǒng)背景諧波恒定還是波動(dòng)的情況下，本文方法的計(jì)算精確度高，且可靠性強(qiáng)。
圖7 各諧波源置信區(qū)間寬度隨方差的變化曲線Fig．7 Curve of confidence interval length vs.variance for three harmonic sources
5 結(jié)論
a.基于回歸算法的多諧波責(zé)任分?jǐn)傂枰鉀Q系統(tǒng)背景諧波電壓穩(wěn)健估計(jì)和諧波責(zé)任準(zhǔn)確評(píng)估兩大問題，所提基于IGG權(quán)重函數(shù)的方法可有效提高背景諧波的抗誤差性，從而提高了諧波責(zé)任分?jǐn)偟姆€(wěn)健性；
b.基于測(cè)量樣本的穩(wěn)健篩選和復(fù)數(shù)域多元線性回歸方法，具有魯棒性強(qiáng)和精確度高的優(yōu)點(diǎn)，有一定工程應(yīng)用價(jià)值；
c.利用諧波等效阻抗預(yù)測(cè)值置信區(qū)間寬度大小提高了評(píng)估結(jié)果的可靠性。
本文研究中假定系統(tǒng)阻抗恒定，如果考慮到系統(tǒng)運(yùn)行方式的改變引起的系統(tǒng)阻抗變化，還需開展進(jìn)一步研究。
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劉蘇婕，肖先勇，劉亞梅，陳飛宇
（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）
0 引言
隨著越來越多的非線性負(fù)荷（如換流器、電弧爐等）以及風(fēng)電、太陽(yáng)能發(fā)電等間歇性電源接入電網(wǎng)，多諧波源對(duì)電網(wǎng)和用戶的影響已成為工業(yè)界和學(xué)術(shù)界關(guān)注的重點(diǎn)［1］。為了合理采用技術(shù)、管理和經(jīng)濟(jì)手段解決諧波的影響和危害問題，多諧波源責(zé)任劃分是關(guān)鍵，具有重要理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義［2］。
國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)諧波源責(zé)任劃分已開展了大量研究工作，且公認(rèn)方法大多與諧波阻抗的準(zhǔn)確估計(jì)有關(guān)，獲得用戶側(cè)和系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗后，就容易對(duì)公共聯(lián)接點(diǎn) PCC（Point of Common Coupling）用戶側(cè)和系統(tǒng)側(cè)的諧波進(jìn)行責(zé)任分?jǐn)偂Ｖ饕椒ㄓ校壕€性回歸法［3-5］、隨機(jī)獨(dú)立矢量法［6］、主導(dǎo)分量篩選法［7］、獨(dú)立分量法［8］等，這些方法的目的在于準(zhǔn)確估計(jì)PCC的測(cè)量結(jié)果，且均通過多次測(cè)量以提高檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信性，但對(duì)于測(cè)量必然帶來的平差問題研究不足。多元線性回歸算法是目前較公認(rèn)的多諧波識(shí)別和責(zé)任分?jǐn)偡椒ǎ?］，該方法將電壓相量分解為實(shí)部和虛部，在實(shí)數(shù)域內(nèi)利用最小二乘法進(jìn)行回歸擬合，但結(jié)果準(zhǔn)確度不高［3］，其原因在于假設(shè)系統(tǒng)背景諧波恒定，而在實(shí)際系統(tǒng)中，背景諧波可能變化。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)［10］提出一種改進(jìn)的加權(quán)支持向量機(jī)回歸法對(duì)諧波發(fā)射水平進(jìn)行評(píng)估，通過修正回歸模型中的懲罰參數(shù)和誤差要求來抑制背景諧波波動(dòng)的干擾。當(dāng)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)量較大時(shí)，該算法無法克服計(jì)算量大、計(jì)算速度慢的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［11］提出主動(dòng)波動(dòng)量法和分位數(shù)回歸相結(jié)合的方法克服背景諧波波動(dòng)的干擾，但分位數(shù)在求解過程中的計(jì)算復(fù)雜程度要比普通最小二乘法大得多。文獻(xiàn)［12］假設(shè)背景諧波電壓為一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，提出一種基于部分線性核估計(jì)的方法，但要求背景諧波時(shí)間函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，在實(shí)際應(yīng)用中難以給出物理解釋。文獻(xiàn)［13］提出利用均值漂移算法對(duì)背景諧波進(jìn)行聚類，將觀測(cè)時(shí)段細(xì)分為若干子時(shí)段，認(rèn)為各子時(shí)段內(nèi)背景諧波恒定，再用多元線性回歸算法評(píng)估諧波責(zé)任，但時(shí)段細(xì)分和時(shí)段數(shù)的確定仍需深入研究。
綜上所述，運(yùn)用多元線性回歸算法解決多諧波源責(zé)任劃分是切實(shí)可行的，但必須解決背景諧波的魯棒性問題，研究更加穩(wěn)健的諧波責(zé)任分?jǐn)偡椒?。?shí)質(zhì)上，理想的諧波責(zé)任分?jǐn)偡绞绞歉鶕?jù)觀測(cè)節(jié)點(diǎn)測(cè)量結(jié)果對(duì)諧波責(zé)任做出準(zhǔn)確估計(jì)，為此需解決兩方面問題：諧波責(zé)任的穩(wěn)健觀測(cè)和觀測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性；評(píng)估方法的粗差性問題。為此，本文針對(duì)現(xiàn)有諧波阻抗估計(jì)方法中存在的不足，提出一種基于中國(guó)科學(xué)院大地測(cè)量與地球物理研究所IGG（Institute of Geodesy and Geophysics）大地測(cè)量學(xué)家周江文研究員提出的加權(quán)函數(shù)的復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法，通過IGG權(quán)重函數(shù)消除測(cè)量樣本估計(jì)諧波阻抗的異常樣本，再利用復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法進(jìn)行諧波責(zé)任分?jǐn)偂?/p>
首先，針對(duì)現(xiàn)有線性回歸算法對(duì)電壓相量和電流相量的實(shí)部、虛部分別求解存在的不足，提出直接在復(fù)數(shù)域內(nèi)求誤差模的平方和最小值［14］，并根據(jù)回歸復(fù)殘差值對(duì)背景諧波進(jìn)行分段，克服了現(xiàn)有方法中難以確定子時(shí)段劃分?jǐn)?shù)的不足；確定背景諧波電壓分段之后，各時(shí)段內(nèi)重復(fù)利用IGG權(quán)重函數(shù)計(jì)算殘差，根據(jù)殘差值確定回歸權(quán)重，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健回歸；在確定的各時(shí)段內(nèi)將背景諧波電壓看作常數(shù)，并用復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型計(jì)算等效諧波阻抗；然后，基于概率統(tǒng)計(jì)原理，結(jié)合諧波等效阻抗置信區(qū)間，提出一種諧波責(zé)任劃分結(jié)果檢驗(yàn)方法；最后，通過對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行仿真，證明所提方法的正確性和可行性，并通過與現(xiàn)有方法的比較，證明所提方法能有效提高評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。
1 多諧波源責(zé)任劃分指標(biāo)
電網(wǎng)中包含多個(gè)諧波源的情況如圖1所示［15］。每個(gè)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的h次諧波電壓方程為：
其中，h為諧波次數(shù)；Ih為注入節(jié)點(diǎn)的h次諧波電流；Zh為節(jié)點(diǎn)h次諧波阻抗；Uh為節(jié)點(diǎn)h次諧波電壓。
圖1 包含多個(gè)諧波源的電網(wǎng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of power grid with multiple harmonic sources
假設(shè)在關(guān)注母線X處測(cè)量到諧波電壓值過高，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的主諧波源進(jìn)行責(zé)任劃分。根據(jù)經(jīng)典諧波源定位法可知［16］，假設(shè)非線性負(fù)荷 A、B、C 為主諧波源。建立諧波責(zé)任劃分指標(biāo)，以該指標(biāo)的大小作為各諧波源對(duì)關(guān)注母線X造成諧波電壓值偏高的責(zé)任劃分依據(jù)。
在母線X及諧波源A、B、C處測(cè)量得到的電壓、電流通過快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）算法提取諧波分量，得到的h次諧波電壓、電流滿足式（2）。相量圖如圖2所示。
其中，IhA、IhB、IhC分別為諧波源 A、B、C 處 h 次諧波電流；ZhA、ZhB、ZhC分別為關(guān)注母線 X 與諧波源 A、B、C之間的h次等效諧波阻抗；Uh0為系統(tǒng)背景諧波電壓。
圖2 h次諧波電壓相量圖Fig.2 Phasor diagram of h th harmonic voltage
根據(jù)文獻(xiàn)［18］，諧波源M對(duì)關(guān)注母線X處產(chǎn)生的諧波貢獻(xiàn)度可以通過諧波源M產(chǎn)生的h次諧波電壓UhM在關(guān)注母線X處h次諧波總畸變電壓UhX上的投影表示，即諧波源M對(duì)關(guān)注母線X處的諧波影響責(zé)任（HI）的定義式為：
其中，UhM-f為諧波源M產(chǎn)生的h次諧波電壓UhM在關(guān)注母線處h次諧波電壓UhX上的投影；cosθM為UhM與UhX之間的夾角余弦值，該值的正、負(fù)性分別表示諧波源對(duì)關(guān)注母線X的h次諧波電壓起助增和抑制作用［15］；ZhM為諧波源M與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗。由于ZhM與電網(wǎng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，通過直接觀測(cè)較難獲得，且精確度不高。因此在多諧波源模型中，采用復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型計(jì)算系統(tǒng)背景諧波電壓，以及各諧波源與關(guān)注母線之間的h次等效諧波阻抗。
2 復(fù)數(shù)域多元線性回歸數(shù)學(xué)模型
在復(fù)數(shù)域中，多元線性回歸數(shù)學(xué)模型如式（4）所示。
其中，y 為因變量；x1、x2、…、xn為自變量；a1、a2、…、an為回歸系數(shù)；b為回歸常數(shù)；ε為隨機(jī)誤差。
在關(guān)注母線X處觀測(cè)，記錄各諧波源支路諧波電流以及關(guān)注母線節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)據(jù)。由式（4）可得：
在觀測(cè)點(diǎn)處進(jìn)行m次觀察并記錄處理數(shù)據(jù)，式（5）可寫為：
可將式（6）化為復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型：
其中，Y為母線X處的測(cè)量電壓經(jīng)FFT處理變化后得到的h次諧波電壓；X為測(cè)量諧波源支路電流經(jīng)FFT處理變化后得到的h次諧波電流。
在多元線性回歸模型中，要求B為常數(shù)。在電網(wǎng)正常運(yùn)行時(shí)，電網(wǎng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生突變，即可將電網(wǎng)等效阻抗看作常數(shù)。但系統(tǒng)背景諧波電壓是變化的，因此，如果不對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行去粗差（outlier）處理，直接運(yùn)用多元線性回歸模型會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確度。
為了提高結(jié)果的準(zhǔn)確度，需要把系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)控制在一定的范圍內(nèi)。處理方法為：根據(jù)初始回歸復(fù)殘差值的大小將數(shù)據(jù)分為若干段，在每一段內(nèi)利用IGG權(quán)重函數(shù)對(duì)異常值進(jìn)行降權(quán)重或直接去除處理，保證系統(tǒng)背景諧波電壓在允許范圍內(nèi)。經(jīng)處理后的系統(tǒng)背景諧波電壓在每一個(gè)數(shù)據(jù)段內(nèi)近似看作常數(shù)。最后將其結(jié)果乘以數(shù)據(jù)段的權(quán)重量，得到最終諧波源責(zé)任劃分量化指標(biāo)值［13］為：
其中，為第i段數(shù)據(jù)中諧波源M對(duì)關(guān)注母線X的責(zé)任劃分指標(biāo)值；l為數(shù)據(jù)段劃分段數(shù)；λi為第i段數(shù)據(jù)中諧波責(zé)任量所占權(quán)重系數(shù)；Ni為第i段的數(shù)據(jù)量；N為總數(shù)據(jù)量。
3 適用于背景諧波電壓波動(dòng)的多諧波源責(zé)任劃分方法
針對(duì)系統(tǒng)背景電壓變化的情況，采用對(duì)目標(biāo)函數(shù)加權(quán)的處理方法，引入IGG權(quán)重函數(shù)，目的在于使數(shù)學(xué)模型具有較強(qiáng)的抗誤差能力?；贗GG權(quán)重函數(shù)的復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法計(jì)算得到背景諧波電壓和諧波等效阻抗值，再利用置信區(qū)間對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)，并選取較小的置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)使結(jié)果更加準(zhǔn)確。
3.1 IGG權(quán)重函數(shù)
在實(shí)際工程測(cè)量中，觀測(cè)誤差不可避免。觀測(cè)誤差分為3類：具有隨機(jī)性的偶然誤差；帶有規(guī)律性的系統(tǒng)誤差；離群的誤差，即粗差。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，粗差出現(xiàn)的概率大約占測(cè)量總數(shù)的1%～10%［17］。由于粗差會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果造成嚴(yán)重的干擾，因此，為了提高結(jié)果的精確性，需要尋找有效的穩(wěn)健估計(jì)方法以消除或減弱粗差。
穩(wěn)健估計(jì)的原則是充分利用觀測(cè)數(shù)據(jù)中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。在最小二乘法穩(wěn)健估計(jì)中，等價(jià)權(quán)函數(shù)的選取方法主要有Huber權(quán)函數(shù)、丹麥權(quán)函數(shù)、IGG 權(quán)重函數(shù)等［19］。 文獻(xiàn)［20］表明IGG權(quán)重函數(shù)將系統(tǒng)矩陣和觀測(cè)向量分別進(jìn)行選權(quán)迭代，所得單位權(quán)方差和均方誤差更小，且隨機(jī)粗差數(shù)量和隨粗差大小增加而增大的速度比Huber權(quán)函數(shù)慢得多，因此使用IGG權(quán)重函數(shù)增加穩(wěn)健性，得到的結(jié)果更加可靠。
利用IGG權(quán)重函數(shù)迭代法進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)的計(jì)算步驟如下。
a.由回歸數(shù)學(xué)模型式（7）可得誤差方程式（10），令各權(quán)重因子初值均為1，即令p1=p2=…=pn=1。
b.解算法方程式（10），得出參數(shù)B和殘差ε的第一次估值，分別如式（12）、（13）所示。
其中，P為觀測(cè)值Y的等價(jià)權(quán)陣。
c.由ε（1）確定新的觀測(cè)權(quán)函數(shù)，再求解算法方程式（10），通過迭代計(jì)算直到前后2次解的差值符合要求為止。
d.參數(shù)B和殘差ε最后迭代結(jié)果為：
IGG權(quán)重函數(shù)分為保權(quán)區(qū)、降權(quán)區(qū)、淘汰區(qū)。在實(shí)際電網(wǎng)中對(duì)多諧波源進(jìn)行諧波責(zé)任劃分，充分利用主體可靠信息，保權(quán)區(qū)中的數(shù)據(jù)保持不變，對(duì)異常測(cè)量值進(jìn)行降權(quán)處理，對(duì)顯著異常測(cè)量值取權(quán)重值為0。對(duì)權(quán)重系數(shù)經(jīng)過多次迭代，直到滿足收斂條件，以達(dá)到穩(wěn)健目的。
綜上所述，IGG權(quán)重函數(shù)的基本數(shù)學(xué)原理為：如果（σ為單位權(quán)方差），則目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重值為 1；如果則要限制該點(diǎn)的作用，但又不能完全去除該值，將該點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)降低；如果則不將其作為信息數(shù)據(jù)，即令權(quán)重值為 0，即有式（16）成立。
將式（16）得到的權(quán)重矩陣進(jìn)行對(duì)角化，得到：
3.2 基于加權(quán)復(fù)數(shù)域多元線性回歸算法計(jì)算諧波阻抗和背景諧波電壓
由多元線性回歸數(shù)學(xué)原理可知，求取矩陣B要求目標(biāo)函數(shù)最小，即：
其中，bj為回歸矩陣B的元素；和分別為bj的實(shí)部和虛部；上標(biāo)*表示取共軛。
由極值定理可得：
對(duì)目標(biāo)函數(shù)的實(shí)部和虛部分別求取偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為零，可求得B：
3.3 基于置信區(qū)間寬度有效性評(píng)估
對(duì)參數(shù)估計(jì)可信性的檢驗(yàn)可用置信區(qū)間CI（Confidence Interval）的寬度進(jìn)行評(píng)估。按一定的概率估計(jì)總體參數(shù)所在的范圍，該范圍稱為估計(jì)參值的置信區(qū)間。若置信區(qū)間的寬度越窄，則樣本估計(jì)參數(shù)的可靠性越強(qiáng)；反之則可靠性越弱。計(jì)算各諧波源與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度，將其作為諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)的可靠性指標(biāo)。
隨著系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)量的增大，所求等效諧波阻抗的置信區(qū)間的寬度不斷變大，利用加權(quán)復(fù)數(shù)域多元線性回歸模型得到第i個(gè)回歸系數(shù)i的置信區(qū)間為［18］：
其中是自由度為s-p-1的t分布，s為測(cè)量點(diǎn)，p為主諧波源個(gè)數(shù)，α為置信水平，通常取95%；為的方差，為誤差均方值，Cii為（XTX）-1的第i個(gè)主對(duì)角元素。
3.4 方法步驟
a.在復(fù)數(shù)域用多元線性回歸模型求解回歸系數(shù)的初始估計(jì)值和初始?xì)埐钪郸?。
b.根據(jù)初始復(fù)殘差值ε0，將采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，在每一個(gè)數(shù)據(jù)段內(nèi)利用IGG權(quán)重函數(shù)計(jì)算初始權(quán)重λ0，得到初始權(quán)矩陣 W0。
c.將權(quán)矩陣對(duì)角化得到代入式（20）求得加權(quán)最小二乘估計(jì)值
d.比較和大小，若滿足式（22），則即為所求值，否則跳轉(zhuǎn)至步驟b，反復(fù)加權(quán)運(yùn)算，直到滿足式（22）。
e.根據(jù)式（21）計(jì)算在不同方差情況下所對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間寬度，根據(jù)置信區(qū)間的寬度對(duì)結(jié)果可信性進(jìn)行評(píng)估。
4 仿真驗(yàn)證
本文以5次諧波為例，在IEEE 14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行仿真測(cè)試，系統(tǒng)模型如圖3所示。該測(cè)試系統(tǒng)由2臺(tái)發(fā)電機(jī)組（G）、3臺(tái)同步調(diào)相機(jī)（C）、14條母線、15條輸電線路和3臺(tái)變壓器組成，系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)，輸入、輸出功率維持基本平衡。
設(shè)置3個(gè)主諧波源，分別在母線2、9、12處接入5次諧波電流，記作諧波源A、B、C。3個(gè)主諧波源的電流曲線采用文獻(xiàn)［15］的經(jīng)典曲線，如圖4所示（圖中縱軸數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值）。母線13處接入諧波電流，幅值和相位如圖5所示（圖中幅值數(shù)據(jù)為標(biāo)幺值），該母線電壓即作為系統(tǒng)背景諧波電壓。
圖3 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig．3 IEEE 14-bus system
圖4 3個(gè)諧波源電流曲線Fig.4 Current curves of three harmonic sources
圖5 背景諧波電壓的幅值與相位Fig.5 Amplitude and phase of background harmonic voltage
仿真時(shí)間為24 h，1 min采樣一個(gè)樣本點(diǎn)，共采集到1440個(gè)樣本點(diǎn)。關(guān)注母線電壓和受關(guān)注諧波源電流經(jīng)過FFT得到5次諧波采樣值。用4種方法（方法1為實(shí)數(shù)域多元線性回歸［18］，方法2為M估計(jì)穩(wěn)健回歸［5］，方法 3 為復(fù)線性最小二乘法［3］，方法 4為本文所提方法），針對(duì)系統(tǒng)背景諧波電壓恒定與波動(dòng)2種情況，分別討論諧波源對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值。
4.1 背景諧波電壓恒定情況
在母線13處注入幅值、相位大小均為恒定的諧波電流。以諧波源C為例，通過4種方法分別計(jì)算5次諧波電流下該諧波源對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值，結(jié)果如表1所示。
表1 4種方法計(jì)算諧波源C的諧波責(zé)任分?jǐn)偨Y(jié)果比較Table1 Comparison of harmonic responsibility allocation proportions among four calculation methods for harmonic source C
實(shí)數(shù)域方法（方法1和方法2）的精確度小于復(fù)數(shù)域方法（方法3和本文方法）。計(jì)算結(jié)果表明將電壓、電流相量直接在復(fù)數(shù)域進(jìn)行回歸計(jì)算得到的結(jié)果更準(zhǔn)確。由于系統(tǒng)背景諧波是恒定的，因此方法3和本文方法的結(jié)果相差不大。
4.2 背景諧波電壓波動(dòng)情況
在實(shí)際電網(wǎng)中，系統(tǒng)背景電壓是隨機(jī)變化的，因此不能將其直接當(dāng)作常數(shù)處理。為了模擬背景諧波電壓的變化情況，在背景諧波電流中加入均值為0，方差分別為 0、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3 的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。根據(jù)式（1）計(jì)算得到系統(tǒng)背景諧波電壓。以背景諧波電流加入均值為0、方差為0.2的相互獨(dú)立隨機(jī)數(shù)為例，通過4種方法計(jì)算諧波源A、B、C對(duì)關(guān)注母線5的諧波責(zé)任分?jǐn)傊笜?biāo)值，結(jié)果如表2所示。
表2 4種方法計(jì)算各諧波源的諧波責(zé)任分?jǐn)偨Y(jié)果Table 2 Harmonic responsibility harmonic responsibility allocation proportions calculated by four methods for three harmonic sources
系統(tǒng)背景諧波電壓波動(dòng)情況下，4種方法的諧波責(zé)任計(jì)算誤差如圖6所示。由圖6可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果誤差明顯小于其他3種方法，說明了本文方法具有更強(qiáng)的穩(wěn)健性，結(jié)果更準(zhǔn)確。
利用置信區(qū)間寬度對(duì)4種方法分別求取諧波源A、B、C等效諧波阻抗估計(jì)值的可靠性進(jìn)行評(píng)估。諧波等效阻抗預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間寬度隨方差取值不同而發(fā)生變化。各諧波源與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗置信區(qū)間寬度變化值如表3—5所示。為了檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性，在不同方差值下分別求出4種方法計(jì)算諧波源A、B、C與關(guān)注母線之間的等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度，關(guān)系曲線如圖7所示。
圖6 4種方法計(jì)算各諧波源的諧波責(zé)任分?jǐn)傉`差Fig.6 Comparison of harmonic responsibility allocation errors among four calculation methods for three harmonic sources
表3 4種方法計(jì)算諧波源A與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 3 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source A and bus concerned
表4 4種方法計(jì)算諧波源B與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 4 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source B and bus concerned
表5 4種方法計(jì)算諧波源C與關(guān)注母線之間等效諧波阻抗的置信區(qū)間寬度Table 5 Confidence interval lengths calculated by four methods for equivalent harmonic impedance between harmonic source C and bus concerned
從圖7可以看出，由于方法1和方法3沒有對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行去粗差處理，因此在背景諧波電壓波動(dòng)較大時(shí)，置信區(qū)間寬度不斷增大，表明其結(jié)果可靠性降低；方法2和本文方法對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了去粗差處理，有較好的魯棒性，隨著背景諧波電壓波動(dòng)增大，置信區(qū)間寬度增大的速度小于方法1和方法3；無論在系統(tǒng)背景諧波恒定還是波動(dòng)的情況下，本文方法的計(jì)算精確度高，且可靠性強(qiáng)。
圖7 各諧波源置信區(qū)間寬度隨方差的變化曲線Fig．7 Curve of confidence interval length vs.variance for three harmonic sources
5 結(jié)論
a.基于回歸算法的多諧波責(zé)任分?jǐn)傂枰鉀Q系統(tǒng)背景諧波電壓穩(wěn)健估計(jì)和諧波責(zé)任準(zhǔn)確評(píng)估兩大問題，所提基于IGG權(quán)重函數(shù)的方法可有效提高背景諧波的抗誤差性，從而提高了諧波責(zé)任分?jǐn)偟姆€(wěn)健性；
b.基于測(cè)量樣本的穩(wěn)健篩選和復(fù)數(shù)域多元線性回歸方法，具有魯棒性強(qiáng)和精確度高的優(yōu)點(diǎn)，有一定工程應(yīng)用價(jià)值；
c.利用諧波等效阻抗預(yù)測(cè)值置信區(qū)間寬度大小提高了評(píng)估結(jié)果的可靠性。
本文研究中假定系統(tǒng)阻抗恒定，如果考慮到系統(tǒng)運(yùn)行方式的改變引起的系統(tǒng)阻抗變化，還需開展進(jìn)一步研究。
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