程靖龍

(陜西省瀚普思教育咨詢有限公司 陜西 西安 710072)

論相對運動的圖示
——從一道高考真題的去留之爭談起

程靖龍

(陜西省瀚普思教育咨詢有限公司 陜西 西安 710072)

與相對運動相關(guān)的一道高考真題被熱議多年，至今物理學界尚沒有統(tǒng)一認識，暴露了當下相對運動分析方法存在的不足．文章給出了一種新的相對運動圖示法，該方法以伽利略變換為依據(jù)，創(chuàng)新點在于發(fā)現(xiàn)了有向線段的兩個端點可以分別用來表示研究對象和參考系．

相對運動 相對運動圖示法 相對速度關(guān)系圖 相對位移關(guān)系圖 相對加速度關(guān)系圖

2013年高考上海物理卷第20題被持續(xù)熱議數(shù)年．至今，中學物理教師群體主張的兩種不同的參考答案各說各話．一些教師在專業(yè)期刊發(fā)文，支持上?？荚囋航o出的參考答案[1～5]．可是，就在這道題被“品讀”[1]、“賞析”[2]和“釋疑”[3]將近3年之后，對上?？荚囋汗嫉膮⒖即鸢赋植煌娊獾囊环教岢隽恕霸偎伎肌盵6]．該作者給出的結(jié)論是，該題會使得“師生在教學過程中產(chǎn)生認知沖突”，也會像作者那樣“陷入不可知論”，建議該題“被各類教學資料舍棄，使之離開中學物理教學”．

筆者認為，2013年上海卷第20題是一道多年來罕見的好題．這道題的存在，強有力地提醒著我們不能濫用平行四邊形矢量合成法則，同時也逼迫著我們認識到高效簡潔的相對運動關(guān)系的圖示方法的缺位．(如果這道題從中學教學中淡出，非?？上В?

1 對“再思考”一文的幾點質(zhì)疑

“再思考”一文“也有其他理由說明選項D正確”的3個理由，均有待商榷．具體如下：

(1)“其一，駁船是無動力船，必須在拖船的牽引下運動．拖船A，B對駁船C的牽引力的合力控制和約束著駁船C的運動．這樣的話，船C的速度必然在CA繩與CB繩的夾角范圍內(nèi)．”顯然，作者存在認知錯誤．速度跟合外力并不存在必然聯(lián)系．跟合外力存在必然聯(lián)系的那是加速度！

(2)“其二，正常情況下，如果船C的速度在CA繩與CB繩夾角范圍之外，就會發(fā)生C船速度偏向一側(cè)的拉繩發(fā)生松弛的情況……”這樣的分析，是作者脫離了題意后的主觀想象．

(3)“其三，由于C船速度在垂直于CB方向的分速度存在，導(dǎo)致CB繩的方向瞬時變化……”作者沒能把握好題目討論的只是某個瞬間的狀態(tài)關(guān)系，并不關(guān)注這一狀態(tài)是否可以持續(xù)．

2 高效簡潔的圖示方法支持上?？荚囋旱拇鸢?/h2>

筆者曾于2015年9月在《中學物理教學參考》發(fā)表了《畫相對速度矢量圖 解相對運動問題》一文[7]，文中，2013年上海卷第20題是作為“相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系的動態(tài)分析”的例題呈現(xiàn)的．相對速度關(guān)系圖，最初發(fā)表時稱作相對速度矢量圖，是筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn)的圖示相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系的新方法．利用相對速度關(guān)系圖，筆者形象直觀、全局、簡潔地給出了2013年上海卷這道考題的解析過程．

【題目】圖1為在平靜海面上，兩艘拖船A和B拖著駁船C運動的示意圖．A，B的速度分別沿著纜繩CA，CB方向，A，B，C不在一條直線上．由于纜繩不可伸長，因此C的速度在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等，由此可知C的( )

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A，B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi)

圖1 題目示意圖

解析：首先畫有向線段表示A船和B船的對地(海面)速度vA，vB并標注節(jié)點“地”、“A”、“B”．

由于纜繩不可伸長，C船相對于A船的速度必垂直于A和C之間的纜繩、C船相對于B船的速度必垂直于B，C之間的纜繩．完成相對速度關(guān)系圖如圖2所示．

圖2 相對速度關(guān)系圖

題中對vA，vB的大小關(guān)系和夾角均沒有限定，按vA，vB的夾角為銳角另作一圖，保持vB長度不變，令vA長度由很小逐漸增大，節(jié)點C即依次出現(xiàn)在5種不同位置如圖3所示．顯然，vC的方向不一定在vA，vB的夾角范圍內(nèi),且vC既可能大于vA和vB，也可能等于vA和vB的其中一個．

圖3 節(jié)點C出現(xiàn)不同位置

另，據(jù)圖3通過想象可知，vA，vB的夾角為直角或鈍角時，節(jié)點C的位置只有C3一種可能，此時，vC的方向一定在vA，vB的夾角范圍內(nèi)且一定大于vA和vB．

綜上，選項B和C正確．

解析中畫的相對速度關(guān)系圖，大家也許不會馬上就能領(lǐng)會其所以然，這需要從速度的圖示說起．

3 相對速度的圖示

筆者查閱了數(shù)十本大學物理教材，質(zhì)點運動學的最后一節(jié)的標題多為《相對運動》，但是，沒有一本教材明確指出如何就相對速度關(guān)聯(lián)關(guān)系進行圖示．再看中學物理教材，雖然存在著一些圖示速度關(guān)系的圖，卻也從來沒有把速度的圖示當作課題研究過．似乎認為，懂得了力的圖示就自然懂得了速度的圖示，理由是速度跟力一樣都是矢量．這正是問題的根源．

講授力的圖示之前，教材先介紹了力的三要素，這樣，也就明確了力的圖示的內(nèi)容，即力的圖示必須表達3個內(nèi)容：作用點、大小和方向．假如我們把速度的圖示也能當作課題研究，就會很自然地發(fā)現(xiàn)，速度的圖示有4個要素需要表達：研究對象、參照物(參考系)、大小和方向．

對于速度方向限定在一條直線上的運動情形，我們可以建立一維速度坐標軸；對于速度方向限定在一個平面內(nèi)的運動情形，我們可以建立二維速度坐標平面；對于速度方向不在同一平面上的運動情形，我們可以建立三維速度坐標空間．下面以速度方向被限定在同一平面內(nèi)的運動情形為例探求圖示速度的4個要素的方法．

以大家都熟悉的小船渡河的情境為例(圖略)，選大地為參考系，在vxOvy直角坐標系中畫出表示水的流速和船的對地航速的有向線段．為了區(qū)別這兩個速度，我們通常采用標注有向線段的辦法，分別標記為v水和v船，由于默認參考系都是大地，我們沒有在標記中指出參考系，如圖4所示．

圖4 選取大地作參考系

假如要求標注參考系，我們通常會標記為v水地和v船地，如圖5所示．

圖5 標注參考系

筆者發(fā)現(xiàn)，在vxOvy直角坐標系中，表示速度的兩條有向線段的箭頭位置，分別跟兩個運動對象“船”和“水”有對應(yīng)關(guān)系，兩條有向線段的共同起點“O”跟共同的參考系“地”有著對應(yīng)關(guān)系，如圖6所示．為方便敘述，我們把坐標系中跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的點稱作節(jié)點，圖4中即有3個節(jié)點，“船”、“水”、“地”即為對應(yīng)的節(jié)點名．連接圖6中“船”和“水”兩個節(jié)點，如圖7所示．

圖6 研究對象有對應(yīng)關(guān)系的點作節(jié)點

圖7 連接“船”和“水”兩個節(jié)點

根據(jù)基于伽利略變換的速度合成定理，即絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和，可以判定：由節(jié)點“水”指向節(jié)點“船”的有向線段表示了船對水的相對速度，由節(jié)點“船”指向節(jié)點“水”的有向線段表示了水對船的相對速度．

進一步可以得出結(jié)論：速度坐標空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個節(jié)點之間的每一條線段同時表示一對相對速度．具體表示某一相對速度時，箭頭位置標注研究對象，箭尾位置標注相應(yīng)參考系．

圖7中，各運動對象之間相對速度的關(guān)聯(lián)關(guān)系由各節(jié)點在速度坐標空間中的相對位置表示出來，跟各個運動對象對應(yīng)的節(jié)點的坐標值的絕對值無關(guān)，故畫相對速度關(guān)系圖時速度坐標系隱去不畫，如圖8所示．

圖8 隱去坐標系的相對速度關(guān)系圖

相對速度關(guān)系圖中每一條線段同時表示了兩個運動對象之間的一對相對速度，只有明確指出某條線段的具體含義時才畫出相應(yīng)的箭頭．

4 相對位移關(guān)系圖和相對加速度關(guān)系圖

速度坐標空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個節(jié)點之間的每一條線段同時表示一對相對速度．具體表示某一相對速度時，箭頭位置標注研究對象，箭尾位置標注相應(yīng)參考系．這樣畫出的圖，稱作相對速度關(guān)系圖．這個結(jié)論可以拓展應(yīng)用．

在研究相對位移時可以拓展為：位移坐標空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個節(jié)點之間的每一條線段同時表示一對相對位移．具體表示某一相對位移時，箭頭位置標注研究對象，箭尾位置標注相應(yīng)參考系．據(jù)此畫出的是相對位移關(guān)系圖．

在研究相對加速度時可以拓展為：加速度坐標空間中，跟研究對象有對應(yīng)關(guān)系的各個節(jié)點之間的每一條線段同時表示一對相對加速度．具體表示某一相對加速度時，箭頭位置標注研究對象，箭尾位置標注相應(yīng)參考系．畫出的是相對加速度關(guān)系圖．

5 例題

【例1】(2016年高考江蘇卷第14題)如圖9所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上.滑輪左側(cè)的細線水平，右側(cè)的細線與斜面平行.A和B的質(zhì)量均為m.撤去固定A的裝置后，A和B均做直線運動.不計一切摩擦，重力加速度為g.求：

(1)A固定不動時，A對B支持力的大小N；

(2)A滑動的位移為x時，B的位移大小s；

(3)A滑動的位移為x時的速度大小vx.

圖9 例1題圖

解析：(原解析略)下面僅就(2)、(3)問分別畫出相對位移關(guān)系圖和相對速度關(guān)系圖求解．

根據(jù)細線不可伸縮，知物塊B對斜面A的位移大小等于斜面A對地的位移大小，均為x，結(jié)合角度關(guān)系畫出相對位移關(guān)系圖，如圖10所示．

圖10 相對位移關(guān)系圖

由余弦定理得

同樣根據(jù)細線不可伸縮，知物塊B對斜面A的速度大小等于斜面A對地的速度大小，均為vA，結(jié)合角度關(guān)系畫出相對速度關(guān)系圖，如圖11所示．

圖11 相對速度關(guān)系圖

其中

vBA=vA=vx

由余弦定理得

物塊B和斜面A構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，物塊B的重力勢能減少量等于A和B動能增加量．

物塊B下降高度為xsinα，有如下方程

聯(lián)立以上各式，得

【例2】如圖12所示，質(zhì)量為m2的小球靜止在質(zhì)量為m1，傾角為θ的斜面上，斜面與水平面的動摩擦因數(shù)為μ．若使小球做自由落體運動，加在斜面上向左的拉力F應(yīng)滿足什么條件？

圖12 例2題圖

解析：小球加速度豎直向下，大小為g,即a球=g，依題意，斜面加速度水平向左．小球恰好自由下落時，斜面對小球的加速度方向與水平方向夾角為θ，斜向左上方，相對加速度關(guān)系圖如圖13所示．

圖13 相對加速度關(guān)系圖

要小球做自由落體運動，即斜面不能影響小球的下落，斜面體相對于小球的加速度，即圖13中a斜球的方向與水平方向的夾角不能大于θ，據(jù)圖中幾何關(guān)系有

又

a球=g

結(jié)合受力分析由牛頓第二定律有

m1a斜=F-μm1g

聯(lián)立以上各式，得

受以上兩道例題啟發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)：相對運動均為勻速直線運動時，相對位移關(guān)系圖和相對速度關(guān)系圖二者同型；相對運動均為初速度為零的勻加速直線運動時，相對位移關(guān)系圖、相對速度關(guān)系圖和相對加速度關(guān)系圖三者同型，可以給相對運動分析帶來一定的方便.

6 結(jié)束語

2013年高考上海物理卷第20題被熱議多年，物理學界對此尚未達成共識，甚至出現(xiàn)了讓這道題淡出中學物理教學的呼聲．這一現(xiàn)象充分表明，當下的物理教學針對相對運動的分析方法尚存在著不足．

以節(jié)點為特色的系列相對運動關(guān)系圖解決了這一問題．基于伽利略變換的速度合成定理，僅在論證這個圖的科學性時被用到，利用圖解決問題時則無須考慮，這給分析相對運動關(guān)系帶來了極大方便．

“簡單性原理正是理論物理的一個重要方法論原則．”[8]在系列相對運動關(guān)系圖中，把大地這樣的“絕對”參考系跟其他研究對象平權(quán)處置，跟物理學獨有的統(tǒng)一、和諧、簡單的美學追求相吻合．在絕對參考系被無視的情況下，圖中各節(jié)點之間的線段均表示一對相對運動，圖中幾何關(guān)系呈現(xiàn)出來的正是各相對運動的關(guān)聯(lián)關(guān)系．故，把該圖稱作相對運動關(guān)聯(lián)關(guān)系矢量圖，簡稱為相對運動關(guān)系圖．需要特別提示的是，用矢量合成圖的眼光審視該圖是不合適的．

在系列相對運動關(guān)系圖中，用節(jié)點表示的研究對象可以是物理情境中的物體、物體上的點或者其他任何確有所指的運動對象．很顯然，相對運動關(guān)系圖并不局限于平面圖形，也可以是立體圖形或者一維的圖線．

求解2013年高考上海物理卷第20題時，矢量合成法則不能用.一部分中學物理教師也在糾結(jié)為什么.筆者認為，造成這種局面是因為高中物理教材把相對運動問題按運動的合成和分解處理，存在不當.

1 邱菊燕.品讀2013年上海高考第20題.物理教師，2013(12)：76～77

2 王磊，馮守燦.賞析2013年上海高考物理第20題.物理通報，2014(11)：96～97

3 丁士亮.2013年上海高考物理第20題釋疑.中學教學參考，2014(29)：76

4 李愛華.“母”“子”反目——圖說一道競賽題與高考題的孰是孰非.物理教學，2014(9)：74

5 楊培軍，王鵬.再議“母”“子”反目——利用相對運動解決雙繩拉船問題.物理教學，2015(3)：66～68

6 鐘傳波.2013年上海高考物理卷第20題的再思考.物理教師，2016(4)：76～80

7 程靖龍.畫相對速度矢量圖 解相對運動問題.中學物理教學參考，2015(9)：43～45

8 沈葹.美哉物理.上海：上海科學技術(shù)出版社，2010

DiscussionontheGraphicofRelativeMotion——fromtheBattleovertheFutureofaCollegeEntranceExaminationProblem

ChengJinglong

(ShaanxiHapassEducationConsultingCoLtd，Xian,Shaanxi710072)

There is no identicalview on a college entrance examination problem related relative motion ,although that has been hotly debated for years. As a result, we could conclude that the relative motion analysis method of present is not perfect. This paper is going to give a new kind of relative motion graphic method which is based on Galileo transformation. And a Innovative point is found that two endpoints of a directed line segment can be used to represent the research object and reference frame Individually.

relative motion；relative motion graphic method；relative velocity diagram；relative displacement diagram；relative acceleration diagram

2016-09-07)