耿 沛， 邢靜忠， 陳曉霞

(1. 北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191； 2. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387； 3. 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300387)

纖維螺旋纏繞管的纏繞角優(yōu)化

耿 沛1，2， 邢靜忠2,3， 陳曉霞2

(1. 北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100191； 2. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387； 3. 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300387)

為提高材料強(qiáng)度的利用效率,實(shí)現(xiàn)纖維纏繞管強(qiáng)度比沿壁厚的均勻分布，在內(nèi)壓和軸向力作用下，基于Tsai-Wu準(zhǔn)則，以沿壁厚方向的最小強(qiáng)度比最大化為目標(biāo)，建立變纏繞角纖維纏繞管的最優(yōu)化模型。提出將復(fù)合形法和梯度法相結(jié)合的改進(jìn)優(yōu)化算法，通過(guò)優(yōu)化逐層變化的纏繞角使最小強(qiáng)度比最大化，實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度比沿壁厚更均勻分布。以玻璃纖維管為例，在純環(huán)向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力與軸向應(yīng)力之比為2∶1和1∶1的3種工況下，研究不同壁厚條件下最優(yōu)纏繞角分布及其強(qiáng)度比提升效果和均勻程度。結(jié)果表明：優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的材料利用率明顯提升，不同工況、壁厚對(duì)最優(yōu)纏繞角的分布規(guī)律影響很大；最優(yōu)纏繞角可以實(shí)現(xiàn)沿壁厚等強(qiáng)度。

纖維纏繞管； 纏繞角； 失效準(zhǔn)則； 纖維向應(yīng)力

高性能的纖維纏繞壓力容器和管道在諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。文獻(xiàn)[3-6]通過(guò)施加內(nèi)壓和軸向力，研究變纏繞角纖維纏繞結(jié)構(gòu)在不同的應(yīng)力比下抵抗破壞的能力。結(jié)果表明，與單一纏繞角結(jié)構(gòu)相比，變纏繞角結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出更優(yōu)異的抵抗破壞能力。理論分析和實(shí)驗(yàn)研究[7-9]表明，單一纏繞角的纖維纏繞薄壁管道在施加內(nèi)壓或經(jīng)受環(huán)向應(yīng)力與軸向應(yīng)力之比為2∶1的荷載下，最優(yōu)纏繞角在55°左右。文獻(xiàn)[10]比較研究了薄壁筒理論和厚壁筒理論對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度隨壁厚和纏繞角的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)55°纏繞角容器的內(nèi)外側(cè)強(qiáng)度比差別很大。變化纏繞角有可能提高材料利用率，提高結(jié)構(gòu)的承載能力。三維分析發(fā)現(xiàn)鋪層順序?qū)Y(jié)構(gòu)承壓性能有很大影響[11-13]。文獻(xiàn)[14]利用正交各向異性本構(gòu)關(guān)系和軸對(duì)稱理論，在內(nèi)外壓及軸向力作用下，給出變纏繞角纏繞厚壁筒任意纏繞層的應(yīng)力和變形。

基于三維正交彈性理論的結(jié)構(gòu)分析提出過(guò)許多纏繞結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法，如何通過(guò)變化纏繞角以提高纖維纏繞結(jié)構(gòu)的材料利用率還有待研究。1988年，Tsai首次對(duì)變纏繞角纖維纏繞厚壁柱形容器纏繞角的優(yōu)化進(jìn)行研究[1]。但是直到2006年，Tabakov才利用Tsai-Wu失效準(zhǔn)則和遺傳算法，通過(guò)變化纏繞角對(duì)纖維纏繞厚壁柱形容器進(jìn)行纏繞角優(yōu)化分析[15]。這些研究只是提高了最小強(qiáng)度比，并沒(méi)有找到實(shí)現(xiàn)沿壁厚等強(qiáng)度的最優(yōu)纏繞角分布。

本文按照文獻(xiàn)[14]變纏繞角纖維纏繞厚壁管道在內(nèi)壓和軸向力作用下的應(yīng)力變形和纖維向應(yīng)力，基于Tsai-Wu失效準(zhǔn)則，建立多種應(yīng)力狀態(tài)下變纏繞角纖維纏繞管的纏繞角最優(yōu)化模型。比較分析傳統(tǒng)復(fù)合形法和梯度法的計(jì)算效率和結(jié)果差異，提出將2種傳統(tǒng)優(yōu)化算法相結(jié)合的改進(jìn)優(yōu)化算法。以壁厚方向的最小強(qiáng)度比最大化和實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度比更均勻分布為目標(biāo)，尋找最優(yōu)纏繞角變化規(guī)律。以玻璃纖維管道模型為例，在純環(huán)向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力與軸向應(yīng)力之比為2∶1和1∶1這3種工況下，研究不同壁厚條件下最優(yōu)纏繞角分布及其強(qiáng)度比提升效果和均勻程度。

1 纖維層應(yīng)力

采用對(duì)稱均衡纏繞工藝?yán)p繞形成外半徑為rn，內(nèi)半徑為r0的厚壁管道。每2個(gè)均衡對(duì)稱層看成1個(gè)正交各向異性層，n個(gè)外徑為ri(i=1, 2, …,n)的纏繞層，構(gòu)成變纏繞角纖維纏繞管。

多層具有正交各向異性材料構(gòu)成的厚壁管道，在內(nèi)壓qa和外壓qb以及沿z軸方向軸向力Tz的作用下產(chǎn)生半徑r方向和軸線z方向的變形(見圖1)。

圖1 軸對(duì)稱纖維纏繞厚壁柱形容器力學(xué)模型Fig.1 Axisymmetric hybrid filament wound cylinder

1.1 偏軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

由文獻(xiàn)[14]可得偏軸剛度系數(shù)與正軸剛度系數(shù)之間的關(guān)系，得到偏軸坐標(biāo)系下纖維層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

(1)

1.2 平衡方程和應(yīng)力分量

根據(jù)文獻(xiàn)[16]可得纖維層的位移場(chǎng)：

(2)

其中

(3)

其中

當(dāng)si=1時(shí)，rq方向各向同性，式(2)化為

(4)

其中

(5)

式(4)變?yōu)?/p>

(6)

其中

1.3 邊界條件

由內(nèi)外壁邊界條件、層間位移連續(xù)應(yīng)力連續(xù)條件及z向平衡方程[16]，可以確定積分常數(shù)和軸向應(yīng)變的方程組[14]：

[K]{δ}={qi}

(7)

[K]為剛度矩陣[14]，求解式(7)，可得每層的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。

1.4 三維纖維向應(yīng)力公式

由文獻(xiàn)[14]可得纖維向應(yīng)力公式，見式(8)。當(dāng)si=1時(shí)，纖維向應(yīng)力公式變?yōu)槭?9)。

(8)

(9)

2 優(yōu)化模型和優(yōu)化方法

獲得纖維向應(yīng)力后，可基于失效準(zhǔn)則判定危險(xiǎn)點(diǎn)的安全度。這里選用三維Tsai-Wu準(zhǔn)則計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度比。

2.1 強(qiáng)度比計(jì)算

基于三維Tsai-Wu 準(zhǔn)則[10]定義強(qiáng)度比，如式(10)所示。

(10)

式中：

ξ=Fr(σ2+σ3)+Fzσ1。

2.2 工況和纏繞角初值計(jì)算

取玻璃纖維/樹脂基作為纏繞材料，材料參數(shù)[17]為E1=43.4 GPa,E2=15.2 GPa,G12=6.14 GPa,n21=0.29,n32=0.38,Xt=1 062 MPa,Xc=610 MPa,Yt=31 MPa,Yc=118 MPa,S=72 MPa。在管內(nèi)壁施加內(nèi)壓qa=0.111 111 MPa，管道端部施加內(nèi)壓引起軸向力πr02qa。它們?cè)诠鼙诜謩e形成環(huán)向應(yīng)力與軸向應(yīng)力比2∶1，1∶1和純環(huán)向應(yīng)力的3種工況。

取纏繞層數(shù)n=1、3、5、10、15、20，在內(nèi)外半徑比r0/rn為0.95、0.90、0.85、0.80、0.75、0.70、0.65的條件下，優(yōu)化計(jì)算纖維纏繞管道的纏繞角，以及各組最優(yōu)纏繞角對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度比分布規(guī)律。對(duì)于單一纏繞角的薄壁管，最優(yōu)纏繞角為55°[5-9]，取f=55°作為初始纏繞角。

2.3 復(fù)合形-梯度法的提出

分別使用復(fù)合形法和梯度法對(duì)纏繞角進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。研究發(fā)現(xiàn)：對(duì)于不同內(nèi)外半徑比和不同纏繞層數(shù)的纏繞管道，復(fù)合形法得到的最優(yōu)纏繞角波動(dòng)非常大，分布不平滑，對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度比分布上下波動(dòng)，不夠均勻；梯度法給出的纏繞角變化比較平滑，但最小強(qiáng)度比并沒(méi)有達(dá)到復(fù)合形法的結(jié)果，未能實(shí)現(xiàn)最小強(qiáng)度最大化。

為此，本文提出一個(gè)新的優(yōu)化算法：復(fù)合形-梯度法。其優(yōu)化過(guò)程如下：首先使用復(fù)合形法得到各纏繞層的纏繞角，然后將其進(jìn)行函數(shù)擬合，得到纏繞角的分布函數(shù)，再使用梯度法繼續(xù)對(duì)其優(yōu)化。

優(yōu)化計(jì)算結(jié)果顯示：對(duì)于不同壁厚和不同纏繞層數(shù)的模型，當(dāng)層數(shù)n達(dá)到20層后纏繞角趨于穩(wěn)定，其強(qiáng)度比變化非常平坦。

3 優(yōu)化結(jié)果分析

對(duì)不同內(nèi)外半徑比的玻璃纖維管，使用復(fù)合形-梯度法對(duì)前述3種工況分別進(jìn)行計(jì)算。圖2～4分別示出n為300時(shí)，內(nèi)外半徑比r0/rn為0.95、0.80和0.65這3種情況下，初始纏繞角和最優(yōu)纏繞角及其相應(yīng)的強(qiáng)度比沿著壁厚的分布。

圖2 內(nèi)外半徑比為0.95時(shí)玻璃纖維管的纏繞角分布與強(qiáng)度比分布Fig.2 Original and aptimized winding angles and strength radtio distributions of Eglass/epoxy pipe at r0/rn=0.95

圖3 內(nèi)外半徑比為0.80時(shí)玻璃纖維管的纏繞角分布與強(qiáng)度比分布Fig.3 Original and aptimized winding angles and strength radtio distributions of Eglass/epoxy pipe at r0/rn=0.80

圖4 不同內(nèi)外半徑比下玻璃纖維管的纏繞角及強(qiáng)度比沿壁厚的分布Fig.4 Original and optimized winding angles and strength ratio distributions of E-glass/epoxy pipe at ro/rn=0.65

從圖2看出，對(duì)于較薄(r0/rn=0.95)的玻璃纖維管，最優(yōu)纏繞角從內(nèi)向外逐漸增大，優(yōu)化后的強(qiáng)度比沿壁厚分布均勻。從圖3看出，對(duì)于中等厚度(r0/rn=0.80)的玻璃纖維管，優(yōu)化纏繞角呈現(xiàn)內(nèi)低外高的拋物線分布，其強(qiáng)度比沿壁厚分布均勻；從圖4看出，對(duì)于很厚(r0/rn=0.65)的玻璃纖維管，優(yōu)化纏繞角呈現(xiàn)內(nèi)高外低，中間最低的拋物線分布，其強(qiáng)度比沿壁厚分布均勻。玻璃纖維纏繞角的分布規(guī)律表明，當(dāng)層數(shù)n很大時(shí)，纏繞角的變化趨于穩(wěn)定，強(qiáng)度比呈近似直線分布。3種工況下各層的強(qiáng)度比達(dá)到最大值并且沿壁厚均勻分布。

表1示出強(qiáng)度比差值率。可看出：初始方案的強(qiáng)度比最大值和最小值的差值率分別為4.37%、8.05%和26.17%；而優(yōu)化后方案n=20的差值率為0.33%、1.66%和2.49%；n=300的差值率為0.086%、0.160%和0.850%。這表明對(duì)于厚壁玻璃纖維管易實(shí)現(xiàn)最小強(qiáng)度比最大化及強(qiáng)度比沿壁厚均勻分布。

表1 玻璃纖維管初始纏繞角和最優(yōu)纏繞角的強(qiáng)度比差值率Tab.1 Comparison of strength ratio of original and optimized winding angles of E-glass/epoxy pipes

4 結(jié) 論

1) 不同的優(yōu)化方法對(duì)計(jì)算效率和結(jié)果的平滑性有很大影響，本文提出的復(fù)合形-梯度法明顯提升了計(jì)算效率，且使最優(yōu)纏繞角分布更平滑。

2) 不同壁厚的玻璃纖維管的最優(yōu)纏繞角相差很大；對(duì)于很厚的玻璃纖維管，最優(yōu)纏繞角可提升強(qiáng)度比，并實(shí)現(xiàn)強(qiáng)度比沿壁厚的均勻分布。FZXB

[1] TSAI S W. Theory of Composite Design[M]. 4th ed. USA: Think Composites, 1988: 1-5.

[2] SKINNER M L. Trends, advances and innovations in filament winding[J]. Reinforced Plastics, 2006(2): 28-33.

[3] MERTINY P, ELLYIN F, HOTHAN A. An experimental investigation on the effect of multi-angle filament winding on the strength of tubular composite structures[J]. Composites Science and Technology, 2004, 64: 1-9.

[4] SODEN P D, KITCHING R, TSE P C, et al. Influence of winding angle on the strength and deformation of filament-wound composite tubes subjected to uniaxial and biaxial loads[J]. Composites Science and Technology, 1993, 46: 363-378.

[5] SODEN P D, LEADBETTER D, GRIGGS P R, et al. The strength of a filament wound composite under biaxial loading[J]. Composites, 1978(9): 247-250.

[6] SPENCER B, HULL D. Effect of winding angle on the failure of filament wound pipe[J]. Composites, 1978, 9: 263-271.

[7] SODEN P D, KITCHING R, TSE P C. Experimental failure stresses for ±55 filament wound glass fiber reinforced plastic tubes under biaxial loads[J]. Composites, 1989, 20: 125-135.

[8] ELLYIN F, CARROLL M, KUJAWSKI D, et al. The behavior of multidirectional filament wound fibre glass/epoxy tubulars under biaxial loading[J]. Composites, 1997, 28(A): 781-790.

[9] ANTONIOU A E, KENSCHE C, PHILIPPIDIS T P. Mechanical behavior of glass/epoxy tubes under combined static loading: part I: experimental[J]. Composites Science and Technology, 2009, 69(13): 2241-2247.

[10] 邢靜忠, 陳利. 內(nèi)外壓作用下纖維纏繞厚壁柱形容器的強(qiáng)度[J]. 復(fù)合材料學(xué)報(bào), 2011, 28(1): 124-131. XING Jingzhong, CHEN Li. Strength of filament wound thick-walled cylindrical vessel under internal and external pressure[J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 2011, 28(1): 124-131.

[11] ROY A K, TSAI S W. Design of thick composite cylinders[J]. Journal of Pressure Vessel Technology, 1988, 110: 255- 262.

[12] COHEN D. Influence of filament winding parameters on composite vessel quality and strength[J]. Composites Part A, 1997, 28: 1035-1047.

[13] MERTINY P, ELLYIN F, HOTHAN A. Stacking sequence effect of multi-angle filament wound tubular composite structures[J]. Journal of Composite Materials, 2004, 38(13): 1095-1113.

[14] XING J Z, GENG P, YANG T. Stress and deformation of hybrid filament-wound thick cylinder vessel under internal and external pressure[J]. Composite Structures, 2015, 131(1): 868- 877.

[15] TABAKOV P Y, SUMMERS E B. Lay-up optimization of multilayered anisotropic cylinders based on a 3-D elasticity solution[J]. Composite Structures, 2006, 84: 374-384.

[16] 邢靜忠, 陳利, 孫穎. 纖維纏繞厚壁柱形容器的應(yīng)力和變形[J]. 固體火箭技術(shù), 2009, 32(6): 680-685. Xing Jingzhong, CHEN Li, SUN Ying. Stress and deformation of filament-wound thick cylinder vessel under internal and external pressure[J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2009, 32(6): 680-685.

[17] GOETSCHEL D B, RADFORD D W. Analytical development of through-thickness properties of composite laminates[J]. Journal of Advanced Materials, 1997, 29(7): 37-46.

Winding angle optimization of filament spiral wound pipe

GENG Pei1，2, XING Jingzhong2,3, CHEN Xiaoxia2

(1.SchoolofAeronauticScience&Engineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China; 2.SchoolofMechanicalandElectronicEngineering,TianjinPolytechnicUniversity,Tianjin300387,China; 3.TianjinKeyLaboratoryofAdvancedMechatronicsEquipmentTechnology,Tianjin300387,China)

More uniform strength for all layers can be achieved by variation of winding angle to improve the utilization efficiency of filament wound (FW) pipe. An optimization model of FW pipe under uniform internal pressure and axial force is built based on Tsai-Wu failure criterion to maximize the lowest strength ratio along the thickness direction. An improved optimization algorithm derived from two conventional methods (complex method and steepest descent method) is proposed by optimizing the winding angle of the layer by layer, and the minimum strength ratio is maximized. In three cases of pure hoop stress and the ratios of hoop stress to axial stress of 2∶1 and 1∶1, an optimization model of pipes made of E-glass/epoxy is illustrated to evaluate the improvement of the minimum strength ratio and the uniformity of the optimized winding angle distributionunder different ratio of thickness to radius, respectively. The research shows that the material utilization can be increased by proper winding angle variation. A quite uniform distribution of strength ratio along thickness can be realized easily by the optimization of the winding angle.

filament wound pipe; winding angle; failure criterion; fiber stresses

10.13475/j.fzxb.20160105306

2016-01-26

2016-06-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575390); 天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃一般項(xiàng)目(14JCYBJC19200)

耿沛(1989—)，男，碩士生。研究方向?yàn)閺?fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)。邢靜忠，通信作者，E-mail：hsingjzh@tjpu.edu.cn。

TB 332； O 343

A