南京市大廠高級中學(xué)(210044) 雷亞慶●

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靈感源于構(gòu)造三角形

南京市大廠高級中學(xué)(210044)
雷亞慶●

有些代數(shù)問題處理起來無從下手，沒有頭緒，如果我們能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出三角形，把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，就會使隱藏的關(guān)系直觀化，從而發(fā)現(xiàn)解題思路，實(shí)現(xiàn)難題巧解，下舉幾例加以說明.

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

解析 構(gòu)造△ABC,使得A=38°,B=82°,C=60°,設(shè)△ABC外接圓直徑為2R,則

sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

由正弦定理：

sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

解題反思 如果利用三角公式進(jìn)行化簡和求值運(yùn)算，需要降冪公式和和差化積公式，較繁瑣，仔細(xì)觀察所給角的特征我們發(fā)現(xiàn)38°,82°與60°正好構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，因此考慮構(gòu)造三角形利用正余弦定理求解.實(shí)際上利用歸納推理，大家還可以得到一般性結(jié)論: 這實(shí)際上是正余弦定理的綜合形式：

sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.

例2 求tan15°.

解析 如圖2構(gòu)造Rt△ABC，∠C=90°,AB=2,CA=1,則∠ABC=30°.

延長CB到D,使BD=BA，連AD，則∠ADC=15°

解題反思 先構(gòu)造含有30° 角的直角三角形，再利用平面幾何知識構(gòu)造出含有15°的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義輕松解決問題.事實(shí)上，如圖3我們把結(jié)論一般化可以利用構(gòu)造直角三角形的方法巧妙地記憶正切的半角公式：

例3 已知a、b、c均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式a2+b2=c2,又n為不小于3的自然數(shù)，

求證:an+bn

證明 設(shè)a、b、c所對的角分別為A、B、C，知C是直角，A為銳角，

因?yàn)?

所以n≥3時(shí)，有

sinnA

于是有sinnA+cosnA

從而就有an+bn

解題反思 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，一些學(xué)生都會想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，實(shí)際上由條件a、b、c均為正實(shí)數(shù)及a2+b2=c2可聯(lián)想到勾股定理,a、b、c可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如上證法.

解題反思 很多同學(xué)看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁.從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式.根據(jù)其特點(diǎn)，可構(gòu)造三角形巧妙而簡捷加以證明，這正是思維變通的體現(xiàn).

由雙曲線的第二定義有

解題反思 離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要的基本量，根據(jù)直線與圓錐曲線位置關(guān)系求離心率是一個(gè)難點(diǎn).如果我們掌握利用構(gòu)造直角三角形，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義找到離心率，直線斜率和直角邊的關(guān)系，就可以順利求解.而且此類問題也有一般性結(jié)論，有興趣的老師和同學(xué)可以自行探究.

由此問題轉(zhuǎn)化為：在線段AB上取一點(diǎn)C，使MC+NC最小.

利用對稱性問題得以輕松的解決.答案應(yīng)為13.

解題反思 本題有點(diǎn)兒那種“數(shù)缺形時(shí)少直觀”的感覺.而且用純代數(shù)方法不易尋得解題思路， 而如果變數(shù)為形，構(gòu)造直角三角形，展示題目特點(diǎn)，利用對稱則可輕松獲解.

通過構(gòu)造三角形對上述幾個(gè)問題的解決告訴我們解題時(shí)要注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來，通過類比聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合思想把問題放在三角形中，利用解三角形的知識使解題更加簡潔明了.

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