浙江省寧波市慈溪實驗高級中學(315300) 俞 健●

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還原三視圖的神奇寶盒

浙江省寧波市慈溪實驗高級中學(315300)
俞 健●

三視圖是新教材引進的一個新內(nèi)容，考查難度在逐年遞增.其中關(guān)鍵的難點在于如何能把三視圖還原成空間幾何體.無論你如何遠看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同，其實我們所有的問題都可以用一個萬能長方體解決.

高中數(shù)學;三視圖;還原

首先我們應(yīng)該運用逆向思維，從出題者的角度看問題.出題者先確定空間幾何體，再畫出其三視圖，要求考生根據(jù)已給出三視圖，解答問題.而出題者所給出的所有空間幾何體都必定是某長方體中的一部分.通過不同的割補手法，通常有常規(guī)式、切角式和組合式這三種空間幾何體.

一、常規(guī)式——先定底再定頭(常規(guī)幾何體)

三視圖剛出現(xiàn)的幾年，出題者往往選擇一些“普通”的錐體和柱體，最常見的就是三棱錐、四棱錐.給出一個最“簡單”的擺放位置，給出三視圖讓我們還原，我們可以根據(jù)三視圖的長、高、寬繪制一個能包住該空間幾何體的長方體盒子，根據(jù)俯視圖確定底面，再根據(jù)其他兩個視圖估計是錐體還是柱體，若是柱體，由俯視圖在長方體的上表面確定上底面，從而得出結(jié)論；若是錐體，則由俯視圖在長方體的上底面確定頂點.

而最近幾年慢慢出現(xiàn)的變化是“普通”幾何體的“不普通”放法，我們先定的底可能是由側(cè)視圖或正視圖，把“普通”的幾何體“放倒”，其實解題的策略還是一致的.

例1 若某幾何體的三視圖(如右上圖)所示，則這個幾何體中最長的棱長等于____，體積等于____.

變1 根據(jù)右面的這個多面體的三視圖畫出其直觀圖

思路分析

點評 不是所有圖形都是從俯視圖入手的.我們還原“普通”幾何體時首先要確定的是該幾何體的底，分成下上、左右、前后三類，左右和前后的順序可根據(jù)線段的虛實確定.

二、切角式——長方體切掉簡單幾何體

這類幾何體往往是從長方體中切去若干個“普通”錐體與柱體，剩下一個不規(guī)則幾何體或者不規(guī)則放置的“普通”幾何體.這類問題出現(xiàn)，往往讓考生不能根據(jù)某個底，迅速想像出幾何模型，那我們就要拋棄這個復(fù)雜的結(jié)果，考慮幾何體形成的過程，簡單—簡單 = 復(fù)雜，回避問題的復(fù)雜性.

例2 根據(jù)下面這個多面體的三視圖畫出其直觀圖

點評 其實在某種情況下，由三視圖得出的直觀圖并不一定唯一,其實這種圖形的變化也多種多樣，我們在長方體周邊切掉的三棱錐或四棱錐也可以在縮小到原棱長的一半，三分之一等等，這類問題的空間幾何體原型是最簡單的長方體，而切掉的也是常見的比較簡單的幾何體，對考生而言，都是比較熟悉和可以想象的，可這樣：簡單減去簡單的過程之后，剩下的幾何體則是我們?nèi)粘Ｉ詈徒虒W過程中不常見的幾何體或者是“懸空”放置的一些幾何體.所以，一旦我們遇到一眼不能快速想像“普通”幾何體的問題，往往可以考慮這種切邊角料的思路.

三、混搭式——簡單幾何體的組合

這類幾何體往往是幾種常見的幾何體的一個組合，直觀性比較強，我們也可以先給這個幾何體定好包圍在外的長方體，然后把常見的柱錐臺組合猜想在一起.

例3 (課本P15練習2)根據(jù)下面這個多面體的三視圖畫出其直觀圖如下圖.

其實這個圖形的組合還有很多，比如圓錐與圓柱，圓錐與棱柱，棱錐與圓柱，棱錐與球，圓柱與棱柱等等.出題者一般肯定是在棱柱、棱錐、棱臺及圓柱、圓錐、圓臺這6中常規(guī)幾何體中選擇2種或3種進行一個組合，明白出題者的命題方向，那么我們解題就能知己知彼，戰(zhàn)無不勝.

解決了三視圖的還原問題，那么接下來幾何體的表面積，體積等等問題都可以迎刃而解，該問題較能體現(xiàn)學生的空間想象能力和學生對空間幾何體的認知水平，而突破這個問題的關(guān)鍵就是要把所有的問題化歸到學生非常熟悉的生活模型中，所以筆者從一個萬能長方體入手，把所有幾何體原型都裝入這個萬能盒子中，通過自下而上(或自左往右、自前往后)、簡—簡、簡+簡的三種構(gòu)造方式來考慮問題，最后再用長方體的3個表面為底，驗證構(gòu)造的成功與否.有了這個長方體的“依靠”，三視圖問題再也不是碰運氣，而是有法可依.

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