安徽省靈璧第一中學(xué)(234200) 鄭 良●

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明晰目標(biāo)抓特性順勢(shì)而為促優(yōu)解
——由兩道導(dǎo)數(shù)試題引發(fā)的思考

安徽省靈璧第一中學(xué)(234200)
鄭 良●

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.通過(guò)對(duì)含參不等式恒成立、函數(shù)零點(diǎn)等典型問(wèn)題的解答與反思，澄清對(duì)相關(guān)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解，并給出學(xué)習(xí)方式方法的思考.

函數(shù)最值法；分離參數(shù)法；圖象法；設(shè)而不求；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生解題時(shí)往往囿于模式而不能根據(jù)特性跳出模式，導(dǎo)致過(guò)程冗長(zhǎng)，事倍功半.本文對(duì)兩道導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行分析求解，以期幫助學(xué)生提高審題的敏感性，思維的深刻性，方法適切性、過(guò)程的合理性.

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，求k的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)

分析 判斷函數(shù)單調(diào)性的常見(jiàn)方法為定義法、導(dǎo)數(shù)法、復(fù)合函數(shù)法、圖象法等，學(xué)生更喜歡選擇“功能強(qiáng)大”的導(dǎo)數(shù)法.對(duì)于含有參數(shù)的不等式(或方程)問(wèn)題，確定參數(shù)取值范圍的基本方法是函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法等，學(xué)生往往優(yōu)選分離參數(shù)法.

又當(dāng)k=-1時(shí)，f(x)是常數(shù)函數(shù)，所以k>-1.即k的取值范圍為(-1,+∞).

解法2 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)0)，則m′(x)=k-1-ln(x+1)，令m′(x)=0，得x=ek-1-1.

(ⅰ)當(dāng)k≤1時(shí)，函數(shù)m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí)，都有m(x)≤m(0)=-1<0，符合題意.

(ⅱ)當(dāng)k>1時(shí)，函數(shù)m(x)在(0,ek-1-1)上單調(diào)遞增，在(ek-1-1,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)x>0時(shí)，都有m(x)≤m(ek-1-1)=ek-1-k-1，要使f(x)1)，h′(x)=ex-1-1>0，所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.又h(2)=e-3<0，h(3)=e2-4>0，所以正數(shù)k的最大值為2.

(ⅰ)當(dāng)k≤0時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于第(Ⅰ)問(wèn)，解法1用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，判定條件務(wù)必準(zhǔn)確(函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增?f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立，且f′(x)不恒為0，減函數(shù)類似)，f(x)的分母為一次式，分子中x(最高次)的系數(shù)為參數(shù)k，故有可能為常數(shù)函數(shù).解法2通過(guò)等價(jià)變形直接利用反比例型函數(shù)的結(jié)論，事半功倍.當(dāng)然也可以用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)求解.對(duì)于第(Ⅱ)問(wèn)，解法1分離參數(shù)，此法解題的關(guān)鍵是原不等式(或方程)能分離出來(lái)參數(shù)，且分離后得到的新函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，為后續(xù)研究函數(shù)性質(zhì)奠定基礎(chǔ).在判斷n(x)單調(diào)性時(shí)，遭遇h(x)零點(diǎn)“不可求”，通過(guò)“設(shè)而不求”遇水搭橋，求n(x)最小值時(shí)采用整體代換實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.解法4為圖象法，此法的關(guān)鍵要求兩個(gè)函數(shù)的圖象盡可能準(zhǔn)確且差異明顯，對(duì)圖象局部模糊的部分進(jìn)行放大或代數(shù)化處理，解題時(shí)盡可能規(guī)避函數(shù)的凹凸性.解答中用到了“設(shè)而不求”及下凸函數(shù)的性質(zhì).解法2與解法3均為函數(shù)最值法，通過(guò)研究函數(shù)的(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，此處主要用到函數(shù)的最值性，不同的是，解法2將問(wèn)題模式化：化分式為整式，此法可通過(guò)規(guī)避分式函數(shù)分子與分母求導(dǎo)繁雜的運(yùn)算來(lái)優(yōu)化解題過(guò)程，考慮到f(x)的分子與分母均為x的“一次”式，且ln(x+1)的真數(shù)恰為f(x)的分母，直接作差(解法3)求導(dǎo)更容易確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)性.通過(guò)對(duì)函數(shù)特性的分析，解法3更貼近學(xué)生認(rèn)知，效果更好.

解法3 由題意知f(0)=f(2)=0，即無(wú)論a為何值時(shí)，f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)0，2.

解無(wú)定法，貴在得法.平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要各種方法一起抓，經(jīng)歷思維從膚淺到深刻的過(guò)程，比較解法差異與優(yōu)劣，力爭(zhēng)既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林，以便宏觀規(guī)劃、細(xì)微入手.

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