浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué)(314511) 范廣法●

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零點(diǎn)與極值點(diǎn)重合之后

浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué)(314511)
范廣法●

本文重點(diǎn)介紹了一類函數(shù)的零點(diǎn)與極值點(diǎn)重合時(shí)的一個(gè)結(jié)論,并結(jié)合高考實(shí)例給出常見應(yīng)用.

零點(diǎn)與極值點(diǎn)重合;結(jié)論

用穿針引線法解高次不等式時(shí)，若遇到重根時(shí)則要求“奇穿偶不穿” ．如設(shè)f(x)=x(x-1)2(x-2)3，意思是說：由于2是方程f(x)=0的奇數(shù)重根，在x=2附近函數(shù)y=f(x)的圖象要穿透x軸；而1是方程f(x)=0的偶數(shù)重根，在x=1處函數(shù)y=f(x)的圖象碰到x軸后立刻反彈,而不是穿透，俗稱“穿而不透”．結(jié)合穿針引線法所畫函數(shù)y=f(x)的圖象不難發(fā)現(xiàn)，1既是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)又是零點(diǎn)，推而廣之后有：

一、“式”“圖”結(jié)對(duì)研判圖象

例1 (2009年安徽高考)設(shè)a

解析 (x-a)2是函數(shù)y=(x-a)2(x-b)的因式，這是已知函數(shù)在“式”上的特征，又a

二、明確身份特征，化解參數(shù)取值

上述結(jié)論中的x0及例1中的a都具有雙重身份——y=f(x)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)，有時(shí)只要抓住這一點(diǎn)就可化解參數(shù)取值.

例2(2016年浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，x∈R，則實(shí)數(shù)a=____，b=____．

解析 首先明確參數(shù)a,b的身份，設(shè)g(x)=f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，g(x)與f(x)的圖象存在上下平移關(guān)系，所以非零實(shí)數(shù)a是g(x)的極值點(diǎn)(當(dāng)然也是f(x)的極值點(diǎn))、零點(diǎn)，b是g(x)的另外一個(gè)零點(diǎn)，這樣實(shí)數(shù)a,b的身份就清楚了.其次化解參數(shù)a,b的取值，又f(x)=x3+3x2+1的極值點(diǎn)是-2、0，所以非零實(shí)數(shù)a=-2，從而g(x)=f(x)-5=(x-b)(x+2)2，令x=0求得實(shí)數(shù)b=1.

例3 (2016年天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R．若f(x)存在極值點(diǎn)x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證：x1+2x0=0.

例4 (2012年浙江高考)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=____．

解析 設(shè)f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1)，當(dāng)x→+時(shí)，x2-ax-1>0,f(x)≥0，必有(a-1)x-1≥0，所以a-1>0.而x>0時(shí)f(x)=0有兩正根．要使得x>0時(shí)f(x)≥0恒成立，考慮到穿根的特點(diǎn)，兩正根必相等，所以具有雙重身份——f(x)的極小值點(diǎn)、零點(diǎn)，，從而求得．

三、利用恒等原理，化解參數(shù)取值

例2例3中都有“x∈R”，這表明給定的式子是恒成立的，從此入手也可化解參數(shù)難題.

例5 (同例3)

解析二f(x)-f(x0)=(x-x1)(x-x0)2.因?yàn)閒(x0)為常數(shù)且x∈R，所以f′(x)與[f(x)-f(x0)]′恒等，即3x2-a與(x-x0)(3x-x0-2x1)恒等，再求導(dǎo)有6x與6x-4x0-2x1恒等，比較兩邊的常數(shù)項(xiàng)有0=-4x0-2x1即x1+2x0=0．

4.利用取值畫圖,研判極值點(diǎn)類型

上述結(jié)論不能研判x0是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，如若研判極值點(diǎn)類型，可參考以下兩例．

例6 (2013年浙江高考)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則

A．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值

B．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

C．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值

D．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

解析一 當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=0只有兩解0，1，由穿針引線法可作出函數(shù)f(x)的大致圖象，排除A,B；當(dāng)k=2時(shí)，f(x)=0只有兩解0，1(二重根)，由穿針引線法可作出函數(shù)f(x)的大致圖象(見圖)，易知只有選項(xiàng)C正確.

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