江西省撫州市第一中學(xué)(344000) 劉大明●

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共點(diǎn)力條件下的力學(xué)平衡常見題型及其解題方法
——評(píng)析2016年全國(guó)卷三道力學(xué)平衡試題

江西省撫州市第一中學(xué)(344000)
劉大明●

一、2016年全國(guó)卷概析

縱觀2016年全國(guó)3套理綜物理試卷，總感受是回歸教材、回歸基礎(chǔ)、回歸常規(guī).筆者認(rèn)為，這種“回歸”不是守舊，而是一種樸實(shí)的力量，體現(xiàn)了對(duì)“雙基”(基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能)的高度重視.有些用尖端科學(xué)、前沿科學(xué)、科學(xué)新聞等信息包裝的所謂信息題，確實(shí)能夠考查學(xué)生篩選有用信息的能力；但是，在容量巨大且考試時(shí)間限定的理綜考試中，信息題勢(shì)必要花費(fèi)考生大量寶貴時(shí)間，致使整個(gè)試卷的區(qū)分度不足，導(dǎo)致選拔性功能減弱.所以，今年全國(guó)3套試卷都沒有出現(xiàn)“文字繁多”的所謂信息題.

實(shí)際上，“回歸常規(guī)”試題，除了可以考查雙基的掌握情況，而且可以考查篩選、鑒別有用信息的能力.例如，幾乎所有物理試題都有所謂的關(guān)鍵字眼，只有甄別它們并正確解讀才能順利解題.

力學(xué)平衡試題可謂是常規(guī)中的常規(guī)，全國(guó)3卷中都命制了有關(guān)試題，涵蓋了力學(xué)平衡試題中的3種題型.本文對(duì)3道試題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)分析作為線索，對(duì)力學(xué)平衡試題進(jìn)行了問題界定、題型歸總、解法探討.

二、力學(xué)平衡概述

所謂力學(xué)平衡，是指物體受到幾個(gè)力的作用保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài).從動(dòng)力學(xué)角度而言，即所受幾個(gè)力的合力為零.力學(xué)平衡問題是高中物理試題中最重要的傳統(tǒng)題型之一.

在減負(fù)的要求下，各學(xué)科的知識(shí)要求都有所減弱.就力學(xué)平衡方面，主要討論共點(diǎn)力條件下的平衡問題(下文簡(jiǎn)稱共點(diǎn)力平衡)，下文自然探討共點(diǎn)力平衡.

其中，共點(diǎn)力平衡里有一種稱之為動(dòng)態(tài)平衡.所謂動(dòng)態(tài)平衡，首先是“平衡”，即物體處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；其次是“動(dòng)態(tài)”，即某個(gè)力或某幾個(gè)力發(fā)生改變.

綜合起來(lái)，就是在某些力發(fā)生改變的平衡問題.共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡又是命題專家最熱衷的題型，因?yàn)樗芘囵B(yǎng)抽象思維能力和“動(dòng)態(tài)平衡”思維能力(與空間智力緊密相關(guān)).共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題，題型種類豐富，解題方法多樣，但每一種方法都是高中物理必須掌握的基本方法.師生重視并強(qiáng)化動(dòng)態(tài)平衡問題，不僅僅可以應(yīng)對(duì)力學(xué)平衡試題，更重要的是對(duì)高中物理學(xué)科基本技能(矢量圖、正交分解、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題等)的培養(yǎng)將起到不可忽視的作用.

三、力學(xué)平衡試題基本解題方法及其原理

1.基本原理

圖1

力是矢量，力的合成與分解遵循平行四邊形法則，即遵循數(shù)學(xué)中的向量加減運(yùn)算法則.根據(jù)向量運(yùn)算法則，共點(diǎn)力平衡下的所有力構(gòu)成的矢量圖必定首尾依次相連，即表示各力的帶箭頭的線段，箭頭與箭尾依次相連.例如，三個(gè)共點(diǎn)力處于平衡狀態(tài)時(shí)，構(gòu)成了如圖1所示的矢量三角形.

另外，向量加減運(yùn)算還可以使用解析方法，即坐標(biāo)法.根據(jù)向量這一方法不難得出結(jié)論：共點(diǎn)力平衡的所有力正交分解到任一方向上，其代數(shù)和都為零，即在這一方向上依然處于平衡狀態(tài).

2.基本解題方法

(1)圖解法

物體受到三個(gè)力的作用處于平衡狀態(tài)，構(gòu)建圖1所示的矢量三角形進(jìn)行直接觀察、分析的方法，稱之為圖解法.

例1 (全國(guó)Ⅱ卷)質(zhì)量為m的物體用輕繩AB懸掛于天花板上．用水平向左的力F緩慢拉動(dòng)繩的中點(diǎn)O，如圖2所示．用T表示繩OA段拉力的大小，在O點(diǎn)向左移動(dòng)的過程中( ).

A．F逐漸變大，T逐漸變大

B．F逐漸變大，T逐漸變小

C．F逐漸變小，T逐漸變大

D．F逐漸變小，T逐漸變小

答案 A

解析 對(duì)繩中O進(jìn)行受力分析，OB段拉力等于重力mg.這屬于動(dòng)態(tài)平衡問題，F(xiàn)與T的變化情況如圖3所示(拉力T圖示箭頭為了觀看方便進(jìn)行了處理——本應(yīng)位于矢量三角形頂點(diǎn)上，OB段拉力未標(biāo)出)，可得：F→F′→F″↑、T→T′→T″'↑.

點(diǎn)評(píng) 采用圖解法，可以直觀、形象得出結(jié)論，這是圖解法的優(yōu)點(diǎn).然而，有些力學(xué)平衡題型，并不能按照題目要求畫出正確的中間矢量三角形，而要借助一些輔助手段.詳細(xì)解讀參閱題型三分析.

(2)解析法

物體受到三個(gè)力或三個(gè)以上的力的作用處于平衡狀態(tài)，根據(jù)合力為0構(gòu)建相關(guān)代數(shù)方程或函數(shù)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算、分析和判斷的方法，稱之為解析法.

例2 (全國(guó)Ⅰ卷)如圖4，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO'懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則( ).

A.繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化

B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化

C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化

D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化

答案:BD

圖4 圖5

解析 由題意，在F保持方向不變，大小發(fā)生變化的過程中，物體a、b均保持靜止，各繩角度保持不變；選a受力分析得，繩的拉力T=mag，所以物體a受到繩的拉力保持不變.由光滑輪性質(zhì)，滑輪兩側(cè)繩的拉力相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；a、b受到繩的拉力大小方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)b進(jìn)行受力分析，并將各力沿水平方向和豎直方向分解，如上圖5所示.由受力平衡得：Tx+f=Fx，F(xiàn)y+N+Ty=mbg.T和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時(shí)；支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項(xiàng)正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項(xiàng)正確；故答案選BD.

點(diǎn)評(píng) 分析繩、輪上的作用力時(shí)，必須熟悉相關(guān)模型及其特點(diǎn).例如輕繩上各處力的大小都相等，繩上的力可以發(fā)生突變，其跨過光滑物兩端力的大小依然相等(注意:區(qū)別打了“結(jié)”的繩，“結(jié)”兩側(cè)的繩受力不一定相等).在分析物體b所受力的變化情況時(shí)，采用了所謂的正交分解法，從正交的兩個(gè)方向上合力均為零建立方程，從而使問題得以進(jìn)行代數(shù)分析.

(3)綜合法

圖解法和解析法是解決力學(xué)平衡問題的兩個(gè)基本方法.在多數(shù)力學(xué)平衡題型里，要綜合使用這兩種方法，特別是如例2一樣的多個(gè)物體通過輕繩、輕桿連接在一起的多物體平衡問題，多半要綜合采用兩種方法.

四、力學(xué)平衡題型及其具體解法

1.三力平衡問題

題型一 一個(gè)力恒定，第二個(gè)力方向不變，而第三個(gè)力大小和方向都改變的情景，解決此類問題的最佳方法是圖解法(或矢量三角形法).

具體解法介紹 如例1，在O點(diǎn)向左移動(dòng)的過程中，試題中“緩慢”關(guān)鍵字說明物體始終處于平衡狀態(tài).OB繩上拉力恒定，F(xiàn)方向不變，T方向改變，即屬于一個(gè)力恒定，第二個(gè)力方向不變，而第三個(gè)力方向改變的情景.這種情景，運(yùn)用圖解法能夠直觀形象地看出兩個(gè)變力的大小變化情況.使用圖解法的一般步驟是：(1)確定研究對(duì)象，受力分析；(2)畫定恒力，平移兩個(gè)變力，構(gòu)成首尾相連的封閉矢量三角形，即得初態(tài)矢量圖；(3)根據(jù)條件，逐一畫出若干中間過程矢量圖，以及末態(tài)矢量圖；(4)觀察兩個(gè)變力的大小變化情況.

題型二 一個(gè)力恒定，兩個(gè)力的方向都改變的情景，解決此類問題的最佳方法是相似三角形法.

例3 如圖6所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一個(gè)小定滑輪，細(xì)繩一端拴一小球，小球置于半球面上的A點(diǎn)，另一端繞過定滑輪.今緩慢拉繩使小球從A點(diǎn)滑到半球頂點(diǎn)，則此過程中，小球?qū)Π肭虻膲毫N及細(xì)繩的拉力FT大小變化情況( ).

圖6 圖7

A．FN變大，F(xiàn)T變大 B．FN變小，F(xiàn)T變大

C．FN不變，F(xiàn)T變小 D．FN變大，F(xiàn)T變小

答案:C

具體解法介紹 緩慢拉繩使小球從A點(diǎn)滑到半球頂點(diǎn)過程，物體始終處于平衡狀態(tài)，其中重力恒定，球面的支持力FN和繩子拉力FT的方向都在改變，即屬于一個(gè)力恒定，兩個(gè)力的方向都改變的情景.這種情景，僅使用圖解法很難獲得正確結(jié)論，而綜合使用解析法.針對(duì)本題型，我們稱之為“相似三角形法”.運(yùn)用相似三角形法的一般步驟：(1)確定研究對(duì)象，受力分析；(2)適當(dāng)平移力，構(gòu)建封閉的矢量三角形；(3)仔細(xì)觀察，構(gòu)造(或?qū)ふ?與此矢量三角形相似的幾何三角形；(4)利用“對(duì)應(yīng)邊之比相等”建立方程，解得所求力的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(5)根據(jù)已知條件，從數(shù)學(xué)表達(dá)式中得出變力的大小變化關(guān)系結(jié)論.

題型三 (a)一個(gè)力恒定，兩個(gè)力的方向都改變，但這兩個(gè)力的夾角不變的情景，解決此類問題的最佳方法是輔助圓法.

例4 如圖8所示，物體G用兩根繩子懸掛，開始時(shí)繩OA水平，現(xiàn)將兩繩同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)過90°，且保持兩繩之間的夾角α不變(α>900)，物體保持靜止?fàn)顟B(tài)，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)繩OA的拉力為F1，繩OB的拉力為F2，則( ).

A.F1先減小后增大

B.F1先增大后減小

C.F2逐漸減小 D.F2最終變?yōu)榱?/p>

圖9

解析 對(duì)質(zhì)點(diǎn)O進(jìn)行受力分析，作出初態(tài)矢量三角形，如圖9實(shí)線三角形所示；然后作初態(tài)三角形的外接圓.根據(jù)題意，改變兩個(gè)變力的方向，作圓的若干內(nèi)接矢量三角形，即得中間過程矢量圖.從圖中，直觀形象地看出繩OA的拉力F1先增大后減小，繩OB的拉力F2逐漸減小.

具體解法介紹 在動(dòng)態(tài)平衡過程中，重力恒定，繩OA的拉力F1，繩OB的拉力F2的方向都在改變，但夾角不變，即屬于一個(gè)力恒定，兩個(gè)力的方向都改變，且夾角不變的情景.就此情景，運(yùn)用圖解法不宜控制兩變力的夾角保持不變，從而影響觀察，難以得出正確結(jié)論；借助輔助圓，可以攻克這一困難.運(yùn)用輔助圓法的一般步驟是：(1)確定研究對(duì)象，受力分析；(2)畫出初態(tài)矢量三角形；(3)作初態(tài)矢量三角形的外接圓；(4)依據(jù)題意，以恒力為一邊作圓的內(nèi)接三角形，即得中間過程矢量三角形；(5)觀察過程矢量三角形的形態(tài)變化，得出結(jié)論.

(b)一個(gè)力恒定，兩個(gè)力的方向都改變，但其中一力的大小不變的情景，解決此類問題的最佳方法亦是輔助圓法，但做法與情景(a)不同.

圖10

具體解法介紹 在動(dòng)態(tài)平衡過程中(如圖10所示)，一個(gè)力F恒定，另一個(gè)力F1方向改變，但要求大小不變，第三個(gè)力F2隨之改變，這種情景不同于情景(a)，但是依然運(yùn)用輔助圓法，只不過輔助圓的做法隨之改變,具體做法如下.(1)確定研究對(duì)象，受力分析；(2)畫出初態(tài)矢量三角形；(3)以恒力和大小不變的力的交匯頂點(diǎn)為圓心，大小不變力為半徑做圓；(4)此圓上的點(diǎn)即是兩個(gè)變力的交匯頂點(diǎn)，繼而做出過程矢量三角形；(5)根據(jù)過程矢量三角形的形態(tài)變化，得出結(jié)論.

2.多力動(dòng)態(tài)平衡問題

題型四 物體受到多個(gè)力作用處于平衡狀態(tài)，其中一個(gè)力的大小或方向改變時(shí)，其他有些力也發(fā)生改變的問題，稱之為多力動(dòng)態(tài)平衡問題，如例2中的物體b.解決此類問題的最佳方法是所謂的正交分解法.

具體解法介紹 (1)確定研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析；(2)建立正交坐標(biāo)系(高中階段，一般以物體幾何中心為原點(diǎn))；(3)把各個(gè)力正交分解在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，得到兩個(gè)沿坐標(biāo)軸的分力；(4)根據(jù)力學(xué)平衡基本原理，建立方程式進(jìn)行求解.另外，運(yùn)用正交分解法要靈活使用兩個(gè)原則：原則一，建立正交坐標(biāo)系時(shí)，盡量使更多的力位于坐標(biāo)軸上，如此才能減少運(yùn)算量；原則二，滿足原則一的情況下，盡量使未知力位于坐標(biāo)軸上.

3.連接體的平衡問題

題型五 關(guān)于通過輕繩、輕滑輪連接的兩個(gè)或多個(gè)物體的力學(xué)平衡問題，如全國(guó)I卷，即例2、全國(guó)Ⅲ卷(見下文例5).一般地，多個(gè)物體的動(dòng)態(tài)平衡問題，首先，要會(huì)靈活運(yùn)用整體法、隔離法，這正是與單個(gè)研究對(duì)象的力學(xué)平衡問題的不同之處；其次，一旦確立了研究對(duì)象，要會(huì)靈活運(yùn)用前文所討論的方法，此時(shí)又回到單個(gè)研究對(duì)象的平衡問題.

例5 (全國(guó)Ⅲ卷)如圖11，兩個(gè)輕環(huán)a和b套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上：一細(xì)線穿過兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為m的小球.在a和b之間的細(xì)線上懸掛一小物塊.平衡時(shí)，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計(jì)所有摩擦.小物塊的質(zhì)量為( ).

答案:C

解析 直覺告知我們，a、b兩環(huán)及細(xì)繩關(guān)于豎直直徑對(duì)稱.設(shè)圓心為O，因?yàn)閍、b間的距離恰好等于圓弧的半徑，所以△Oab是等邊三角形.選擇任一環(huán)作為研究對(duì)象，輕繩施于的兩個(gè)張力大小相等，且等于mg，根據(jù)三力平衡的矢量三角形原理不難得知，兩半徑Oa、Ob為對(duì)應(yīng)角的角平分線.設(shè)小物塊懸掛點(diǎn)為O1(由對(duì)稱性知，在豎直直徑上)，由幾何關(guān)系不難得知∠aO1b為120°，于是得知小物塊質(zhì)量也為m.

點(diǎn)評(píng) 因?yàn)閮森h(huán)、兩球“地位”相當(dāng)，不難從整體上判斷出“對(duì)稱性”關(guān)系；結(jié)合對(duì)稱性，對(duì)其中任一一環(huán)隔離分析，不難確知∠aO1b為120°，最后再對(duì)小物塊隔離分析容易選出正確答案.整體法和隔離法在本題中運(yùn)用可謂出神入化.

五、高三復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1.回歸基礎(chǔ)、重視常規(guī)試題對(duì)學(xué)科技能的訓(xùn)練價(jià)值.

物理基本知識(shí)、基本學(xué)科技能是解決物理問題的前提.經(jīng)典常規(guī)試題，對(duì)基本知識(shí)的鞏固與理解，對(duì)基本技能的訓(xùn)練與掌握，都將起到舉足輕重的作用.教師僅憑主觀或個(gè)別優(yōu)秀學(xué)生的反饋進(jìn)行判斷并得出結(jié)論：常規(guī)試題容易使人生厭，降低學(xué)習(xí)效率.這似乎有點(diǎn)道理，但是目前對(duì)常規(guī)試題訓(xùn)練價(jià)值的批判有矯枉過正之嫌.

2.探究復(fù)習(xí)，重視專題復(fù)習(xí)對(duì)思維能力的提升價(jià)值.

新改課下的高中物理教學(xué)更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的獲得和學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)，注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程.建構(gòu)主義觀點(diǎn)認(rèn)為，自我構(gòu)建知識(shí)才是有意義的學(xué)習(xí)，在“做中學(xué)”才能真正掌握知識(shí).教師提供專題，讓學(xué)生在專題探究中，對(duì)物理概念、公式、結(jié)論加以理解、運(yùn)用.

3.變式訓(xùn)練，重視變式教學(xué)對(duì)物理本質(zhì)的頓悟價(jià)值.

試題是千變?nèi)f化的，但物理本質(zhì)萬(wàn)變不離其宗.有些經(jīng)典試題猶如萬(wàn)題之源，其試題條件改變會(huì)帶來(lái)意想不到結(jié)果，問題重設(shè)亦會(huì)帶來(lái)意料之外的收獲，但是不管怎樣變，怎樣設(shè)計(jì)，其物理內(nèi)核還是一樣.例如三力平衡的多種題型，其共同本質(zhì)就是“矢量三角形”運(yùn)用.

[1]劉大明，整體法與隔離法解題原則的探討[J].物理通報(bào)，2014，6：69-70

*本文為《高中物理SK試卷分析技術(shù)與摘錯(cuò)本技術(shù)綜合運(yùn)用研究》(撫研課字[2014]41號(hào))市級(jí)課題研究之階段性成果之一.

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1008-0333(2017)10-0054-03