北京市豐臺(tái)二中(100071) 甘志國(guó)●

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簡(jiǎn)解2016年高考全國(guó)卷Ⅲ文科第21(3)題

北京市豐臺(tái)二中(100071)
甘志國(guó)●

高考題 (2016年高考全國(guó)卷Ⅲ文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

(2)由(1)的結(jié)論知，函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值，且最大值為f(1)=0.

所以當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lnx

(3)設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx，可得g′(x)=c-1-cxlnc.

當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．

又因?yàn)間(0)=g(1)=0，所以當(dāng)00.

即當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

(3)的另證 設(shè)h(c)=1+(c-1)x-cx(c>1)，可得

h′(c)=x(c0-cx-1)>0(01).

所以h(c)是增函數(shù)，得h(c)>h(1)=0,1+(c-1)x>cx(c>1).

注 本題第(3)問(wèn)的背景是貝努利(Bernoulli)不等式.

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)·選修4-5·A版·不等式選講》(人民教育出版社2007年第2版)第51頁(yè)例3介紹的“貝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是：設(shè)t≥-1，則當(dāng)0<α<1時(shí)，(1+t)α≤1+αt；當(dāng)α<0或α>1時(shí)，(1+t)α≥1+αt.

在結(jié)論“(1+t)α<1+αt(t>0,0<α<1)”中，令t=c-1(c>1),α=x(0

G

B

1008-0333(2017)10-0023-01