湖北省巴東一中(444300) 張世林●

湖北省恩施高中(445000) 譚 斌●

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三視圖的一個重要應(yīng)用
——多面體的外接(內(nèi)切)球半徑的求法舉要

湖北省巴東一中(444300)
張世林●

湖北省恩施高中(445000)
譚 斌●

求三視圖還原而成的幾何體的外接(內(nèi)切)球的表面積或體積的問題在2016屆各地的高考模擬題中大量出現(xiàn)，這是高考的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．困難表現(xiàn)在兩個方面：一是根據(jù)三視圖如何準(zhǔn)確還原幾何體；二是依據(jù)畫出的幾何體的特征如何采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笸饨?內(nèi)切)球的半徑．現(xiàn)就此類問題的常見求法舉例分析如下．

一、找“墻角”

例1 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為( ).

解析 如圖，還原的多面體就是三棱錐A-BCD，其外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球.注意：DC,

二、尋外心

①當(dāng)幾何體中出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)(即直角三角形的外心)．

② 因?yàn)榍蛐呐c截面圓圓心的連線垂直于截面圓，截面圓上的點(diǎn)與圓心、球心構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用公式R2=r2+d2求半徑．

例3 已知三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°,則球O的表面積為____.

變式 一幾何體的三視圖如左圖，則它的外接球的表面積為( ).

A.12πB.16πC.20πD.24π

三、作截面

通過尋找外接球的一個軸截面圓，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.

例4 已知一幾何體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的外接球的體積為____.

四、用結(jié)論

例5 如右下圖所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖，在此紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體的棱長的最大值為( ).

鞏固練習(xí)1.如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為____.

3.如圖2是某幾何體的三視圖，求該幾何體的體積.

4. 如圖3，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，粗線畫出的是某幾何體的三視圖則該幾何體的體積是____.

5. 如圖4，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為____.

答案：1. 41π；2.16π;3. 8/3 4.14π5.41π/4

G

B

1008-0333(2017)10-0013-02