茍義勇， 李洪波， 董新民， 楊任農(nóng)， 左仁偉

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

基于改進(jìn)SDRE非線性魯棒控制的二元機(jī)翼顫振抑制

茍義勇， 李洪波， 董新民， 楊任農(nóng)， 左仁偉

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

為有效抑制二元機(jī)翼顫振現(xiàn)象，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程(SDRE)的非線性魯棒控制律。將含前/后緣雙控制面的二元機(jī)翼模型以狀態(tài)空間形式描述并將該模型轉(zhuǎn)化成輸入矩陣B為行滿秩的形式，進(jìn)而解決了基于SDRE的非線性控制方法不能直接應(yīng)用于二元機(jī)翼顫振主動(dòng)抑制的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，在陣風(fēng)干擾和控制面存在偏轉(zhuǎn)角限制的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)能快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，顫振現(xiàn)象得到有效抑制。通過(guò)調(diào)節(jié)權(quán)重矩陣Q和R，能夠減小控制輸入幅值。

二元機(jī)翼；非線性魯棒控制；顫振；狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程

由于空氣動(dòng)力、彈性力和慣性力的相互作用，飛行器普遍存在顫振現(xiàn)象[1]。顫振會(huì)使得飛行性能與作戰(zhàn)性能受到嚴(yán)重限制,甚至對(duì)飛行安全產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此對(duì)顫振現(xiàn)象進(jìn)行主動(dòng)抑制具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

XIANG等[2]總結(jié)了最近幾年非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)分析和控制方法，把非線性氣動(dòng)彈性問(wèn)題分為基于大展弦比機(jī)翼、全機(jī)和二元機(jī)翼的三類氣動(dòng)彈性研究問(wèn)題。在大展弦比機(jī)翼氣動(dòng)彈性研究方面，主要集中在對(duì)非線性氣動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)建模與不穩(wěn)定氣動(dòng)建模。在全機(jī)的氣動(dòng)彈性研究方面，主要集中在對(duì)高空長(zhǎng)航時(shí)飛機(jī)和戰(zhàn)斗機(jī)的非線性氣動(dòng)彈性現(xiàn)象分析。在二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性研究方面，美國(guó)德州農(nóng)工大學(xué)已經(jīng)搭建起研究氣動(dòng)彈性現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，建立了包含結(jié)構(gòu)非線性的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)該模型設(shè)計(jì)了大量基于后緣單控制面的控制方法[3-6]，單控制面布局的二元機(jī)翼控制效率并不是很高，為提高控制效率，基于前/后緣雙控制面的控制方法也得以應(yīng)用[7-10]。基于SDRE(狀態(tài)相關(guān)Riccati方程)非線性控制方法在顫振主動(dòng)抑制上已較早得以應(yīng)用，主要是針對(duì)單控制面布局的二元機(jī)翼顫1振進(jìn)行控制；值得注意的是，SDRE非線性控制理論的應(yīng)用存在限制條件，SDRE方法并不能直接應(yīng)用在文獻(xiàn)[5-6]的二元機(jī)翼模型上，原因在于文獻(xiàn)[5-6]的二元機(jī)翼模型的輸入矩陣是一個(gè)列向量，而SDRE非線性控制理論要求輸入矩陣必須為行滿秩矩陣才能確保系統(tǒng)收斂[11]，因此現(xiàn)有文獻(xiàn)中基于SDRE的非線性顫振主動(dòng)抑制方法尚待商榷。

為解決上述問(wèn)題，本文以前/后緣雙控制面布局的二元機(jī)翼為研究對(duì)象，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)SDRE非線性魯棒控制律，實(shí)現(xiàn)了二元機(jī)翼顫振的有效抑制，本研究旨在為改進(jìn)SDRE非線性魯棒控制方法的應(yīng)用提供理論依據(jù)，同時(shí)為抑制機(jī)翼顫振現(xiàn)象提供可行的新方法。

1 雙控制面二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性模型

本文采用前/后緣雙控制面布局的二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性模型，其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 雙控制面二元機(jī)翼Fig.1 Airfoil with two control surfaces

前/后緣雙控制面布局的二元機(jī)翼數(shù)學(xué)模型可表示為

(1)

式中：h為沉浮位移，α為機(jī)翼迎角，Iα為機(jī)翼慣性矩，xα為機(jī)翼重心到彈性軸的距離，kα(α)和kh(h)分別為俯仰方向與沉浮方向所含的非線性剛度，cα和ch分別為俯仰方向和沉浮方向的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；用準(zhǔn)定常理論描述作用在二元機(jī)翼上的力矩和氣動(dòng)力，具體可表示為

(2)

式中：ρ為空氣密度，sp為機(jī)翼翼展長(zhǎng)度，U為來(lái)流空氣速度，b為機(jī)翼弦長(zhǎng)的一半距離；Clα、Clβ和Clγ分別為機(jī)翼迎角、機(jī)翼后緣控制面和前緣控制面所產(chǎn)生的升力系數(shù)；Clα、Clβ和Clγ分別為機(jī)翼迎角、機(jī)翼后緣控制面和前緣控制面所產(chǎn)生的升力系數(shù)；Cmα-eff、Cmβ-eff和Cmγ-eff分別為相應(yīng)的有效力矩系數(shù)，具體可表示為

(3)

Cmα可視為0。

在模型中加入陣風(fēng)擾動(dòng)，由其引起的升力和力矩可表示為

(4)

俯仰方向與沉浮方向所含的非線性剛度kα(α)和kh(h)可分別用多項(xiàng)式擬合為

(5)

(6)

式中，

F=mtIα-(mwxαb)2,k1=Iαkh(h)/F

k2=(IαρbClαsp+mwxαρspb3Cmα)/F

k3=-mwxαbkh(h)/F

k4=-(mtρspb2Cmα-eff+mwxαρspb2Clα)/F

c1=[Iα(ch+ρspbUClα)+mwxαρcα]/F

c2=[Iαρspb2UClα(0.5-a)-mwxαb+

mwxαρUspb4Cmα-eff(0.5-a)]/F

c3=[mwxαb(ch+ρspbUClα)-mtρUspb2Cmα-eff]/F

c4=mt{[cα-ρUspb3Cmα-eff(0.5-a)]-

mwxαρspb3Clα(0.5-a)}/F

b13=(IαρbClβsp-mwxαρspb3Cmα-eff)/F

b14=(mwxαρspb2Clβ+mtρspb2Cmα-eff)/F

b23=(IαρbClγsp-mwxαρspb3Cmγ-eff)/F

b24=(mwxαρspb2Clγ+mtρspb2Cmγ-eff)/F

式(4)、(6)中的ωg(τ)為氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中加入的陣風(fēng)干擾，該陣風(fēng)模型為

(7)

考慮前緣和后緣舵面偏轉(zhuǎn)的工作情況，實(shí)際的控制輸入ui滿足：

(8)

(9)

2 改進(jìn)SDRE非線性魯棒控制律設(shè)計(jì)

2.1 模型轉(zhuǎn)換

二元機(jī)翼顫振抑制的目的在于使沉浮位移h和機(jī)翼迎角α都快速收斂到零。值得注意的是式(6)中輸入矩陣B∈R4×2，并不是行滿秩矩陣，為了使系統(tǒng)輸入矩陣B滿足行滿秩要求，定義

(10)

對(duì)上式求導(dǎo)可得

(11)

定義

x=Zxr

Z=[kBBTξ-A(x)]-1BG0-1

(12)

且，G0=C[kBBTξ-A(x)]-1B,kBBTξ-A(x)為Hurwitz矩陣。

則式(11)可表示為

(13)

所以式(6)的二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性模型可表示為

(14)

2.2 SDRE魯棒控制律設(shè)計(jì)

在非線性系統(tǒng)中考慮最優(yōu)控制問(wèn)題，引入目標(biāo)函數(shù)：

(15)

式中，對(duì)所有xr=(α,h)T∈R2，R(xr)和Q(xr)都是定義的正定對(duì)稱矩陣；恰當(dāng)選擇權(quán)重矩陣R(xr)和Q(xr)，會(huì)得到期望的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)。

定義一個(gè)狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程

(16)

式中，K為負(fù)定對(duì)稱矩陣，Q為正定對(duì)稱矩陣。

根據(jù)最優(yōu)控制思想可設(shè)計(jì)控制律為

u=L(xr)xr

(17)

(18)

矩陣P(xr)決定了系統(tǒng)穩(wěn)定性，R為正定對(duì)稱矩陣，根據(jù)式(16)，則需設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣K，由于K為負(fù)定對(duì)稱矩陣，則定義

K=-DDT

(19)

其中矩陣D為非奇異矩陣，則式(16)可改寫成

(20)

定義一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)

(21)

式中，q=D-1xr。對(duì)李亞普諾夫函數(shù)式(21)求導(dǎo)可得

(22)

式中,

(23)

定義

(24)

由式(22)、(23)和(24)可知

(25)

引入mori下界[12]:

(26)

(27)

根據(jù)mori下界的性質(zhì)[13]可知

(28)

(29)

(30)

設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣為

(31)

則

(32)

(33)

綜上所述，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The structure of control system

3 仿真分析

對(duì)模型進(jìn)行線性化處理后發(fā)現(xiàn)，模型的穩(wěn)定性取決于來(lái)流速度U；當(dāng)時(shí)U=11.32 m/s，模型的特征值分別為±12.77i，-1.49±12.34i即線性模型存在一對(duì)純虛根。當(dāng)U≥11.32 m/s時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，當(dāng)U≤11.32 m/s時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)速度U=13.20 m/s時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)相軌跡Fig.3 System phase diagrams

由圖3可知，系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的極限環(huán)現(xiàn)象，俯仰運(yùn)動(dòng)的幅值為11.32°，沉浮運(yùn)動(dòng)的幅值為0.004 8 m。系統(tǒng)顫振的頻譜分析如圖4所示，可知系統(tǒng)的主要頻率成分為2.031 Hz。研究U=13.20 m/s速度下，利用主動(dòng)控制技術(shù)來(lái)抑制氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的顫振問(wèn)題。

圖4 系統(tǒng)頻譜Fig.4 System frequency spectra

取來(lái)流速,U=13.20 m/s，Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000，νimax=15°時(shí)，νimin=-15°假設(shè)陣風(fēng)干擾在整個(gè)仿真過(guò)程中始終存在，系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)Fig.5 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)

由圖5可知，當(dāng)t<17 s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生顫振，其幅值穩(wěn)定在某一特定值，系統(tǒng)控制輸入為0，即此時(shí)為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)響應(yīng)。當(dāng)t≥17s時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)能快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且前/后緣控制面偏轉(zhuǎn)角都小于10°。

其他仿真條件不變，分別改變Q=diag(10,100)和R=diag(10 000,200)，系統(tǒng)仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示。

圖6 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(10,100)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)Fig.6 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(10,100)，R=diag(10 000,500)，r=1 000)

圖7 SDRE非線性魯棒控制 (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,200)，r=1 000)Fig.7 SDRE nonlinear robust control (Q=diag(1,10)，R=diag(10 000,200)，r=1 000)

由圖5～7可得到各仿真結(jié)果的性能指標(biāo)如表1所示。從表1可知，閉環(huán)系統(tǒng)在陣風(fēng)干擾下都能快速到達(dá)穩(wěn)態(tài)，且前/后緣控制面偏轉(zhuǎn)角度都小于10°，說(shuō)明該控制方法具有較好的控制效果，且控制效率較高；若權(quán)重矩陣Q變?yōu)樵瓉?lái)的10倍時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)量幅值變小，控制輸入幅值變大，但未達(dá)到飽和狀態(tài)；當(dāng)權(quán)重矩陣R中r11/r22比值增大為原來(lái)的2.5倍時(shí)，控制輸入β變小，γ變大。因此合理地選擇權(quán)重矩陣Q和R，能優(yōu)化系統(tǒng)響應(yīng)和控制輸入。

表1 性能指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié) 論

針對(duì)文獻(xiàn)[5-6]所設(shè)計(jì)的SDRE非線性控制方法實(shí)質(zhì)上并不能直接應(yīng)用于二元機(jī)翼顫振的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的SDRE非線性魯棒控制方法。該方法通過(guò)對(duì)狀態(tài)空間模型的等效變換，很好地解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)中SDRE非線性控制不能直接應(yīng)用于二元機(jī)翼顫振的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，在陣風(fēng)干擾下，系統(tǒng)的沉浮位移、俯仰角和前/后緣舵偏角都能迅速地收斂于零；且前/后緣控制舵面偏轉(zhuǎn)角度較小，都未達(dá)到系統(tǒng)的舵面偏轉(zhuǎn)限制值，所設(shè)計(jì)的控制律具有較強(qiáng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)二元機(jī)翼顫振現(xiàn)象的有效抑制。

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Active flutter suppression for a two-dimensional airfoil based on an improved SDRE nonlinear robust control

GOU Yiyong, LI Hongbo, DONG Xinmin, YANG Rennong, ZUO Renwei

(Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China)

In order to achieve the active flutter suppression of a two-dimensional airfoil, an improved state-dependent Riccati equation (SDRE) nonlinear robust control law was proposed based on the Lyapunov stability theory. The model of the two-dimensional airfoil with leading-and trailing-edge control surfaces was described in state space, and then the model was transformed into a form where the input matrixBis a full row rank matrix. The problem that the SDRE nonlinear control method can’t be directly applied to the active flutter suppression was solved. The simulation results were presented, which show the closed-loop system approaches to stability quickly under the impact of wind gust even if there is a hard constraint on the control input and the flutter suppression can be accomplished effectively. In addition, adjusting the weighting parametersQandRcan decrease the magnitude of control inputs.

two-dimensional airfoil; nonlinear robust control; flutter; state-dependent Riccati equation

國(guó)家自然科學(xué)基金(61473307；61304120)；航空科學(xué)基金(20155896026)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-01-15

茍義勇 男，碩士生，1991年11月生

董新民 男，博士，教授，1963年10月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.024