吳傳龍,宋世澤,王鼎蔚

(1.61175部隊,湖北 武漢 430071;2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州 454001; 3.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 454001)

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三次樣條在北斗衛(wèi)星軌道插值中的應(yīng)用

吳傳龍1,宋世澤2,3,王鼎蔚2,3

(1.61175部隊,湖北 武漢 430071;2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院,河南 鄭州 454001; 3.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 454001)

本文選用三次樣條函數(shù)對北斗高軌衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)進行插值計算,結(jié)果表明，三次樣條函數(shù)基本沒有龍格現(xiàn)象,但插值模型中含有明顯的隨機性系統(tǒng)差,因此本文采用附加系統(tǒng)差的最小二乘配置,對三次樣條的插值結(jié)果進行處理,使精度提高了10倍左右。

北斗高軌衛(wèi)星;三次樣條插值;插值區(qū)間

0 引 言

衛(wèi)星精密星歷能提供某一時刻的衛(wèi)星位置,但是想得到任意時刻的衛(wèi)星位置供用戶使用,仍需要采用一定的計算方法,內(nèi)插的方法最為簡單,因此被廣泛采用,尤其是對于GPS精密星歷做內(nèi)插。但是,拉格朗日插值方法有明顯的龍格現(xiàn)象,樣條插值能夠很好的解決這個問題。例如,文獻[1]將三次樣條插值應(yīng)用到低軌遙感衛(wèi)星,文獻[2]將五次樣條插值應(yīng)用到GPS高軌衛(wèi)星,兩者的計算結(jié)果都具有良好的整體光滑性。

本文采用三次樣條內(nèi)插計算北斗高軌衛(wèi)星軌道位置,并利用某顆高軌道北斗軌道數(shù)據(jù)作為實例,計算了衛(wèi)星位置誤差。最后用附加系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘配置消除了絕大部分三次樣條的模型誤差,精度提高了10倍左右。

1 三次樣條插值

三次樣條實際上是由一段一段的三次多項式拼合而成的曲線。在拼接處,不僅函數(shù)自身是連續(xù)的,而且它的一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。三次樣條函數(shù)的定義[3]：

設(shè)y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的一個實函數(shù),xi(i=0,1,…,n)是[a,b]上n+1個互異實數(shù),且y=f(x)在xi處的值為yi=f(x)。如果分段的函數(shù)φ(x)滿足下列條件,就稱φ(x)為三次樣條插值函數(shù)：

1)φ(x)在子區(qū)間[xi,xi+1]的表達式φi(x)都是次數(shù)不高于3的多項式;

2)φ(xi)=yi;

3)φ(x)在整個區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。

2 附加系統(tǒng)參數(shù)的最小二乘配置原理

經(jīng)典最小二乘平差中,待估參數(shù)都是無先驗統(tǒng)計信息的非隨機量,通常稱為非隨機性參數(shù)。在現(xiàn)代平差中,有些參數(shù)在平差前就已具有先驗統(tǒng)計性質(zhì),即已知其先驗期望和先驗方差,這種具有先驗信息的參數(shù)稱為隨機性參數(shù)或信號。若在平差模型中僅含信號,依據(jù)最小二乘平差原理確定隨機性估值的方法稱為最小二乘配[4]。

三次樣條插值后,將殘差分為三個部分:隨機性的系統(tǒng)誤差、非隨機性的系統(tǒng)差以及觀測值的偶然誤差,下面將建立平差模型。

1) 函數(shù)模型

L=ε+S+Δ，

(1)

式中: S為隨機參數(shù)； ε為非隨機的系統(tǒng)參數(shù)； Δ為觀測誤差；L為n維觀測向量。

2) 隨機參數(shù)

E(Δ)=0,E(S)=0

ΣL=ΣΔ+ΣS,

3) 觀測誤差;

(2)

(3)

3 數(shù)據(jù)處理及分析

本文用某顆北斗衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù),軌道周期約500min,采樣率5min.首先對軌道數(shù)據(jù)進行插值,然后再對插值結(jié)果進行濾波處理。

采用插值間隔1min,插值節(jié)點個數(shù)500,插值區(qū)間500min的軌道三維位置數(shù)據(jù),做三次樣條插值。插值結(jié)果減去真值,得到殘差,其三維位置的殘差如圖1所示。

從圖1可以看出,殘差是隨時間呈正弦分布的,說明插值模型含有隨機的系統(tǒng)差,因此,使用最小二乘配置來處理,考慮到插值模型中可能也帶有非隨機性的系統(tǒng)差,這里加了一個系統(tǒng)補償。

由于殘差在一個軌道周期中呈現(xiàn)正弦形,因此這里僅在一個軌道周期中均勻抽取了20個數(shù)據(jù)。圖2、圖3、圖4分別表示用最小二乘配置處理前后的X、Y、Z方向上的殘差圖。

圖2、3、4可以看出,插值模型中絕大部分系統(tǒng)差被消除了,表1示出了X、Y、Z三個方向上殘差的最大、最小值,以及標(biāo)準(zhǔn)差。

表1 X、Y、Z三個方向上殘差的最大、最小值,以及標(biāo)準(zhǔn)差

從表1可以看出,經(jīng)過最小二乘配置的處理,精度提高了10倍左右。

4 結(jié)束語

實驗結(jié)果表明,三次樣條插值僅僅在邊緣處有4個左右的點偏差較大,即龍格現(xiàn)象不明顯。

此外,由于插值結(jié)果有很明顯的隨機性的系統(tǒng)誤差,用最小二乘配置處理后,可以很好的消除這些誤差,精度提高10倍左右。

[1] 余渝,周敬烈.三次樣條在衛(wèi)星軌道預(yù)報插值法中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代雷達,2013(2):18-21.

[2] 孫華麗,張政治,胡思才.五次樣條插值在GPS衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化中的應(yīng)用[J].大地測量與地球動力學(xué),2012(1):76-79.

[3] 鄭慧嬈,陳紹林,莫忠良,等.數(shù)值計算方法[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2002.

[4] 隋立芬,宋力杰.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M].北京:解放軍出版社,2003.

The Application of Cubic Spline Interpolation for the Leo Satellite

WU Chuanlong1,2,SONG Shize2,3,WANG Dingwei2,3

(1.Unit61175,Wuhan430071,China;2.CollegeofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou454001,China; 3.BeiDouNavigationTechnologyCollaborativeInformationCenterofHenan,Zhengzhou454001,China)

The cubic spline interpolation function is selected to calculate orbit data of the GEO or IGSO satellite in this article. The results of the cubic spline function do not show the runge phenomenon, but the interpolation model contains obvious randomness of the system error. So we take least squares configuration to process the result of the cubic spline interpolation.The result manifests that the accuracy is improved by more than about 10 times.

BDS satellite; Cubic spline interpolation; the interpolation interval

10.13442/j.gnss.1008-9268.2017.01.022

2016-10-10

P228.4

A

1008-9268(2017)01-0108-03

吳傳龍 (1987-),男,工程師,主要從事導(dǎo)航時頻工作。

宋世澤 (1988-),男,碩士生,主要從事空間大地測量工作。

王鼎蔚 (1993-),男,碩士生,主要從事空間大地測量工作。

聯(lián)系人： 吳傳龍 E-mail: 13397191130@163.com